Chuyên đề viết phương trình mặt cầu Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TOÁN 12

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phương trình mặt cầu

a Phương trình mặt cầu dạng chính tắc :

Cho mặt cầu có tâm I a b c , bán kính  ; ;  R

Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là    2  2 2 2

:

S x a  y b  z c R

b Phương trình mặt cầu dạng khai triển :

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là   2 2 2

S x y z  ax by cz d

Khi đó mặt cầu có tâm I a b c , bán kính  ; ;  2 2 2  2 2 2 

0

R a b  c d a b   c d

2 Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu :

Cho điểm A và mặt cầu S O R Ta có :  ; 

 Điểm A thuộc mặt cầu OAR

 Điểm A nằm trong mặt cầu OAR

 Điểm A nằm ngoài mặt cầu OAR

3 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

Cho mặt phẳng  P và mặt cầu S O R Ta có :  ; 

 Mặt phẳng  P không cắt mặt cầu S O R ;  d O P ;  R

 Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu S O R ;  d O P ;  R

 Mặt phẳng  P cắt mặt cầu S O R theo giao tuyến là đường tròn có bán kính ;  2 2   

,

r R d O P

 

  Khi  P đi qua tâm O của mặt cầu ta nói  P cắt S O R theo giao tuyến là một  ;  đường tròn lớn có tâm chính là O và bán kính là R

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu :

Cho đường thẳng  và mặt cầu S O R Ta có :  ; 

 Đường thẳng  ko cắt mặt cầu S O R ;  d O ;   R

 Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O R ;  d O ;   R

 Đường thẳng  cắt mặt cầu S O R tại hai điểm phân biệt $A,B$  ;  d O ;   R Khi đó ta có

 

; 4

R  AB d O 

Ví dụ: Trong không gian mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O0;0;0và đi qua điểm M0;0; 2 có phương

trình là

A x2y2 z2 2 B x2y2z2 4

C 2 2  2

x y  z  D 2 2  2

x y  z 

Lời giải

Chọn C

Ta có mặt cầu  S có tâm là O0;0;0 và đi qua M0;0; 2 có bán kính là: RIM 2

Vậy   2 2  2

S x y  z 

II BÀI TẬP

Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y4z m 0 có bán kính R5

Giá trị của tham số m bằng

A 16

B 16

C 4

D 4

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu ( )S có tâm I1; 2; 2 

Ta có R 1 4 4     m 5 m 16

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

x y z  m x my m z  Gọi R là bán kính của  S , giá trị nhỏ nhất của R

bằng:

A 7

B 377

7

C 377

D 377

4

Lời giải:

Chọn D

Mặt cầu  S có tâm 1; 3 ;1 3

2

m

I m    m

Ta có

R m      m    m   m   

Vậy min 377 16

Câu 3 Trong không gian Oxyz, phươngtrình mặt cầu ( ) S có tâm (1; 3; 2) I  và qua điểm (5; 1; 4)A  là

A (x1)2(y3)2 (z 2)2  24

B (x1)2(y3)2 (z 2)2  24.

C (x1)2(y3)2 (z 2)2 24

D (x1)2(y3)2 (z 2)224

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3; 2) bán kính RIA 422222 2 6 là

(x1) (y3)  (z 2) 24

Câu 4 Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( )S có đường kính AB với A2;1;1, B0;3; 1  có phương

trình là

A 2  2 2

x  y z 

B 2  2 2

(x1)  y2 z 3,

C 2   2 2

(x1)  y2  z 1 9

D 2  2 2

(x1)  y2 z 9

Lời giải

Chọn B

Tọa độ trung điểm của AB là I1; 2;0

Ta có 2  2 2

Mặt cầu ( )S : 1; 2; 0

3

I R







 có phương trình: 2  2 2

(x1)  y2 z 3

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 và tiếp xúc với trục hoành có dạng

A   2  2 2

x  y  z 

B   2  2 2

x  y  z 

C   2  2 2

x  y  z 

D   2  2 2

x  y  z 

Lời giải

Chọn A

Ta có   2 2

Mặt cầu ( ) :S 1; 2;3

13

I R







 có phương trình   2  2 2

x  y  z 

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 8 0 Phương trình mặt cầu tâm

1; 2; 1

I  và tiếp xúc với mặt phẳng  P là

A   2  2 2

x  y  z 

B   2  2 2

x  y  z 

C   2  2 2

x  y  z 

D   2  2 2

x  y  z 

Lời giải

Chọn C

Ta có mặt cầu ( )S tâm I1; 2; 1  tiếp xúc với mặt phẳng  P nên

 

   2 2 2

1 4 2 8

   

Mặt cầu ( ) :S 1; 2; 1

3

I R

 





 có PT:   2  2 2

x  y  z 

Câu 7 Cho mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 và diện tích bằng 32  Phương trình của  S là

A   2  2 2

x  y  z 

B   2  2 2

x  y  z 

C   2  2 2

x  y  z 

D   2  2 2

x  y  z 

Lời giải

Chọn C

Ta có: S 4R24R2 32  R 8

Khi đó

    2  2 2

Câu 8 Viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 2;3và đi qua giao điểm của đường thẳng

1 : 2 3

 



  



  



với

mặt phẳng Oxy 

(x1) (y2)  (z 3) 27

B (x1)2(y2)2 (z 3)227

C (x1)2(y2)2 (z 3)2 3 3

(x1) (y2)  (z 3) 3 3

Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng Oxy có phương trình là : z0

Gọi A d (Oxy) A( 2;5;0)

Vì điểmA thuộc mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là RIA ( 3) 2  32 ( 3)2 3 3

Phương trình mặt cầu  S tâm I1; 2;3 và bán kính R3 3 là

 2

(x1) (y2)  z 3 27

P x y z m  m và mặt cầu

    2  2 2

S x  y  z  Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để mặt phẳng  P tiếp xúc

với mặt cầu  S

A 3

B 1

C 2

D 4

Lời giải:

Chọn C

Mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  có tâm và bán kính lần lượt là I1; 1;1 ,  R3 Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S khi và chỉ khi d I P ;  R

2

2

5

m

Câu 10 Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu  S có phương trình dạng

x y z  x y az a Tập hợp các giá trị thực của a để  S có chu vi đường tròn lớn

bằng 8 là

A  1;10

B 2; 10 

C 1;11

D 1; 11 

Lời giải

Chọn C

Đường tròn lớn có chu vi bằng 8 nên bán kính của  S là 8 4

2



 

Từ phương trình của  S suy ra bán kính của  S là 22 12 a210a

11

a

a

 



      



Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí