Chuyên đề 29 phương trình mặt cầu

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5 6 ĐIỂM Dạng 1 Xác định tâ[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM

Dạng 1 Xác định tâm và bán kính

 Mặt cầu tâm I a b c( ; ; ) và có bán kính R có phương trình ( ) : (S x a )2(y b )2(z c )2 R2

 Phương trình x2y2z22ax2by2czd  với 0 a2b2c2d0

là phương trình của mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ) và bán kính R a2b2c2d

 Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước x2, , y2 z phải bằng nhau và 2 a2b2c2d0

Câu 1 (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz, mặt cầu    2  2 2

Câu 4 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y22z32 16 Tâm của   S có tọa độ là

A    1; 2; 3   B  1;2;3  C   1;2; 3   D  1; 2;3  

Câu 5 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x22y42z12 9 Tâm của  S có tọa độ là

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 9 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu   2 2  2

kính của mặt cầu  S bằng

Câu 10 (Mã 101- 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

  S : x12y22z32 4 Tâm của  S có tọa độ là

Câu 13 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S :

x12y22z32 9 Tâm của  S có tọa độ là

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Câu 22 (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2z22y2z 7 0 Bán

kính của mặt cầu đã cho bằng

Câu 25 Trong không gian vơi hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z28x2y  Tìm tọa độ 1 0tâm và bán kính mặt cầu  S :

A I4;1; 0 , R2 B I4;1; 0 , R4 C I4; 1; 0 ,  R2 D I4; 1; 0 ,  R4

Câu 26 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

  S : x32y12z12  Xác định tọa độ tâm của mặt cầu 2  S

Trang 4

là trung điểm của AB

Trang 5

Câu 8 (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau

phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

Trang 6

Câu 13 (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu  S tâm A2;1; 0, đi qua điểm B0;1; 2?

Trang 7

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 8

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1 Xác định tâm, bán kính của mặt cầu

Câu 1 (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để

Câu 5 (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba

điểm A1; 0; 0, C0; 0; 3, B0; 2; 0 Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB2MC2 là mặt cầu có bán kính là:

Câu 6 (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm

1; 2; 4

A  , B1; 3;1 , C2; 2; 3 Tính đường kính l của mặt cầu  S đi qua ba điểm trên và có

tâm nằm trên mặt phẳng Oxy 

Trang 9

Câu 8 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi  S là mặt cầu đi qua 4 điểm

2; 0; 0 , 1; 3; 0 ,  1; 0; 3 , 1; 2; 3

A R 2 2 B R 3 C R 6 D R  6

Câu 9 (Sở Hà Nội 2019) Cho hai điểm ,A B cố định trong không gian có độ dài AB là 4 Biết rằng tập

hợp các điểm M trong không gian sao cho MA3MB là một mặt cầu Bán kính mặt cầu đó bằng

là phương trình của một mặt cầu

A m  5 hoặc m 1 B 5 m1 C m  5 D m 1

Câu 11 (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz Cho tứ diện đều ABCD có A0;1; 2 và hình

chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng BCD là H4; 3; 2   Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD

A I3; 2; 1   B I2; 1; 0  C I3; 2;1  D I   3; 2;1

Câu 12 (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt

cầu  S có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A1; 2; 4 , B1; 3;1 , C2; 2; 3 Tọa độ tâm  I của mặt cầu là

A 2; 1; 0  B 2;1; 0 C 0; 0; 2  D 0; 0; 0

Câu 13 Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu  S đi qua điểm O và cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại

các điểm A B C, , khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G   6; 12;18 Tọa độ tâm của mặt cầu  S là

A 9;18; 27  B  3; 6; 9 C 3; 6; 9  D  9; 18; 27

Câu 14 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : xcos 2ycos 2zcos 24 với

,

  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox Oy, và Oz Biết rằng mặt cầu  S

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

Câu 16 (Sở Kon Tum 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A3; 0 ; 0, B0 ; 2 ; 0 , C0 ; 0; 4 

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

Trang 10

Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   S : x12y22z32 25 và

hình nón  H có đỉnh A3; 2; 2  và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu Một

đường sinh của hình nón  H cắt mặt cầu tại M N sao cho , AM 3AN Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu  S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  H

T S

là trung điểm của AB

với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa

độ

Trang 11

 Khoảng cách từ điểm M x( M;y M;z M) đến mặt phẳng ( ) :P ax by cz d   0 được xác định bởi

Vì A B C D, , , ( )S nên tìm được 4 phương trình a b c d, , , ( ).S

 Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu ( )S đi qua 3 điểm A B C, , và tâm thuộc mp ( ).P

Phương pháp: Gọi ( ) :S x2y2z22ax2by2czd  0

Vì A B C, , ( )S nên tìm được 3 phương trình và I a b c( ; ; ) ( ) P là phương trình thứ tư

Giải hệ bốn phương trình này a b c d, , , ( ).S

 Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r (dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn

học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn)

Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ R2d2[ ;( )]I P r2 và cần nhớ C2r và Sđt r2

Câu 1 (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 2; 3  Gọi I là hình

chiếu vuông góc của M trên trục Ox Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I

bán kính IM?

