File đáp án dạng 3

Trang 1 Dạng 3 Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit 1 Định lý Nếu hàm số  y f x đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên  ;a b thì *      ; ; u v a[.]

Trang 1

Dạng 3 Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit

1 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên a b;  thì

* u v; a b; :f u  f v uv

* Phương trình f x k kconst có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng a b; 

2 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên a b; , đồng thời

1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương a 1 và các số dương b c,

 Khi a 1 thì loga bloga c b c

 Khi 0a thì 1 loga bloga c b c

log ( )a b b loga b loga b

3 Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, 1, 2 với a 1, ta có

4 Logarit của lũy thừa:

Cho a b, 0,a1, với mọi , ta có

5 Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương a b c, , với a1,c1, ta có

loglog

log

c a

c

b b

Câu 1 (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho các số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1

và a x 1b y 3ab Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3x4y thuộc tập hợp nào dưới đây?

A 7;9 B 11;13 C 1; 2 D 5;7

Lời giải Chọn A

 

1log

a a

b

a

x b

Từ bảng biến thiên, suy ra min 2 3 7, 64

 0 16

f  , f 1 m16 (Điều kiện m 0, 1 )

Trang 3

 Trường hợp 1: m   20; 4   

2 2

Suy ra, f 0  f t  f 1 0 nên f  0  f t   f 1 0,  t  0;1

Nên

0;1 0;1

Suy ra, 0 f 0  f t  f 1 nên f  1  f t   f  0 0,  t  0;1

Suy ra, f 0  f t  f 1 0 nên f  1  f t   f  0 0,  t  0;1

Suy ra, 0 f 0  f t  f 1 nên 0 f  0  f t   f 1 ,  t  0;1

Vậy tổng hợp các trường hợp: m 1 thì thỏa ycbt Chọn B

Câu 3 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Gọi S là các cặp số thực x y sao cho , 

Điều kiện xy0

Ta có: lnxyx2020xlnxyy 2020ye2021

2021 2021

Nên g x nghịch biến trên đoạn 1;1

Mà g 1 e 202120210,g 0 20222021e20210 nên tồn tại x  0  1; 0 sao cho



Trang 5

Lời giải Chọn E

x  (Không có trong các phương án đưa ra)

Câu 5 (Chuyên AMSTERDAM - Hà Nội - 2021) Cho x y , 0 là các số thực dương thỏa mãn

 2 

log xlog ylog x y Gọi Tminlà giá

trị nhỏ nhất của biểu thức T3xy Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Tmin13;15 B Tmin10;12 C Tmin8;10 D Tmin15;17

 

31;

20

11;

P y  x với x y; S đạt được tại x0;y0

Khẳng định nào sau đây đúng?

BBT

1 0;

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x1) lnx(y1) lny

Lời giải

ln

ln( ) ln 5 ln( ) ln 2 ln( ) ln 5 ln( ) ln( ) ln 5 ln 2 2

Do đó f x 0 có nhiều nhất một nghiệm trên 0; 2

Mà x  là một nghiệm của pt 1 f x 0 nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất là 1

x 

Lập bảng biến thiên ta được max f x  f 1 0

Câu 9 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho các số thực a b thỏa mãn , ab1 Biết rằng biểu thức

1

loglogab a

a P

2 

2

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 1

.2

t 

Với

3 4

Câu 10 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b là các số dương thỏa mãn b 1 và a ba Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức loga 2 log b

3

14

Từ bảng biến thiên suy ra:

log xlog ylog xy

Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min Px3y

1

y x

12

+

3 2

log xlog ylog x y Gọi Tmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T2xy Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A Tmin7;8 B Tmin6; 7 C Tmin5; 6 D Tmin8;9

x y x x

Câu 13 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Xét các số thực dương , , ,a b x y thỏa mãn a1,b 1

và a x2 b y2  ab 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2 2x y thuộc tập hợp nào dưới đây?

