Chuyên đề 30 phương trình mặt phẳng đáp án

Xét các điểm M thuộc S sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với S.. Lời giải Chọn C Gọi phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: do đó có 4 mặ

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Một số bài toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu

Câu 1 (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) : (S x1)2(y2)2(z3)2  và điểm 1

Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu ( ) S Tâm mặt cầu là (1; 2; 3) I

Đường thẳng AM tiếp xúc với ( ) S  AM IM  AM IM 0

Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: 2 x2y6z  9 0

Câu 3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A2; 2;2  và mặt cầu   2 2  2

S x y  z  Điểm M di chuyển trên mặt cầu  S đồng thời thỏa mãn OM AM   6

Điểm M luôn thuộc mặt

phẳng nào dưới đây?

A 2x 2 y6z 9 0 B 2x2y6z 9 0

C 2x2y6z 9 0 D 2x 2 y6z 9 0

Lời giải Chọn D

Gọi điểm M x y z ; ;    S là điểm cần tìm

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Chuyên đề 30

Trang 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 4 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt

cầu  S : x12y12z12  và điểm 1 A(2; 2; 2) Xét các điểm M thuộc ( )S sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với ( )S M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình

Trang 3

tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1 ,  S2 ,  S3

Lời giải Chọn C

Gọi phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là:

do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho   S : x32y22z52 36, điểm M7;1;3 Gọi  là

đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu  S tại N Tiếp điểm N di động

trên đường tròn  T có tâm J a b c Gọi  , ,  k2a5b10c, thì giá trị của k là

A 45 B 50 C 45 D 50

Lời giải

Trang 4

Có IM  25 16 4  3 56R , nên M thuộc miền ngoài của mặt cầu  S

Có MN tiếp xúc mặt cầu  S tại N , nên MN IN tại N

Gọi J là điểm chiếu của N lên MI

x y z

Oyz đồng thời đi qua các điểm  M N P, , Tìm c biết rằng a   b c 5

Lời giải Chọn B

Phương trình mặt cầu  S tâm I a b c ; ;  là x2y2z22ax2by2czd0

Trang 5

Câu 8 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H1; 2; 2  Mặt phẳng

   đi qua H và cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A B C, , sao cho H là trực tâm của

tam giác ABC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Mặt phẳng    cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c Do

H là trực tâm tam giác ABC nên a b c , , 0

Trang 6

00

9

281

99

4

481

99

4

d d

S x y z  x y z  cắt nhau theo đường tròn  C Hỏi có bao nhiêu mặt cầu

có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN NP PM, ,

Lời giải

Giả sử mặt cầu  S có tâm I C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN NP PM, ,

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên MNP 

Ta có:  S tiếp xúc với ba đường thẳng MN NP PM, ,

Gọi G là trọng tâm tam giác MNP G2; 2; 2 và G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

MNP Thay tọa độ của điểm G vào phương trình mặt phẳng   , ta có: G 

Gọi  là đường thẳng vuông góc với MNP tại G

Trang 7

 

MNP G

 Mặt cầu tâm I bán kính r tiếp xúc với ba đường thẳng MN, NP , PM

Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng

, ,

MN MP PM

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A3;1;1 , B1; 1; 5  và mặt phẳng

 P : 2xy2z110 Mặt cầu  S đi qua hai điểm A B, và tiếp xúc với  P tại điểm C Biết

C luôn thuộc một đường tròn  T cố định Tính bán kính r của đường tròn  T

Trang 8

giao tuyến của ( )P và ( )S Tính giá trị của T a b c d   khi thiết diện qua trục của hình nón

h r R I

B

A

Trang 9

Gọi I a b c ; ;  là tâm mặt cầu

Theo giả thiết ta có Rd I ,  d I ,  

 2

2

11

,

11

1111

Câu 13 Trong không gian Oxyz, mặt cầu  S đi qua điểm A2; 2;5  và tiếp xúc với ba mặt phẳng

 P :x1, Q :y 1 và  R :z 1 có bán kính bằng

Trang 10

Câu 14 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M ; ;1 1 2 Hỏi có bao nhiêu mặt

phẳng  P đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho

0

OAOBOC  ?

