File đáp án dạng 1 2

Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Dạng 1 Tính toán liên quan đến logarit  Định nghĩa logarit Cho hai số thực dương ,a b với 1, log   α aa α b a b  Các tính chất log[.]

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Tính toán liên quan đến logarit

 

 

Lời giải Chọn B

Đặt tlog9xlog6ylog42xy Khi đó

96

t t t

x y

   

    

   

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

Chuyên đề 18

Câu 2 (Chuyên Lào Cai - 2020) các số thực a, b, c thỏa mãn 2 2 2

(a2) (b2) (c2) 8 và

2a 3b 6c Khi đó a b c  bằng

Lời giải Chọn A

Ta có a clog 62 và b clog 63 Suy ra 1 1 1

Đặt

4 9 6

21

Câu 7 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn loga logblog alog b100 và log a,

log b, log a, log b đều là các số nguyên dương Tính Pab

A 10 164 B 10 100 C 10200 D 10 144

Lời giải Chọn A

Ta có: loga logblog alog b100

log 3 log 2 log 3 log 2

log 7 log 7 log 5 log 5

b b

log 36

1log 36

b là phân số tối giản Tính Pa b .

A P10 B P 45 C P 10 D P45

Lời giải Chọn B

Câu 12 Cho hai số thực dương a b, thỏa log4alog6blog9a b  Tính a

Đặt tlog4alog6blog9ab

y 

Lờigiải Chọn B

Giả sử log6xlog9 ylog42x2yt Ta có:

t t t

x y

t

x y

 

   

  Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có

Câu 14 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log25 log15 log9

Ta có

25

25

log 2

1 33log

t

x y

Ta có    , n * log 23 u5632 log4u n8n8log 23 u563log2u n8n8

Đặt tlog 23 u563 2 5 63 3

t t n

u u

2 2

 log2a log 16b ⇔ log264 4 logb2

Câu 17 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn điều kiện:

5a 7b 35c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2  2 2

A 18 B log 35 2 C log 5 2 D 8

Lời giải Chọn D

c

t t

Câu 19 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho các số thực dương x1,y1 thỏa mãn log2x log 16y

và tích xy 64 Giá trị của biểu thức

Từ giả thiết log2x log 16y ta suy ra 2 2 2

Lại có xy 64 suy ra log2xlog2y6

Đặt log b2  t

Ta có:

3 50

3 2

Với a0,a , ta có 1 2 log 1 2 log 2022

Gọi M là điểm đối xứng với điểm N qua I 1;1 thì Mlog 2022; 2a f 2 log 2022 a  

Theo đề, Mlog 2022; 2a f 2 log 2022 a   thuộc đồ thị hàm số ya x nên

         với ,a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng

nhau Giá trị của 2ab bằng

Lời giải Chọn C

 a b, 0, thì a b 2 ab Dấu " " xảy ra khi: ab.

 a b c, , 0, thì a  b c 3.3abc Dấu " " xảy ra khi abc

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

2



Lời giải Chọn D

0 2

42

Đồ thị hàm số y 2t và đồ thị hàm số y t 1 như sau:

2t   t 1 0  t 1 x1 y 1 Do đó tập hợp các cặp số x y;  thỏa mãn thuộc hình tròn  C tâm I1; 0 , R 1

       , suy ra giá trị nhỏ nhất của P gần nhất với 3

Câu 4 Cho các số thực x y, thỏa mãn bất đẳng thức 2 2 

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

304

;3

a

  Dấu bằng xảy ra khi a 3

Suy ra Plog3a blogb 3a 2 log3a b2 log 3b a2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 3

33

a a

Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a b    3 9 2

Câu 6 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các số thực a b, , c thỏa mãn

2

b b

4

c c

      Gọi M là giá trị nhỏ nhất của

2

b b

c c

Đặt logc ax, logc b y

Vì , ,a b c  và 1 ab nên suy ra logc alogc b hay x y0

x y x y

Từ giả thiết suy ra: 4 log a b.logb clogb c25.logab b.logb c

 4 log log 1 25 log

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 đạt được khi và chỉ khi ab a4, c c2, b2