A 10;15 B 6;10 C 1; 4 D 4; 6

Lời giải

Bảng biến thiên của hàm số f t 

Từ bảng biến thiên suy ra

log xlog ylog xy

Biểu thức Px8y đạt giá trị nhỏ nhất của bằng:

xy x y

Trang 13

2 2

1

y x

 

 

/

430

23

21

x x

y x

2

2.1

2

21

231;

2

y y

Trang 15

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2

329

1 2

y y x y

Câu 17 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho các số thực x y, thỏa mãn lnyln(x32) ln 3 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

( 1) 2

Câu 18 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho các số thực x y , thay đổi, thỏa mãn x  y  0 và

x y xy



Lời giải Chọn D

Ta có log log ( 2 )  log   log ( 2 )

ln ln log ln 2.log ln

Dựa vào BBT, suy ra

 0; 

3 2 2min ( )

Ta có: log ( 1)( 1) 8 log    log 7  7   1

1

1 0, 0ln10

Dấu “=” xảy ra khi:

1 0

18

1

x

x x

log  x2 y1 y 125 x1 y1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 5y là

Lời giải Chọn C

Với hai số thức dương x y, ta có :log5x2y1y1125x1y1

Ta có  x  2  y  1   log 2  1  1    3 x  xy  2 y    x 2 3 x  log 2  x  y  

Với x y, dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức đã cho, ta được 1xy0.

Câu 24 (Sở Cần Thơ - 2021) Cho ,x y là các số thực dương thoả mãn 2x y 2xy 3 1 xy.



 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2y22 5bằng

Lời giải Chọn D

+ Điều kiện để tồn tại ,x y 0thỏa ycbt là: 1 0

y

y y

Ta có 2xy.4x y  1 3 y.22x 2y 2 3 2x 2   3 2  

2 2y y 3 2x 2 x *

Hàm số f t t.2t đồng biến trên  , nên từ  * ta suy ra 2y 3 2x 2x2y 3 0  1

Ta thấy  1 bất phương trình bậc nhất có miền nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng

40

2 2 1 2 2

2xy   x y 2x2 4x

x

y x

2xy   x y 2x2 4x 2x  x y  x 2x1 y  1Đặt tx22x 1 y2   Khi đó ta có t 0 2t  t 1,  t 0

Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm M x y ;  là một đường thẳng : 2PxP4yP0

Để  và  S có điểm chung, ta suy ra d I    ,  1

Với x y dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức ,     

y ta được  

30

2

Câu 35 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn

5

4 2 5log a b a 3b 4

b a

-∞

xy x y y

Hàm số f x ( )  2x 2x xác định x  

Khi đó x   , ta có f (  x )  2x 2x  (2x 2 )x   f x ( )

Suy ra f x( ) là hàm số lẻ  1

t P t

t P t

1

2 3

31

t

t t

Suy ra, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6 khi t 3 hay x3y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

Câu 44 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn log3 x 4y 2x y 1



Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

Lời giải Chọn D

Ta có log3 x 4y 2x y 1 log (3 x 4 )y (x 4 y) log 3(3 x y) 3(x y)

Dấu "" xảy ra  x1.Vậy P Min 2

 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của Pab

A Pmin   1 2 5 B Pmin 2 5 C Pmin   1 5 D Pmin  1 2 5

Lời giải Chọn C

Lời giải Chọn D

x y x

Câu 48 (Sở Yên Bái - 2020) Cho các số thực x y, thuộc đoạn 0;1 thỏa mãn 

2 1

2

20212020

Ta có

2 1

2

20212020

9(loai)2

 Từ bảng biến thiên ta có minP  3 5

y y

e

P

e e

y y

    ; P 0 ⇔ y 1 BBT:

Vậy: max Pe; khi:

11

y x e

Câu 53 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Xét tất cả các số thực dương x y, thỏa mãn

log 2 log 2 1

xy xy

Ta có:   1 1 0

.ln 3

f t t

2 2

min min 1972

R  P  khi và chỉ khi  C ; C tiếp xúc ngoài với nhau

Ta có R Pmin1972II 40 Pmin1972 50Pmin 2062 40 5

m ax m ax 1972

R  P  khi và chỉ khi  C ; C tiếp xúc trong với nhau với R R

Vậy: SPmaxPmin 4124

Câu 59 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2022) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn phương trình

xy xy

Lời giải Chọn D

Xét hàm số f t log3t t trên khoảng 0; 