Mặt phẳng  P đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các

điểmA a; ; 0 0 ,B 0;b;0 ,C 0 0; ;c Khi đó phương trình mặt phẳng  P có dạng:

- Với abcthay vào  1 được abc4

- Với ab c thay vào  1 được 01 (loại)

Trang 11

- Với ac b thay vào  1 được ac  b 2

- Với bc a thay vào  1 được b c a 2

Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn bài toán là:

a b c

Ta có M2; 2; 0 Suy ra OM 2 2

Câu 16 (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba

điểm A a ; 0; 0, B0; ; 0b , C0; 0;c với  a b c , , 0 Biết rằng ABC đi qua điểm 

Trang 12

 khoảng cách từ tâm I1,2,3 của cầu tới mặt phẳng ABC là  72

Giả sử mặt cầu  S đã cho có phương trình dạng: x2y2z22ax2by2czd  0

Vậy c  thỏa yêu cầu đề 2

Câu 18 (Sở Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2  2

Trang 13

Tam giác ABI vuông tại B nên ta có AB IA2IB2  5

Gọi H x y z ; ;  là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABI

x y z

Mặt cầu  S có tâm I0;0;1, bán kính R 5, mặt cầu  S có tâm I 1; 2;3, bán kính R 1

Vì I I  3 R R 4 nên mặt cầu  S nằm trong mặt cầu  S

Mặt phẳng  P tiếp xúc  S d I , P R1;  P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 ( suy ra bán kính đường tròn là r 3) nên     2 2

d I P  R r  Nhận thấy d I P ,  d I , P I I nên tiếp điểm H của  P và  S cũng là tâm đường tròn giao của  P và  S Khi đó,  P là mặt phẳng đi qua H, nhận II   1; 2; 2

làm vecto pháp tuyến

Trang 14

Ta có:

43

; ;

113

định tiếp xúc với mặt phẳng  P và cùng đi qua A Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng

A 10 2 B 12 3 C 12 2 D 10 3

Gọi I x y 0; 0;z0 là tâm của mặt cầu  S cố định và R là bán kính của mặt cầu  S

0 0

0 0 0

Trang 15

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Câu 21 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho mặt cầu

Trừ theo vế hai phương trình cho nhau ta được: x y z40

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z24x4y2z70 và

đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng m x1 2 m y 4mz40 và

Trang 16

Giả sử đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm m A B ,

N B

A

I K

H

Trang 17

144

17

42

S x  y z  Có tất cả bao nhiêu điểm A a b c ( ; ;  a , c là các số nguyên) thuộc

mặt phẳng có phương trình y 2 2 sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của 0  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Mặt cầu  S có tâm I0; 2;0 và bán kính R 4

 ; ; 

A a b c thuộc mặt phẳng có phương trình y 2 20 nên b 2 2 Hay A a ; 2 2;c 

Tập tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A là một đường tròn  C Gọi BC là một đường

kính của  C Khi đó BAC là góc có số đo lớn nhất trong tất cả các góc còn lại

Như vậy điều kiện có ít nhất hai tiếp tuyến của  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau là góc 90 BAC180

Trong trường hợp BAC 90 thì ABIC là hình vuông nên ta có AI 4 2

Như vậy, suy ra: YCBTIA4 2 Hay IA a218c2 4 2 a2c214

Trang 18

Do a , c là các số nguyên nên xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: a 0  c 0; 1; 2; 3    Có 7 điểm

Trường hợp 2: a  1 c 0; 1; 2; 3    Có 14 điểm

Trường hợp 3: a  2 c 0; 1; 2; 3    Có 14 điểm

Trường hợp 4: a  3 c 0; 1; 2   Có 10 điểm

Vậy có tổng 7 14 14 10   45 điểm thỏa mãn bài toán

Câu 26 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y12z12 9 và điểm A2;3; 1  Xét các điểm M thuộc  S sao cho

đường thẳng AM tiếp xúc với  S Hỏi điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới

đây?