Câu 10 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét các số thực dương a , b, x,y thỏa mãn

a 1 , b 1 và a2 x b3y a b6 6 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4xy2xycó dạng 165

m n (với m n, là các số tự nhiên), tính Sm n

Lời giải Chọn C

6 6 b

2x log a b3y log a b

15

a b b a a b ba

Ta có: 52

564

m

m n n

2 2 3 31

33

Biến đổi đẳng thức đề bài ta được

log log log log log 2 log 1

4 7 log

4

x y

2 2

x y

2 2

x y

Câu 15 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc 10 Biết giá trị lớn nhất của

biểu thức F 5 log loga b2 log logb clog logc a bằng m

n với m n nguyên dương và ,

Đặt

10log

x y z

Ta có F 5 log loga b2 log logb clog logc a5xy2yzzx

Từ  * y  1 x z , thay vào biểu thức F , ta được:

Câu 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho các số thực dương a b c; ; khác 1 thỏa mãn

3loga b logb c 2 logb c loga c

Đặt xloga b y; logb c x y, ; 0loga cxyPloga ablogb bc   x y x Py

4 4

22

1307

Từ giả thiết ta có:

1

1 loglog

2

1log

2 log

x

a a

Q   y Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn P 1 và Q 1 là số y 0

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A 4y  là số hữu tỷ B 0 1 y là số vô tỷ 0

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn D

Ta có u n17 ,u n   n 1  u n là một cấp số nhân với số hạng đầu là u , công bội 1 q7

n  Vì n  nên giá trị nhỏ nhất của n bằng 10

Câu 20 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x y, thỏa mãn

11

Đặt

3 5 15

2 1 log 3 log5 153

1 log 3 log5 153 15

Câu 22 Xét các số thực dương a , b , c , x , y, z thỏa mãn a  , 1 b  , 1 c  và 1 a x b y c z  abc

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

2

P   x y z thuộc tập hợp nào dưới đây?

Lời giải Chọn D

2P4 log a blogb aloga clogc alogb clogc b

Vì a 1, b 1, c 1 nên loga b  , log0 b c  , log0 c a  , log0 b a  , log0 c b  , log0 a c  0

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được

loga blogb a2 loga b.logb a hay loga blogb a2

Tương tự loga clogc a và 2 logb clogc b 2

Do đó 2P 10 hay P 5 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Vậy giá trị nhỏ nhất Pmin  5

Câu 23 Xét các số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1 và x2 y2

a b  a b Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px y là

x y xy Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab

Câu 24 Xét các số thực dương , , ,a b x y thỏa mãn a1,b và 1

y

a x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab

Câu 25 Xét các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn a1,b1,c1,y và 2 a x 1b y 2c z 1abc

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxy là z

A P 13 B P 3 C P 9 D P 1

Lời giải Chọn C

  (a b c, ,  1 loga b0, loga c0, logb a0,logb c0, logc a0, logc b0)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c

Câu 26 (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Cho các số thực x y, thỏa mãn logx2y222x4y31 Giá trị lớn nhất

của biểu thức P3x4y có dạng 5 M m với M m   Tính , Mm ?

Lời giải Chọn C

Dấu bằng xảy ra khi 3 6 1; 4 6 2

x   y   Giá trị lớn nhất của P bằng 5 6 5Vậy Mm  6 5 1

Câu 27 (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Cho hai số thực x , y thỏa mãn xy2 Giá trị nhỏ

t A

t A



Lời giải Chọn D

Ta có: 2 2 log2 1log 2 log 4 log2 2 2 log2 4 2

Câu 29 (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho các số thực không âm a b c, ,

Đặt alog2x b, 2 log2y c, 3 log2z

Ta có S a 2b3clog2xlog2 ylog2zlog2x yz

Câu 30 (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Gọi S là tập hợp các cặp số thực x y, thỏa mãn đẳng thức sau

