Chuyên đề 3 phương trình lượng giác thường gặp

CHUYÊN ĐỀ VD VDC TOÁN 11Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toán Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https www facebook comphong baovuong Trang 1 Mục lục CÂU HỎI 2 Dạng 1 Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn cho trước 2 Dạng 2 Phương tr.

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Mục lục

CÂU HỎI 2

Dạng 1 Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn cho trước 2

Dạng 2 Phương trình chứa tham số 7

Dạng 3 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất 11

LỜI GIẢI THAM KHẢO 12

Dạng 1 Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn cho trước 12

Dạng 2 Phương trình chứa tham số 41

Dạng 3 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất 64

Chuyên đề 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

CÂU HỎI

Dạng 1 Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn cho trước

Câu 1 Số nghiệm của phương trình sin 3 cos 1 0

Câu 3 Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2    2

cos x sin 2x 2 sin x trên khoảng 0;2.

Câu 9 Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

sin sin 4 2 cos 3.cos sin 4

Câu 11 Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương

trình 3.cos 5x2 sin 3 cos 2x xs inx là:

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 11

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 3

Câu 13 Phương trình 5 3 sinx2 cosx3cosx2 cosx3 có bao nhiêu nghiệm 0;10 ?

524

512

516

724

Trang 4

Câu 30 Tính tổngScác nghiệm của phương trình    4 4 

2 cos 2x5 sin xcos x 0 trong khoảng 0; 2 

Câu 32 Số nghiệm của phương trình 2017 2018  2019 2020 

sin xcos x2 sin xcos x cos 2x trên 10;30 là

Trang 5

Câu 36 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 3x2 cosx 3 cos 2xsin 2x 3 thuộc vào

tập nào sau đây?

2a

k x

Câu 45 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sin 4 x4 cos 2xmsin 2x2m0 có hai nghiệm

phân biệt thuộc đoạn 3 ;

Trang 6

Câu 48 Phương trình sin sin cos sin2 1 2 cos2 0, 0; 2 

x Tổng các nghiệm nằm trong khoảng

0; 2021  của phương trình đã cho bằng

Trang 7

Dạng 2 Phương trình chứa tham số

Câu 1 Cho phương trình cos 2x2m3 cos x m  1 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;3

Câu 4 Số giá trị nguyên của m để phương trình 2 2

2 sin xsin cosx xmcos x1 có nghiệm trên

Câu 5 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

 

Câu 7 Cho phương trình 3sinxm23sin2xm2 23sinxm2 Gọi S a b;  là tập hợp tất cả

các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực Tính giá trị của Pa2b2

Câu 10 Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx1 cos  2xcosxm có đúng 5 0

nghiệm thuộc đoạn 0; 2 

m

04

Trang 8

Câu 13 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Điều kiện cần và đủ để phương trình fsinx1m có nghiệm trong 0;

Câu 14 Giá trị lớn nhất của tham số m để phương trình 2 sin2xsin x cosxmcos2x0 có ba nghiệm

phân biệt trong đoạn ;

3m .

4sin cos 3 sin 2 cos 2 1

trị nguyên của tham số a để phương trình  1 có nghiệm

Câu 19 Cho phương trình sin4xcos x4 cos24xm , với m là tham số Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình có bốn nghiệm thuộc đoạn ;

Trang 9

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2 x   2 m  5 cos  x m    2 0 có 7

nghiệm phân biệt trên khoảng 7

tham số m sao cho phương trình đã cho có đúng 10 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3

Câu 27 Cho phương trình sin 2x 3m2cosx 3 sinxm Để phương trình có nhiều hơn một nghiệm

trong 0;thì giá trị của m thỏa

Câu 28 Biết rằng khi m m 0 thì phương trình 2   2

2 sin x 5m1 sinx2m 2m0 có đúng 11 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; 7

Câu 30 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2x2m1 cos x m  1 0 có năm

nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3

Trang 10

Câu 31 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sin6xcos6xcos 22 x m có nghiệm

 , trong đó m là tham số Để phương trình có

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

phương trình có đúng hai nghiệm thuộc là:

sinx m  sin x m 2 sinx m Gọi Sa b;  là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực Tính giá trị của 2 2

Trang 11

cosx1 (cos 2xmcos )x msin x Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham

Trang 12

LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1 Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn cho trước

Câu 1 Số nghiệm của phương trình sin 3 cos 1 0

Điều kiện xác định: sin 2 0

2

   l   Khi đó ta có:

Từ đó ta có số nghiệm của phương trình trên đoạn 0; 2  là 1

Câu 2 Tổng các nghiệm thuộc 0  x   của phương trình sinxcosxsin 2x 1 0bằng

Câu 3 Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2    2

cos x sin 2x 2 sin x trên khoảng 0;2.