A 3x4y20 B 3x4y 2 0 C 6x8y11 0 D 6x8y11 0

d

            

Vậy   1 : 3x4y 2 0;  2 : 3x4y340

và lần lượt cắt mặt cầu  S1 theo ba đường tròn Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó

là

A 8 B 4 6 C 2 30 D 4

Ta có  S1 có tâm I12; 3;1 , bán kính R 1 2,  S2 có tâm I23; 1; 1  , bán kính R  2 1

Ta thấy I I1 2  3 R1R2 nên  S1 tiếp xúc ngoài với  S2 , do đó I M1 R1 2

Gọi d d d1, 2, 3 lần lượt là khoảng cách từ I1 đến ba mặt phẳng qua M và đôi một vuông góc với nhau ; r r r tương ứng là bán kính của ba đường tròn giao tuyến 1, ,2 3

Trang 19

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường

thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH

Kết quả 3 Với ba điểm A B C, , bất kì ta luôn có bất đẳng thức ABBCAC

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A A1, 2, A ta luôn có n

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y

Kết quả 5 Với hai véc tơ a b ,

ta luôn có a b   a b 

Đẳng thức xảy ra khi akb k, 



2 Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình  H (  H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm

giá trị nhỏ nhất của AM

Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H Khi đó, trong tam giác AHM

Vuông tại M ta có AM AH

Đẳng thức xảy ra khi M H Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên  H

Bài toán 2 Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I, bán kính R, M là điểm di động trên  S Tìm giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM

Lời giải Xét A nằm ngoài mặt cầu ( ).S Gọi M M lần lượt là giao điểm của đường thẳng 1, 2 AI với mặt cầu ( )S AM1 AM2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI Khi đó ( ) cắt ( )S theo một đường tròn lớn ( ).C Ta có M MM1 290 , nên AMM và 2 AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1

1

AMM và AMM ta có 2

Trang 20

AIR AM  AM AM  AIR

Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có

RAI AMRAI

Vậy minAM | AIR|, maxAM RAI

Bài toán 3 Cho măt phẳng ( )P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điể M thuộc ( )P sao cho

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Gọi A đối xứng với A qua ( )P Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( )P Gọi A'đối xứng với Aqua  P , Khi đó

|AMBM| A M BM A B

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( )P

Bài toán 4 Viết phương trinh măt phẳng ( )P di qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( ),P khi đó

d( , ( ))B P BH BA

Do đó  P là mặt phẳng đi qua Avuông góc với AB

Bài toán 5 Cho các số thực dương  , và ba điểm A B, , C Viết phương trình măt phẳng

Trang 21

Đến đây ta chuyển về trường hợp trên

So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất

Bài toán 6 Trong không gian cho n điểm A A1, 2,,A n và diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm A i i( 1,n ) lớn nhất

- Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ) Khi đó, gọi G 1

là trọng tâm của m điểm, G là trọng tâm của k điểm 2 G đối xứng với 3 G qua 1 A Khi dó

 3   2 

Đến đây ta chuyển về bài toán trên

Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua đường thẳng  và cách Amột khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng  Khi đó

d( , ( ))A P  AHAK

Do đó ( )P là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK

Bài toán 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A A1, 2,,A n Xét véc tơ

w MA M A  M A

Trong đó  1; 2 nlà các số thực cho trước thỏa mãn 12 n Tìm điểm 0

M thuôc măt phẳng ( )P sao cho |w|

M P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 9 Trong không gian Oxy z, cho các diểm A A1, 2,,A n Xét biểu thức:

Trang 22

Vì 1GA122GA22n GA n2 không đổi nên

• với 12 n  thì 0 T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

• với 12 n  thì 0 T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

Mà M( )P nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q chứa d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất

Lời giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( )P và lấy điểm Md M, I Gọi H K,

lầ lượt là hình chiếu của M lên ( )P và giao tuyến  của ( )P và ( )Q

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau Viết phương trinh mặt phẳng ( )P chứa d và tạo với d một góc lớn nhất

Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d Khi đó góc giữa  và ( )P chính là góc giữa d

và ( )P

Trang 23

Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( )P và d, là góc giữa

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Dạng 2.1 Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích

Câu 1 (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; 6 ,  B0;1; 0 và mặt

cầu   S : x12y22z3225 Mặt phẳng  P :ax by cz  đi qua 2 0 A B, và cắt

 S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tính T a  b c

Lời giải Chọn A

Trang 24

Vậy d I P lớn nhất bằng 5 khi và chỉ khi    ;   c 1 a 0,b2   a b c 3

Câu 2 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng  P đi qua điểm M1;1;1 cắt các tia Ox , Oy,

Oz lần lượt tại A a ;0;0, B0; ; 0b , C0;0;c sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất Khi 

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A2;0;0, M1;1;1 Mặt phẳng  P thay đổi qua

AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C Khi mặt phẳng  P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A 5 6 B 4 6 C 3 6 D 2 6

5



10



Trang 25

16 8.16 4 62

Vậy minS ABC4 6, đạt được khi b c 4

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z32 9, điểm

Trang 26

55

b b

+ Tới đây ta có thể Thử các trường hợp đáp án

Hoặc ta làm tự luận như sau:

Trang 27

A T 4 B T  6 C T 2 D T 12

Nếu a c thì ba d;  3a và ( ) :P axayaz- 3a0 xy z 30 (loại)

Vây T a b c d   6

Câu 7 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm

0; 1; 1 ,  1; 3;1

 P :2xy2z 1 0 sao cho CD 4 và A C D, , thẳng hàng Gọi S S lần lượt là diện tích 1, 2lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD Khi đó tổng S1S2 có giá trị bằng bao nhiêu?

Ta có AB    1; 2; 2

Trang 28

Gọi H là hình chiếu của B trên CD ta có BHBA nên SBCD lớn nhất khi H  A

song với mặt phẳng  P và bốn điểm , , ,A B C D tạo thành một tứ diện Giá trị lớn nhất của tứ

diện đó là

A 2 6 B 2 5 C 2 2 D 2 3

Trang 29

xy z  Mặt phẳng mặt phẳng B C D   song song với mặt phẳng

Trang 30

Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của  P và  S  r R2d2I P,  , để r đạt giá trị

suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x  là

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: x     9 b 9 a 6 T1

Do đó minSABC 2 6 khi a  1 Khi đó ta có C  1;1; 2   a b 0

Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz mặt phẳng ,  P

đi qua điểm M1; 2;1 cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , ,, , A B C ( , , A B C không trùng

với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Mặt phẳng  P đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A N0; 2; 2 B M0; 2;1 C P2;0;0 D Q2;0; 1 

Trang 31

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Lời giải

Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng  P

đi qua điểm M9;1;1 cắt các tia Ox Oy Oz, , tại A B C, , (A B C, , không trùng với gốc tọa độ ) Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

S x y z  Một mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu  S và cắt các tia Ox,

O y , Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA2OB2OC227 Diện tích tam giác ABC bằng

Trang 32

Gọi H a b c ; ;  là tiếp điểm của mặt phẳng    và mặt cầu  S Từ giả thiết ta có a, b, c là các số dương Mặt khác, H S nên a2b2c2  hay 3 OH2  3 OH  3 (1)

Mặt phẳng    đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận OHa b c; ; 

làm véctơ pháp tuyến Do đó, mặt phẳng    có phương trình là

 ,

30; ;0

B b

 ,

30;0;

V S

OH

Câu 15 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( ) :P x  y z 0 và mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z2)2  Xét một điểm 1 M thay đổi trên mặt phẳng ( )P Gọi khối nón ( )N có đỉnh là điểm M và có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm

vẽ từ M đến mặt cầu ( )S Khi ( )N có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của

( )N có phương trình dạng x ay bz   c 0 Tính a b c 

 Cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm I(0;1; 2)và điểm M ta được thiết diện như sau:

A

Trang 33

IH  IM

 

và

1 2 5( ; ; )

Câu 16 (Chuyên KHTN - 2021) Trong không gian Oxyzcho hai điểm A( 4;1;5), (6; 1;1) B  và mặt

phẳng ( ) :P x   y z 1 0 Xét mặt cầu ( )S đi qua hai điểm A B, và có tâm thuộc ( )P Bán kính mặt cầu ( )S nhỏ nhất bằng

Lời giải Chọn A

Trang 34

GE IE

AF d A P AG

Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là ( ) : 5Q  x y 2z 1 0

Gọi I là tâm mặt cầu Khi đó I     P  Q

Vậy minR  35

Câu 17 (Sở Lào Cai - 2021) Trong không gian Oxyz cho hai điểm , A(3; 2; 0); B( 1; 2; 4). Xét trụ ( )T

nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?

