Phng phap tich phan s

1.1 Phương pháp tích phân sốCác phương trình vi phân mô tả các phần tử trong hệ thống điện là các phương trình phi tuyến với các giá trị ban đầu đã biết có dạng như sau: , ; dx f x t d

1.1 Phương pháp tích phân số

Các phương trình vi phân mô tả các phần tử trong hệ thống điện là các phương trình phi tuyến với các giá trị ban đầu đã biết có dạng như sau:

( , )

;

dx

f x t

dt

t t x x



Trong đó x là vector trạng thái của n biến độc lập và t là biến thời gian độc lập các giá trị ban đầu đã biết là x t0 , 0

Có nhiều phương pháp tích phân số để giải bài toán ổn định trong miền thời gian bao gồm: Euler, Euler cải tiến và phương pháp được áp dụng nhiều nhất cũng như gần như chính xác đối với tất cả các phần mềm mô phỏng trong miền thời gian là phương pháp Runge – Kutta

1.1.1 Phương pháp Euler

Nguyên lí của phương pháp Euler là cố gắng biểu diễn đường cong phi tuyến bằng đường tiếp tuyến xấp xỉ gần bằng

Hình 3.1 Biểu diễn đường cong phi tuyến bằng phương pháp tích phân số

Hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến với đường cong phi tuyến có thể được tính bằng công thức:

0

0 0 ( , )

x x

dx

f x t

dt  

(3.7)

Từ điểm ban đầu ( , )x t0 0 , với độ dốc tính được từ công thức trên và bước nhảy tùy vào độ dài   t t1 t2có thể chọn tùy ý, ta có thể tính được giá trị x1 tại thời điểm t1 bằng công thức:

0

x x

dx

dt 

     

(3.8) Suy ra đường tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong phi tuyến cần giải là đoạn thẳng giới hạn bởi hai giá trị x0 và x1

thức:

1

1 1 ( , )

x x

dx

f x t

dt  

Và lặp lại phép tính để tính toán giá trị ở điểm cuối x2 Như vậy lời giải cho phương trình vi phân là những đường tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong cần giải

Nhược điểm của phương pháp này là kết quả nhận được sẽ không chính xác Đường cong phi tuyến cần giải thường có 2 dạng như sau:

Hoặc

Hình 3.2 Nhược điểm của phương pháp Euler

Đường thẳng nhận được từ phương pháp Euler hoặc là sẽ nhỏ hơn hoặc là sẽ lớn hơn đường cong phi tuyến thực tế, và để giảm sai số khi thực hiện phương pháp Euler, người ta sẽ lấy bước nhảy ở mức nhỏ nhất có thể ( )t

Sai số của phương pháp Euler phụ thuộc vào độ lớn của bước, có thể viết như sau: .( )

1.1.2 Phương pháp Euler cải tiến

Nhưng để nhận được kết quả chính xác, ta phải thực hiện phép toán với độ lớn của bước nhỏ nhất có thể, đồng nghĩa với việc máy tính sẽ thực hiện số phép tính nhiều hơn

Và để cải thiện điều này, ta có một phương pháp khác hiệu quả hơn, phương pháp này được gọi là Euler cải tiến

Sở dĩ nó được gọi là Euler cải tiến bởi vì ý tưởng của phương pháp này tương tự với

ý tưởng của phương pháp Euler, nhưng phương pháp này sẽ cải thiện hệ số góc của phương trình đường thẳng tiếp tuyến bằng cách lấy giá trị trung bình hệ số góc của hai đường thẳng tiếp tuyến để cho ra một đường tiếp tuyến tiệm cận hơn với đường cong phi tuyến cần giải, vì thế kết quả cũng sẽ chính xác hơn

Hình 3.3 Phương pháp Euler cải tiến

Với A B n, n là các hệ số góc

Phương pháp Euler cải tiến có 2 bước (Prediction step và Correction step) do đó sẽ

có 2 phép tính:

0

1 0

1 0

1

p

x x c

dx

dt



  

   

(3.10) Sai số của phương pháp Euler cải tiến cũng là một hàm theo độ lớn của bước, nhưng

Từ phương trình trên ta thấy rằng, nếu giảm độ lớn của bước thì sai số sẽ giảm đi bình phương lần Do đó phương pháp Euler cải tiến còn được gọi là phương pháp bậc hai, phương pháp Euler còn được gọi là phương pháp bậc nhất

1.1.3 Phương pháp Runge – Kutta

Phương pháp R-K gồm có R-K bậc 2 và R-K bậc 4

Đối với phương pháp R-K bậc 2, phương pháp sẽ tương tự như phương pháp Euler cải tiến, hệ số góc của đường thẳng tuyến tính được lấy trung bình, tức là hệ số góc được tính hai lần, và sai số sẽ tỉ lệ với bình phương độ lớn bước tính, công thức của phương pháp R-K bậc 2 như sau:

1 2 1

1

2 ( , )





    

Đối với phương pháp R-K bậc 4, hệ số góc được tính 4 lần, do đó sai số sẽ tỉ lệ với

mũ 4 lần độ lớn của bước tính, tức là đáp án cho lời giải phương trình vi phân sẽ rất chính xác Và hầu hết các máy tính vẽ đồ thị của các phương trình vi phân đều áp dụng phương pháp R-K bậc 4 Công thức của phương pháp này như sau:

1 1 2 3 4

1

1

2

2

3

1

6

( , )

k f x t t

     



   



   