Trang 13

tan x  cot x  3(tan x  cot ) x  2  0

Điều kiện: s in2x  0.Đặt tanx cotx 2  2 

Trang 14

Vậy các nghiệm thuộc khoảng  ; của phương trình là ,

Câu 9 Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

sin sin 4 2 cos 3.cos sin 4

Trang 15

ĐK : sin x 2 1

sin coscos sin

Vậy số điểm biểu diễn họ nghiệm của phương trình đã cho là 4

Câu 11 Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương

trình 3.cos 5x2 sin 3 cos 2x xs inx là:

Trang 16

k k x

2

cos

;cos

Vậy phương trình có 301 nghiệm x  100 ;100  

Câu 13 Phương trình 5 3 sinx2 cosx3cosx2 cosx3 có bao nhiêu nghiệm 0;10 ?

Lời giải

Chọn D

Phương trình đã cho  5 3 sin 2x3 3 sinx2 cos2x3cosx

5 3 sin 2x 3 3 sinx cos 2x 1 3cosx

Trang 17

Trang 18

Câu 16 Phương trình 48 14 22 1 cot 2 cot  0

k x

       do k   suy ra k 1 nên nghiệm

dương nhỏ nhất trong trường hợp này là

   do k   suy ra k 0 nên nghiệm

dương nhỏ nhất trong trường hợp này là 3

14

x 



Trang 19

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 3

2 2

Trang 20

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 21 Số nghiệm thuộc 0;  của phương trình sin2xcos 32 x 0

Lời giải Chọn B

Vậy có 6 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

524

Trang 21

C

5

516

Trang 22

Câu 24 Phương trình sin8 cos8 17cos 22

sin 2 1( )

1sin 2



Lời giải Chọn D

Trang 23

k x

 Từ đó ta có nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của

phương trình đã cho lần lượt là

Trang 24

4 cos 3 cos 2x x 2 1 cos 3x 1

2 cos 5x cosx 2 cos 3x 1

    2 cos 5x2 cosx2 cos 3x 1

Xét sinx0xk : Thay vào phương trình không thỏa mãn

Xét sinx0 xk, nhân hai vế của phương trình với s inx ta được:

2 sin cos 5x x2 sin cos 3x x2 sin cosx xsinx

sin 6x sin 4x sin 4x sin 2x sin 2x sinx

sin 6x sinx

25

,2

k x

k l l x

 ( thỏa mãn điều kiện sinx 0)

Chứng minh hai họ nghiệm 2

   (Vô lí vì 14k là số nguyên chẵn và 5 10l là số nguyên lẻ)

Vậy phương trình có nghiệm 2

A 4 cos2x3cosx  1 0 B 2 sin 2xsinx0

C sinx2 sin 2x0. D 4 sin2x3cosx  1 0

Lời giải Chọn C

Đặt a2 sin ;x b3sin 2x Khi đó, phương trình  3 3

8sin x3sin 2x 162sinx81sin 2x

4

x x

Trang 25

Câu 29 Giải phương trình

Ta có 4 cos 22 xsin 22 x3cos 22 x 1 0, x 

2

Câu 30 Tính tổngScác nghiệm của phương trình    4 4 

2 cos 2x5 sin xcos x 0 trong khoảng 0; 2 

2cos 2x5 sin xcos x 0

2 cos 2 5 0sin cos 0

Câu 31 Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0; 20 của phương trình 4 4

sin xcos x 1 2 sin 2x bằng

Lời giải Chọn A

sin xcos x 1 2 sin 2x sin xcos x 2 sin xcos x 1 2 sin 2x

Trang 26

392

Câu 32 Số nghiệm của phương trình 2017 2018  2019 2020 

sin xcos x2 sin xcos x cos 2x trên 10;30 là

Ta có sinx  1 sin2017x sin2xsin2017xsin2x và 0cos2x 1 cos2018xcos2x

Suy ra sin2017 xcos2018 xsin2xcos2x hay sin2017xcos2018x1

Từ đó suy ra phương trình  * có nghiệm sin 0 , ,

2

x m x

Trang 27

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 10;30 là 44

Câu 33 Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin 2 sin 4x xcos 6x0 là

 sin 2 sin 4 cos 6 0 1cos 2 cos 6  cos 6 0

2 cosx cos 3x 3 sinx cosx

Trang 28

 Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác

Điểm M M biểu diễn cho họ nghiệm 1, 2

Lời giải Chọn A

y x x x x  1 3sin2xcos2x7 sin2xcos2x10

Trang 29

Suy ra 45; 12

4

T    Số giá trị nguyên của T là

Câu 36 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 3x2 cosx 3 cos 2xsin 2x 3 thuộc vào

tập nào sau đây?