A x12y2z2 13 B x12y2z2 17

C x12y2z2 13 D x12y2z2 13

Câu 2 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm (1; 2;3) I  Viết

phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB 2 3

A (x1)2(y2)2(z3)216 B (x1)2(y2)2(z3)2 20

C (x1)2(y2)2(z3)225 D (x1)2(y2)2(z3)2 9

Câu 3 (Sgd Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz, giá trị dương của m sao cho mặt phẳng Oxy

x  y  z m  là

A m 5 B m  3 C m 3 D m  5

Câu 4 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M1; 2;3 

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?

Trang 12

Câu 6 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm

Câu 9 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD

có tọa độ đỉnh A2; 0; 0, B0; 4; 0, C0; 0; 6, A2; 4; 6 Gọi  S là mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu  S có tâm trùng với tâm của mặt cầu  S và có bán

kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu  S

A x12y22z32 56 B x2y2z22x4y6z0

C x12y22z3214 D x2y2z22x4y6z120

Câu 10 (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I2;1; 3  và

tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

Trang 13

Câu 12 (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

Câu 13 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua

điểm A1; 1; 4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

Câu 15 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm H1; 2; 2  Mặt phẳng   đi

qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A, B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng  

A x2y2z281 B x2y2z2  1 C x2y2z2  9 D x2y2z2 25

Câu 16 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua

điểm A1; 1; 4  và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

Trang 14

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến (tiếp xúc) mặt cầu

Câu 1 (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2 2  2

nhiêu điểm A a b c , ,  (a b c, , là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxysao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của

 S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Câu 3 (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu:  S :x2y2z12 5 Có tất cả bao nhiêu điểm A a b c ; ;  ( , , a b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?

Câu 4 (THPT Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

S x  y z  và một điểm M2;3;1 Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới  S , biết tập

hợp các tiếp điểm là đường tròn  C Tính bán kính r của đường tròn  C

Câu 5 (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là

2, 3 , 3 ,2(đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

( ) :S x y (z1)  Hỏi có bao nhiêu điểm M trên mặt phẳng (7 Oxy với M có tọa độ nguyên sao )

cho qua M kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt cầu ( ) S

Trang 15

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường

thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất Như trong hình vẽ ta luôn có AMAH

Kết quả 3 Với ba điểm A B C, , bất kì ta luôn có bất đẳng thức ABBCAC

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A A1, 2, A ta luôn có n

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy

Kết quả 5 Với hai véc tơ a b ,

ta luôn có a b   a b 

Đẳng thức xảy ra khi akb k, 



2 Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho điểm A cố định và điểm Mdi động trên hình  H (  H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm

giá trị nhỏ nhất của AM

Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H Khi đó, trong tam giác AHM

Vuông tại Mta có AM  AH

Đẳng thức xảy ra khi M H Do đó AM nhỏ nhất khi Mlà hình chiếu của A lên  H

Bài toán 2 Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I, bán kính R, M là điểm di động trên  S Tìm giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM

Trang 16

Lời giải Xét A nằm ngoài mặt cầu ( ).S Gọi M M lần lượt là giao điểm của đường thẳng 1, 2 AI với mặt cầu ( )S AM1 AM2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI Khi đó ( ) cắt ( )S theo một đường tròn lớn ( ).C Ta có M MM1 2 90 , nên AMM và 2 AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1

Vậy minAM |AIR|, maxAM RAI

Bài toán 3 Cho măt phẳng ( )P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điểm M thuộc ( )P sao cho

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Gọi A đối xứng với A qua ( )P Khi đó

AM BM  A M BM  A B

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( )P

2 Ta xét các trường hợp sau

Trang 17

- TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Khi đó

|AMBM|AB

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( )P Gọi A'đối xứng với Aqua  P , Khi đó

|AMBM| A M BM A B

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( )P

Bài toán 4 Viết phương trinh măt phẳng ( )P di qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( ),P khi đó

d( , ( ))B P BHBA

Do đó  P là mặt phẳng đi qua Avuông góc với AB

Bài toán 5 Cho các số thực dương  , và ba điểm A B, , C Viết phương trình măt phẳng

