mà đa thức được sử dụng để làm hàmxấpxỉliêntục.. Các đa thức Tay-lor được giới thiệu trong phần 1.1, mà chúng được miêu tả là mộttrongnhững khối kiến tạo cho phương pháp tính.. Với sự nổ
TÓMTẮTNỘIDUNGLÝTHUYẾT
Định lýxấpxỉWeierstrass
Cho rằng𝒇xác định và liên tục trên[𝒂, 𝒃] Với mọi𝝐 > 𝟎, sẽ có một đa thức𝑷(𝒙), có tínhchất:
Một trong những lý do chính khiến đa thức được chọn làm hàm xấp xỉ trong bài toán xấp xỉ phương trình là đạo hàm và tích phân vô định của đa thức đó dễ tính và cũng cho ra kết quả là các đa thức trên mặt phẳng tọa độ OxOy Với đặc tính này, đa thức được dùng làm công cụ để xây dựng hàm xấp xỉ liên tục, giúp quá trình phân tích và tính toán trở nên thuận tiện và chính xác hơn.
Các đa thức Taylor được giới thiệu như một trong những khối kiến tạo cho phương pháp tính, gợi ý rằng nội suy đa thức sẽ dựa vào chúng Tuy nhiên, nội suy đa thức không làm vậy: Đa thức Taylor được xác định hoàn toàn bởi các đạo hàm của hàm tại một điểm x0 và mô tả độ chính xác cục bộ quanh điểm đó, chứ không đảm bảo đúng tại mọi điểm trên miền số Mỗi đa thức chỉ khớp đúng với các giá trị và đạo hàm tại x0 và cho một xấp xỉ gần điểm đó, còn ở các điểm xa hơn thì độ sai lệch tăng lên, khiến nội suy đa thức không thể đảm bảo tính đúng tại mọi điểm như kỳ vọng.
Ví dụ:Chúngta khaitriểnTay-lorbậc6tại𝒙 𝟎 =𝟎 cho𝒇(𝒙)=𝒆 𝒙 Vìđạo hàmcủa𝒇(𝒙) là𝒆 𝒙 ,với𝒙 𝟎 =𝟎chora𝟏,thìđathứcTay-lorsẽlà
𝟓 𝟐 𝟔 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟎 Đồthịcủacácđathứctrênđượcthểhiệnởhình3.2.(Chúýkểcảvớiđathứcbậccaohơn, saisố sẽ trởnên tệ hơnvìchúngtasẽ tiếnra xa khỏi0.)
Mặcdùhàmxấpxỉđathứctốthơnđãđượcdùngđểthểhiện𝒇(𝒙)=𝒆 𝒙 bằngđathứcTay- lorbậccaohơn,nhưngnóvẫnkhôngđúngvớimọihàm.Chorằng,vớivídụítthiếtthực hơn,chúng tadùngđathứcTay-lor vớinhiềugócđộkhácnhaucho𝒇(𝒙)= 𝟏 v ớ i 𝒙 =𝟏
𝒇(𝒙)= 𝒙 −𝟏 ,𝒇 ′ (𝒙)= − 𝒙 −𝟐 ,𝒇 ′′ (𝒙)= ( −𝟏)𝟐𝟐 𝒙 −𝟑 , và,tổngquát, đathức Tay-lorsẽ là 𝒇 (𝒌) (𝒙)= ( −𝟏)𝒌𝒌!𝒙 −𝒌−𝟏 ,
Đa thức Taylor được xây dựng dựa trên ý tưởng xấp xỉ hàm bằng một khai triển quanh một x0, nên mọi thông tin xấp xỉ được rút gọn từ một điểm duy nhất là x0 Do đó, kết quả xấp xỉ có độ chính xác kém khi ta tính tại các giá trị xa x0 Việc xấp xỉ bằng đa thức Taylor bị giới hạn khi cần giá trị ở gần x0 Để tín toán thông thường đạt hiệu quả cao hơn, ta cần các phương pháp có thể bao hàm thông tin từ nhiều điểm thay vì chỉ một điểm như Taylor Ứng dụng chính của đa thức Taylor trong phân tích số không phải là để xấp xỉ mà là để tính đạo hàm và ước lượng sai số. -**Support Pollinations.AI:** -🌸 **Ad** 🌸Powered by Pollinations.AI free text APIs [Support our mission](https://pollinations.ai/redirect/kofi) to keep AI accessible for everyone.
Vấn đề tính toán một đa thức bậc nhất đi qua hai điểm rời rạc (x0, y0) và (x1, y1) tương ứng với việc xấp xỉ một hàm số f tại các điểm cho trước bằng nội suy đa thức bậc nhất Bằng cách sử dụng nội suy tuyến tính giữa hai điểm này, ta xác định một hàm xấp xỉ f̂(x) sao cho f̂(x0) = y0 và f̂(x1) = y1 Đa thức bậc nhất này cho phép ước lượng giá trị của f trên một khoảng giữa x0 và x1 và là cơ sở của các phép nội suy đa thức tại các điểm nút được chọn.
𝒙 𝟎 −𝒙 𝟏 và𝑳 𝟏 (𝒙)= 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝟏 −𝒙 𝟎 𝟎 Vậy,đa thức nộisuyLagrange tuyếntính qua 2điểm(x0,y0) và (x1,y1) códạng:
Dođó,Plàđathức bậc mộtđiqua haiđiểm(x0,y0)và (x1,y1). a Địnhlý 3.2:
Nếu x0,x1,x2,…,xnl à n + 1số rờirạc vàf là hàmcógiátrị xácđịnhtại các sốđóthìtồntại mộtđathứccóbậcn thỏa:
Giả sử x0, x1, x2,…,xnlà các số phân biệt thuộc đoạn [a,b] Khi đó, với mỗi x trongxkhoảng [a,b] tồn tại một số𝝐(𝒙)giữa x0, x1, x2,…,xnvà do đó trong khoảng (a,b)tồn tại:
4 Sai số của phép nội suy:
Saisốcủaphépnộisuy
1 Bài1: Chocácgiátrịx 0 =0,x 1 =0,6vàx 2 =0.9.Hãyxâydựngđathứcnộisuycho các hàmdưới đây vớibậcmộtvàbậc haiđểxấpxỉ f(0,45),tìmsai số tuyệtđối a.f ( x ) = cosx c f(x)=ln(x+1) b.f ( x ) = √𝟏+𝒙 d.f(x)=tanx
Giải: Đa thức nộisuyLagrange bậc mộttuyếntínhqua các điểm(x0,f(x0)) và (x1,f(x1))đã cho là:
= ( 𝒙 − 𝒙 (𝒙 𝟎 −𝒙 𝟏 )(𝒙 𝟎 −𝒙 𝟏 )(𝒙−𝒙 𝟐 ) 𝟐 ) f ( x (𝒙 0)+ 𝟏 −𝒙 ( 𝒙 − 𝒙 𝟎 )(𝒙 𝟏 −𝒙 𝟐 𝟎 ) )(𝒙−𝒙 𝟐 ) f(x (𝒙 𝟐 1 −𝒙 )+ 𝟎 ( 𝒙 − 𝒙 )(𝒙 𝟐 −𝒙 𝟏 ) 𝟎 )(𝒙−𝒙 𝟏 ) f ( x 2) a Tại các điểm x 0 =0, x1=0,6 và x2=0.9 ta cóf(x0)=cos(0)=1 f(x1)=cos(0,6)=0,825336f( x2)=cos(0,9)=0,621610
Tươngtựthaysố vào côngthức tađượcđa thức bậc hai:
BÀITẬPTHỰCHÀNH
Bài
các hàmdưới đây vớibậcmộtvàbậc haiđểxấpxỉ f(0,45),tìmsai số tuyệtđối a.f ( x ) = cosx c f(x)=ln(x+1) b.f ( x ) = √𝟏+𝒙 d.f(x)=tanx
Giải: Đa thức nộisuyLagrange bậc mộttuyếntínhqua các điểm(x0,f(x0)) và (x1,f(x1))đã cho là:
= ( 𝒙 − 𝒙 (𝒙 𝟎 −𝒙 𝟏 )(𝒙 𝟎 −𝒙 𝟏 )(𝒙−𝒙 𝟐 ) 𝟐 ) f ( x (𝒙 0)+ 𝟏 −𝒙 ( 𝒙 − 𝒙 𝟎 )(𝒙 𝟏 −𝒙 𝟐 𝟎 ) )(𝒙−𝒙 𝟐 ) f(x (𝒙 𝟐 1 −𝒙 )+ 𝟎 ( 𝒙 − 𝒙 )(𝒙 𝟐 −𝒙 𝟏 ) 𝟎 )(𝒙−𝒙 𝟏 ) f ( x 2) a Tại các điểm x 0 =0, x1=0,6 và x2=0.9 ta cóf(x0)=cos(0)=1 f(x1)=cos(0,6)=0,825336f( x2)=cos(0,9)=0,621610
Tươngtựthaysố vào côngthức tađượcđa thức bậc hai:
P2(0,45)=1 - 0 , 0 3 2 4 5 3 4 0 , 4 5 - 0 , 4 3 1 0 8 9 0 , 4 5 2=0 , 8 9 8 1 Vậysai số tuyệt đối là:Δaa1=|0,900447-0,869002 |=0,031445 Δaa2=|0,900447-0,8981 |=0,02347 ĐOẠNCODE
Tươngtựởcáccâub,c , d tatìmđượccácđa thức: b.P 1(x)=1+0,441518x Δaa1=0,005476P2(x)=1+0,483655x-0,0702778x2 Δaa2=0,000735 ĐOẠNCODE c.P 1(x)=0,783339x Δaa1=0,019061P2(x)=0,923678x-0,233896x2 Δaa2=0,003273 ĐOẠNCODE d.P 1(x)=1,140228x Δaa1=0,030048P2(x)=0,620334x+0,866492x2 Δaa2=0,02844 ĐOẠNCODE
2 Bài3: Dùngđịnh lí3.3 đểgiảitìm biênsai số cho bài 1
(𝒏+𝟏)! (𝒙−𝒙 𝟎 )(𝒙− 𝒙 𝟏 )…(𝒙−𝒙 𝒏 ) Với𝐟 (𝐧+𝟏) (𝛏(𝐱))làGTLNcủa𝐟 (𝐧+𝟏) (𝐱)với𝑥=𝐱 𝟎 ,𝐱 𝟏 ,…,𝐱 𝐧 Ởbài 1 ta cócácnút:
𝒇 (𝟑) (𝟎)=𝐬𝐢𝐧 (𝟎)=𝟎 và𝒇 (𝟑) (𝟎.𝟗)=𝐬𝐢𝐧 (𝟎.𝟗)=𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑 VậyGTLNcủa𝒇 (𝟑) (𝒙)vớixthuộc[0,0.9]là𝒇 (𝟑) (𝟎.𝟗)=𝐬𝐢𝐧 (𝟎.𝟗)=𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑 Từđó,ta cóbiên saisố chophép nội suyLagrange bậc1là:
Biênsaisốcho phép nộisuyLagrange bậc 1là:
3 Bài 5: Dùng đa thức nội suy Lagrange đến bậc 1, bậc 2 và bậc 3 để tính xấp xỉcácbàisau: a.Tính f(8.4)nếu f(8.1).94410,f(8.3).56492,f(8.6).50515,f(8.7).82091 b Tính f( − 𝟏 ) nếuf(−0.75) =−0.07181250,f(−0.5) = −0.02475000,f(−0.25)=
Theo công thức nội suy Lagrange, ta có:L 2 (x)=f0(x)l0+f1(x)l1+f2(x)l2
Theo công thức nội suy Lagrange, ta có:L 3 (x) =f0(x)l0+f1(x)l1+f2(x)l2+f3(x)l3
Thay x = 8.4 vào L3(x), ta được:L3(8.4).87714 ĐOẠNCODE
4 Bài 11 Sử dụng các giá trị được làm tròn đến chữ số thứ 4 sau dấu phẩy bêndưới để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba tại f(1,09) Với hàm được tính gầnđúng là f(x) = log 10 (tanx) Hãy dùng kiến thức phần này để tìm phạm vi của saisố trongphéptínhgầnđúngnày f(1.00) =0.1924 f(1.05)=0.2414 f(1.10) =0.2933 f(1.15)=0.3492
Giải: Đa thức nội suy Lagrange bậc ba tuyến tính qua các điểm (x0,f(x0)) ,(x1,f(x1)), (x2,f(x2)) , (x3,f(x3))đ ã cholà:
Tạicácđiểmx0=1,00 x1=1,05 x2=1,10 x3=1,15 ta có thể tính được các giá trịLk(1,09)như sau:
Giá trị của hàm đã cho tại x=1,09:f(1,09)=log 10 (tan1,09)=0,2
𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙) giá trị lớn nhất của f (4) (x) tại x=1,15suy raf (4) (1,15),5083 saisố tuyệtđối:
Vậy sai số của nội suy lagrange là:∆𝒂 𝟏= 4,29.10 -5 sai số theo định lý 3.3 là:∆𝒂𝟐= 7,3357.10 -6 ĐOẠNCODE
5 Bài15:Sửdụng sốliệuởcâu11,dùng Maple đểgiải đếnlầnlặpthứ10: ĐOẠNCODE
6 Bài 18: a Bảng thống kê dân số Hoa Kỳ từ năm 1950 đến năm 2000 với số liệuđượcghitrongbảngsau.SửdụngnộisuyLagrangeđểxấpxỉdânsốtrongnhữngnăm 1940,1975,và2020 b.Dânsốnăm1940làkhoảng132.165.000người.Bạnnghĩconsốnăm 1975và2020của bạnchính xác đếnmứcnào? a)T a có:
Nhậnxét:Theođềbài,dânsố củaUSvàonăm1940làkhoảng132
396000 người vậy sai sốkhálớn (chênhlệchkhoảng29 760 000 người)
TínhxấpxỉdânsốcủaUStrongnăm1975tađược215042000người.Vì1975khágần sovới cácmốcnộisuy (1970và1980)nênsai sốkhônglớn.
TínhxấpxỉdânsốcủaUStrongnăm2020tađược513442000người.Vì2020kháxasovới mốcnộisuy (2000)nênsaisốlớn.
Vậy khi ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy thì sai số không lớn, có thể tin tưởng được;cònkhi ta tínhxấp xỉxamốcnộisuy thì saisốlớn,khôngtintưởngđược.