2 cos 3 2 cos 3 cos 2 sin 2 3

4 cos 2 cos 3.2 cos 2 sin cos 0

26

6sin

26

x k x

Trang 30

sinsin

x x

,5

Trang 31

sin cos 2 cos cos 2 cos 2

1 sin 1 sin sin

sin cos sin cos 1 (3)

1 cos 1 cos cos

2sin 1

2cos 0

Điều kiện

sin 0

1cos

Vậy phương trình đã cho có 3028 nghiệm thuộc khoảng 0; 2019 

Câu 42 Biết rằng phương trình

 2018 

0sinxsin 2xsin 4xsin 2 x  có nghiệm dạng 2

2a

k x

Trang 32

x x

Trang 33

4 4

2 2 2

3 cos 6sin cos

Câu 45 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sin 4 x4 cos 2xmsin 2x2m0 có hai nghiệm

phân biệt thuộc đoạn 3 ;

Phương trình đã cho tương đương

2 sin 2 cos 2x x4 cos 2xmsin 2x2m0 sin 2x22 cos 2xm 0

sin 2 2

cos 2

2cos 2

2

x

m x m

Trang 34

Vì cos 4 x0 không là nghiệm của phương trình, nên chia cả 2 vế của phương trình cho cos 4x2

Điều kiện: sinxcosx0 2 sin 0



; 2512

Trang 35

Câu 48 Phương trình sin sin cos sin2 1 2 cos2 0, 0; 2 

 sin 5 sin 0 sin 5 sin 5 2

x k

k l l l

 Như vậy có 4037 12108 16145 nghiệm của phương trình thuộc đoạn 2018 ; 2018  

Câu 50 Tính tổng các nghiệm của phương trình 3 3

cos xsin xsin 2xsinxcosx trong 0; 2018 

A 8144648 B 4036 C 814666 D 4037

Ta có cos3xsin3xsin 2xsinxcosx

sinx cosx1 sin cosx x 2sin cosx x sinx cosx

sinx cosx1 sin cosx x 1 2sin cosx x

     sinxcosxsin cosx x2sin cosx x

Trang 36

     , suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trong 0; 2018 

tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 0, công sai

Ta có cos2 sin 2 2 cos2

 Điều kiện 1 2sin x0

 Phương trình đã cho tương đương với

sin 2sin sin 2 cos 3 sin 3

1 2sin 2

x x

Trang 37

3cos

 Trên khoảng 0; 2 , phương trình có nghiệm , 5

cos 2 cos 2 sin 2

sin 2 1 3sin cos

Trang 38

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 

Câu 55 Số nghiệm trong nửa khoảng 0; 2021 của phương trình  sin 7x7 sinx là

Câu 56 Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc 10;30 của phương trình:

18 1

6

32525



Với sin2019xcos2020x1 Ta có sin2019xsin2x;cos2020xcos2x

Do đó 1 sin 2019xcos2020xsin2xcos2x1 suy ra sin 0, cos 1

Trang 39

4 3

sin 4x3sin 4 cos 4x x4 cos 4x0có

sin 4 sin 4 cos 4 4 sin 4 cos 4 4 cos 4 0

sin 4 sin 4 cos 4 4 cos 4 sin 4 cos 4 0

sin 4 cos 4 sin 4 4 cos 4 0cos 4 sin 4 1

x x

+ Phương trình  2 : sin 4x4 cos 4x0

Trường hợp 1: cos 4x 0 sin 4x0(loại vì cos 42 xsin 42 x0 ) 1

Trường hợp 2: cos 4x 0

phương trình 2 tan 4x 4 0

Trang 40

1arctan 4

x x

x Tổng các nghiệm nằm trong khoảng

0; 2021  của phương trình đã cho bằng

Trang 41

1 cos cos 2 cos sin

0cos 1

     cos 2x1xk,k

So với điều kiện ta chỉ nhận nghiệm trong trường hợp k chẵn

Tập các nghiệm thuộc 0; 2021  của phương trình (1) là 2 ; 4 ;6 ; ; 2020     Có tất cả 1010

nghiệm nên tổng của chúng là

26

2sin 3 cos 1 cos 2

1 3 sin 2 cos 2 2sin 1 2sin 3 sin 2 cos 2 1

Dạng 2 Phương trình chứa tham số

Câu 1 Cho phương trình cos 2x2m3 cos x m  1 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;3

cos 2x 2m3 cosx m  1 0 2  

2 cos x 2m 3 cosx m 2 0

Trang 42

m

u u Xét hàm số f u u2u, u 0;1

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 4xcos 32 xmsin2x có nghiệm

cos 4xcos 3xmsin x  2 

Trang 43

  x ) không thỏa yêu cầu bài toán

Câu 5 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Trang 44

sinxm  sin xm 2 sinxm Gọi S a b;  là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực Tính giá trị của Pa2b2

2m 0m0 Khi đó phương trình có nghiệm xk , k  

TH2: sin xm thì phương trình đã cho tương đương

Tiêu đề	Chuyên đề 3 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Người hướng dẫn	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	1,49 MB