Đến đây ta chuyển về trường hợp trên

So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất

Bài toán 6 Trong không gian cho n điểm A A1, 2,,A n và diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm A i i( 1,n ) lớn nhất

- Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ) Khi đó, gọi G 1

là trọng tâm của m điểm, G là trọng tâm của k điểm 2 G đối xứng với 3 G qua 1 A Khi dó

Trang 18

Đến đây ta chuyển về bài toán trên

Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua đường thẳng  và cách Amột khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng  Khi đó

d( , ( ))A P AHAK

Do đó ( )P là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK

Bài toán 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A A1, 2,,A n Xét véc tơ

w MA M A  M A

Trong đó  1; 2 nlà các số thực cho trước thỏa mãn 12 n  Tìm điểm 0

M thuôc măt phẳng ( )P sao cho |w|

M P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 9 Trong không gian Oxy z, cho các diểm A A1, 2,,A n Xét biểu thức:

Vì 1GA122GA22n GA n2 không đổi nên

• với 12n  thì 0 T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

• với 12n thì 0 T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

Mà M( )P nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q chứa d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất

Trang 19

Lời giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( )P và lấy điểm Md M, I Gọi H K,

lầ lượt là hình chiếu của M lên ( )P và giao tuyến  của ( )P và ( )Q

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau Viết phương trinh mặt phẳng ( )P chứa d và tạo với d một góc lớn nhất

Trang 20

Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d

Khi đó góc giữa  và ( )P chính là góc giữa d và ( )P

Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( )P và d, là góc giữa 

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Câu 8 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm

 1; 2;3 , 6; 5;8

A  B  và OMa i b k. 

trong đó ,a b là cá số thực luôn thay đổi Nếu MA2MB

đạt giác trị nhỏ nhất thì giá trị a b bằng

Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2;1, B2; 1;3 ,C3;1; 5  Tìm điểm M

trên mặt phẳng Oyz sao cho MA22MB2MC2 lớn nhất

Câu 12 (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC

với A2;1; 3, B1; 1; 2 , C3; 6;1  Điểm M x y z thuộc mặt phẳng  ; ;  Oyz sao cho 

MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức P  x y z

A P 0 B P 2 C P 6 D P   2

Trang 21

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A4; 2; 2 , B1;1; 1 ,  C2; 2; 2   Tìm tọa

độ điểm M thuộc mặt phẳng Oyz sao cho MA2MB MC

Câu 18 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có

phương trình là x2y2z22x2y6z  Cho ba điểm 7 0 A, M, B nằm trên mặt cầu  S sao cho

Trang 22

Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (1;1;1) A , ( 2;3; 4)B  và ( 2;5;1)C  Điểm M a b( ; ; 0) thuộc

A 6

6

6.4

Câu 24 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi điểm

 với a b, nguyên dương và a

b tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3 Khi đó giá trị của Q2a b bằng

A P23 B P31 C P11 D P13

Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2;4 , B  3;3; 1  và mặt cầu

  S : x12y32z32 Xét điểm 3 M thay đổi thuộc mặt cầu  S , giá trị nhỏ nhất của

Trang 23

Câu 29 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 5 điểm A1; 0; 0, B  1;1; 0, C0; 1; 0 , D0;1; 0,

Trang 24

Câu 38 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S có phương trình x2y2z24x2y2z  và 3 0điểm A5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

,

M N Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức SAM4AN

A Smin 30 B Smin 20 C Smin  343 D Smin 5 349

Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu    2 2  2

 P sao cho MN 1 Biết giá trị nhỏ nhất của AMBN có dạng a b c (a b c  , , và c là số nguyên

A 90 3 B 50 6 C 100 2 D 100 3

Câu 45 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) S tâm (2; 1;3) I 

S x y z  x z  Biết mặt phẳng ( )P là giao của hai mặt cầu

( )S và  S1 Gọi M N là hai điểm thay đổi thuộc mặt phẳng ( ), P sao cho MN  2 Giá trị nhỏ nhất của

Trang 25

AMBN bằng a b 2 , với ,a b   và (0;5; 0), (3; 2; 4) A B   Tính giá trị gần đúng của b

phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu    S1 , S2 và I là tâm của  S1 Xét điểm M a b c di động trên ( )( ; ; ) P

sao cho IM tiếp xúc với mặt cầu  S2 , khi AM ngắn nhất thì a b c  bằng

73

Câu 48 (THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Trong không gian Oxyz cho đường tròn ( ) C là giao tuyến

của mặt phẳng tọa độ (xOy với mặt cầu ) ( ) : (S x6)2(y6)2(z3)241 Gọi d là đường thẳng đi qua các điểm (0; 0;12), (0; 4;8)A B Với M N là các điểm thay đổi thứ tự trên ( ), C và d Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN gần với giá trị nào nhất sau đây?

Câu 49 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

( )S có phương trình x2(y1)2z2  và điểm 4 H(3; 0;3) Gọi  là đường thẳng đi qua điểm H và cắt

mặt phẳng (Oxy , với tọa độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến )  S1 ba tiếp tuyến MX MY MZ (với , ,, ,

X Y Z là các tiếp điểm và đôi một khác nhau) sao cho mặt phẳng ( XYZ tiếp xúc với )  S2 ?

sao cho biểu thức 3MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị Pxy2z là

A P  3 B P 11 C P 7 D P 5

Câu 52 (Sở KonTum 2022) Trong không gian Oxyz cho hai điểm , A3;1; 3 ,  B0; 2;3  và mặt cầu

  S : x12y2z321. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu  S , giá trị lớn nhất của MA22MB2

bằng

Trang 26

Câu 53 (Sở Lai Châu 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , từ điểm (1;1; 0) A ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu ( )S có tâm ( 1;1;1) I  , bán kính R  Gọi 1 M a b c là một trong các tiếp điểm ứng với các ( ; ; )tiếp tuyến trên Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T | 2a b 2 |c

x y z  x y  và hai điểm (4; 2;1), (3; 0; 0)A B Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu

( )S Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2MAMB bằng

Câu 55 (Sở Nghệ An 2022) Trong không gian Oxyz cho các điểm

( 4; 0; 0), (0;8; 0), (0; 0; 12), (1; 1; 1)

OABC Các đường thẳng MA MB MC MO lần lượt cắt mặt cầu ( ), , , S tại các điểm A B C O, , ,  (khác , , ,

Câu 58 (Sở Nam Định 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

  S : x12y22z42 27 Xét điểm M thuộc mặt phẳng toạ độ Oxy sao cho từ M kẻ được

ba tiếp tuyến MA MB MC đến mặt cầu , ,  S (trong đó , ,A B C là các tiếp điểm) thoả mãn

Trang 27

Trang 28

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM

Dạng 1 Xác định tâm và bán kính

Câu 1 (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz, mặt cầu    2  2 2

:

S xa  yb  zc R có tâm là I a b c  ; ;  Suy ra, mặt cầu   S : x12y22z32 16 có tâm là I  1; 2;3  

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Chuyên đề 29

I R

Trang 29

Câu 5 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x22y42z12 Tâm của 9  S có tọa độ là

A 2; 4; 1  B 2; 4;1  C 2; 4;1  D  2; 4; 1

Lời giải Chọn B

Tâm của mặt cầu  S có tọa độ là 2; 4;1 

Câu 6 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian , cho mặt cầu Bán

Lời giải Chọn C

Câu 8 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2(z1)2 16 Bán

kính của ( )S là:

S x y  z  là R  164

Câu 10 (Mã 101- 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

  S : x12y22z32 4 Tâm của  S có tọa độ là

A 1; 2; 3  B 2;4;6 C 1;2;3 D 2; 4; 6 

Lời giải Chọn A

Tâm mặt cầu  S có tọa độ là 1; 2; 3 

Trang 30

Câu 11 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y22z324 Tâm của  S có tọa độ là

A 1; 2;3 B 2; 4; 6   C 2; 4;6 D 1; 2; 3  

Lời giải Chọn D

Tâm của mặt cầu  S có tọa độ là 1; 2; 3  

Câu 12 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt

cầu( ) : (S x1)2(y2)2(z3)2  Tâm của 9 ( )S có tọa độ là:

A ( 2; 4; 6)  B (2;4; 6) C ( 1; 2;3)  D (1; 2; 3)

Tâm của ( )S có tọa độ là: ( 1; 2;3) 

Câu 13 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S :

x12y22z32 9 Tâm của  S có tọa độ là

A  1; 2;3 B  2; 4;6 C 1; 2; 3  D 2; 4; 6 

Lời giài Chọn C

Tâm của mặt cầu  S đã cho là: I1; 2; 3 

Câu 14 (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

 S : x2y22z22 8 Tính bán kính R của  S

Câu 16 (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x5 2 y1 2 z229 Tính bán kính R của  S

Phương trình mặt cầu tâm I a b c , bán kính R có dạng:  ; ; 

x a  2 y b  2 z c 2 R2R3

Trang 31

Câu 17 (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   S : x32y12z122 Tâm

của  S có tọa độ là

A 3; 1;1  B  3; 1;1 C 3;1; 1  D 3;1; 1 

Tâm của  S có tọa độ là  3; 1;1

Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính

:

I a b c và bán kính R

Nên mặt cầu x12y22z42 20 có tâm và bán kính là I1; 2; 4 ,  R2 5

Câu 19 (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2

Ta có  S :x2y2z22x2y 7 0x12y12z29

Trang 32

Vậy bán kính của mặt cầu bằng 3

Câu 22 (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2z2 2y2z 7 0 Bán

kính của mặt cầu đã cho bằng

Mặt cầu đã cho có phương trình dạng x2 y2z22ax2by2czd  có bán kính là 0

Vậy mặt cầu  S có tâm I4; – 1; 0 và bán kính R 4

Câu 24 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  Tính bán kính R của mặt cầu  S

A R  3 B R 3 C R 9 D R 3 3

Lời giải

 S :x2y2z22x4y2z 3 0 x12y22z129

Vậy bán kính của mặt cầu  S là R  3

Câu 25 Trong không gian vơi hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu   2 2 2

Câu 26 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

  S : x32y12z12  Xác định tọa độ tâm của mặt cầu 2  S

A I  3;1; 1  B I3;1; 1  C I   3; 1;1 D I3; 1;1 

Lời giải

Mặt cầu  S có tâm là I   3; 1;1

Câu 27 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S :x2y2z22x4y2z 3 0

Tọa độ tâm I của mặt cầu  S là:

A 1; 2; 1 B 2; 4; 2   C 1; 2; 1   D 2; 4; 2

Trang 33

Lời giải

x y z  x y z   x  y  z 

Từ đó suy ra mặt cầu  S có tâm là: 1; 2;1

Câu 28 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là 2; 1; 3 

Câu 30 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có

Mặt cầu đã cho có tâm I1; 2; 3  và bán kính R 2

Câu 31 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) S có

phương trình x2y2z24x2y  Tính bán kính 4 0 R của ( ).S

Lời giải Chọn D

Giả sử phương trình mặt cầu ( ) :S x2y2z22ax2by2czd 0 (a2b2c2d 0)

Tâm của  S có tọa độ là 3; 1;1 

Trang 34

Câu 33 (Mã 101-2021-Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu    2  2 2

Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I0 ; 0 ; 3  và đi

qua điểm M4; 0; 0 Phương trình của  S là

Phương trình mặt cầu  S có tâm I0 ; 0 ; 3  và bán kính R là: 2 2  2 2

Phương trình x2y2z22x2y4z m 0 là một phương trình mặt cầu

Câu 3 (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm I1;1;1 và A1; 2;3 Phương

trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là

Trang 35

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là x12y32z32 45

Câu 5 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

mặt cầu có tâm I1; 4;3  và đi qua điểm A5; 3;2 

Mặt cầu có tâm I1; 4;3  và đi qua điểm A5; 3;2 nên có bán kính RIA3 2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x12y42z32 18

Câu 6 (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1;1 và B1; 1;3  Phương

Trang 36

Câu 8 (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau

phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

A x2y2z22x4z  1 0 B x2z23x2y4z  1 0

C x2y2z22xy4y4z  1 0 D x2y2z22x2y4z  8 0

Câu 10 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây không

phải là phương trình của một mặt cầu?

Câu 11 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz, cho hai

điểm A1; 2;3 , B5; 4; 1  Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Trang 37

Câu 12 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I2;1; 2  bán

Câu 13 (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu  S tâm A2;1; 0,

đi qua điểm B0;1; 2?

Vậy chọn đáp án B

Câu 14 (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm I(2;3; 4) và A1; 2; 3 Phương trình

mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:

Bán kính của mặt cầu: rIA 021222  5

Phương trình mặt cầu: x12y12z125

Trang 38

Câu 16 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai

điểm A1; 2;3,B5; 4; 1  Phương trình mặt cầu đường kính AB là

+ Gọi I là trung điểm của AB  I3;3;1

Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I4; 0;3 của AB làm tâm

Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn MN I1; 2;1

Vậy phương trình mặt cầu là x12y22z1236

Câu 19 (Mã 101-2021-Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I1; 4; 0  và bán kính

Trang 39

Mặt cầu  S có tâm I1; 4; 0  có bán kính 3 có phương trình là  2  2 2

x  y z 

Trang 40

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1 Xác định tâm, bán kính của mặt cầu

Câu 1 (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

Theo bài ra mm   2; 1;0;1; 2;3; 4 có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài toán

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

Tiêu đề	Phương trình mặt cầu
Thể loại	Tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2023

Định dạng
Số trang	99
Dung lượng	3,68 MB