A C0; 1; 2 3    B C0; 1; 2 3   C C1; 0; 2 3   D C  1; 0; 2 3 

Gọi (1; 0; 2)O là tâm của mặt cầu

Gọi h là chiều cao của trụ, r là bán kính đáy của trụ

Ta có:

2

( )4

Trang 35

Câu 18 (Đề Tham Khảo 2021) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1;3 và B6;5;5 Xét khối nón  N

có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB Khi  N có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N có phương trình dạng 2x by czd0 Giá trị của b c d

bằng

A 21 B 12 C 18 D 15

(Nhờ vẽ hình giúp, xin cảm ơn)

Mặt cầu đường kính AB có tâm và bán kính là I4;3; 4 , R3

Gọi I là tâm mặt cầu và H là tâm đường tròn đáy của hình nón Ta có

Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của khối nón đi qua H, nhận AB

là một vecto pháp tuyến nên

có phương trình là 2x2y z 21 0 Vậy b c d  18

Câu 19 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian cho hai điểm I2;3;3và J4; 1;1  Xét

khối trụ  T có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính IJ và có hai tâm nằm trên đường thẳng IJ Khi có thể tích  T lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của  T

có phương trình dạng x by czd1 và 0 x by czd2 Giá trị của 0 2 2

d d bằng:

Gọi H K, lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy của hình trụ

Trang 36

Không mất tính tổng quát gọi d1 1 2 3;d2 1 2 3 2 2

2 ngoại tiếp tứ diện O ABC Khi tổng .

OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng  đi qua tâm I của mặt cầu  S và song song với mặt phẳng OAB có dạng  mxnypzq0 ( với m,n,p,q ;q

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC là

Trang 37

Câu 21 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm C1; 2;11 , H( 1; 2; 1)  , hình nón N có đường cao

CH h và bán kính đáy là R 3 2 Gọi M là điểm trên đoạn CH, C là thiết diện của mặt phẳng  P vuông góc với trục CH tại M của hình nón N Gọi N  là khối nón có đỉnh H

đáy là  C Khi thể tích khối nón N  lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón N có tọa độ tâm

 ; , ,

I a b c bán kính là d Giá trị a  b c d bằng

Đặt HM  x, 0xh Gọi I R r, , lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của nón ( )N , bán kính đường tròn  C Khi đó ta cóCH h12 là chiều cao của ( ),N R 3 2

3

R h x

x h

13

R

h x x h



Trang 38

2

2 2

13

1

33

Câu 22 Trong hệ trụcOxyz, cho hai mặt cầu   S1 : x12y32z22 49 và

Trang 39

Mặt cầu  S có tâm 1 I1; 3; 2 , bán kính R 1 7; mặt cầu  S2 có tâm J10;9; 2, bán kính

2 20

R  Ta có IJ9;12; 0

, IJ 15 Mặt phẳng  P : 4x3ymz22 có vec tơ pháp tuyến 0 nP4; 3; m

Do IJ n  P 0

 

nên IJ song song hoặc chứa trong (P)

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu    S1 , S2 là 2  7 20 15 28

Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1;1 và B2;1;1 Xét khối nón  N có đỉnh A

đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB Khi  N có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng

 P chứa đường tròn đáy của  N cách điểm E1;1;1 một khoảng là bao nhiêu?

r

J I

Trang 40

x

11

12

Giá trị của b c d bằng e

A 15 B 12. C 14. D 13.

Tiêu đề	Chuyên Đề 30 Phương Trình Mặt Phẳng
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Bắc Giang

Định dạng
Số trang	80
Dung lượng	1,68 MB