đây 22x y 122x y 132x y 132x y 152x y 152x y 1 Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu

a

b

b b

a b b

3

14

4

Lời giải Chọn A

Trường hợp 1: x22y2  , bất phương trình trở thành 1

2 2

2 2

Khi đó    

2 2

           trường hợp này không xảy ra

Câu 33 (THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - 2021) Cho hai số thực dương a b , thỏa mãn 1

51;

t t

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9

3

3204

Lời giải Chọn C

C 134



D 1744

Lời giải Chọn B

2 2

2 2

25

Suy ra 13

2



a b

Câu 38 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Biết phương trình x4ax3bx2cx 1 0 có nghiệm Tìm giá trị

2

2 2

1

1 1

x x

x x

.(1)

Đặt 2

2

12

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min 4 3 5 1 3 2 3 3

Ta có: logx2ylog x log y logx2ylog xy x2yxy

Ta có log2xyz 1 log2xlog2ylog2z1 Đặt alog2x b, log2y c, log2z Khi đó ta

Câu 43 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho a b, là hai số thực thay đổi thỏa mãn

1a b 2, biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2  2

Đặt  

216

b a b a

Vậy:

min 3;

a b

b a ab



2sin   sin   sin  

Đặt tsin

26

3

ab

a b

Vậy giá trị nhỏ nhất của ( )f t là f(12) 12 4 log 12 12 4(2 log 3)  2    2  4 4 log 32

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3  3 3

Câu 47 (Mã 103 2018) Cho a0,b0 thỏa mãn  2 2   

Từ giả thiết suy ra  2 2 

4 5 1log a b 16a b 1 0 và log8ab14a5b1 0

Câu 49 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho thỏa mãn

Giá trị biểu thức bằng?

Lời giải Chọn B

Với a0,b0 ta có 25a2 b2  1 10ab , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 b5a

22

Theo bất đẳng thức Côsi với a0,b0 ta có:

52

Câu 51 (Mã 104-2022) Xét tất cả các số thực x , y sao cho 89 y2 a6x log 2a3 với mọi số thực dương a

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y26x8y bằng

Lời giải Chọn A

Vậy minP  21 khi ,O M A theo thứ tự thẳng hàng ,

Câu 52 (Mã 103 - 2022) Xét tất cả số thực x y, sao cho 5 2 6 log 3 3

27y a x a với mọi số thực dương a Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y24x8y bằng

Lời giải Chọn A

Giả sử x y, thỏa 275 y2 a6xlog 3a3 với mọi số thực dương a

Theo đề bài ta có 275 y2 a6xlog 3a3 đúng với mọi số thực dương a nên 3t26xt15 3 y2  0đúng với mọi t  

Suy ra tập hợp các điểm M x y ;  là hình tròn tâm O0; 0 và bán kính R 2 5

Vậy để tồn tại cặp x y;  thì đường tròn I R; 1 và hình tròn O; 5 phải có điểm chung

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  1 5

Câu 53 (Mã 102 - 2022) Xét các số thực x y, sao cho 499 y2 a4x log 7a2với mọi số thực dương a Giá trị

 Ta có 499 y2 a4xlog 7a2  2  2

7

4 log 9

a    với mọi số thực dương a

Giá trị lớn nhất của biểu thức Px2y2 x 3y bằng

A 125

Lời giải Chọn C

2 2

log a 2 logx a 40 y 0

Coi  * là bất phương trình bậc hai ẩn log a 5

Để  * đúng với mọi số thực dương a thì

Suy ra

2

1

;2 2

Suy ra 1 25 8 10

30

M S   dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  

1 2

mS   dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  

2 2

Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a b 18

Câu 58 (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho x y z , , 0;2 và thỏa mãn x2y z 6

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P32x x252y y 23z2x24y2

A maxP 25 B maxP 27 C maxP 26 D maxP 30

Lời giải Chọn B

Câu 59 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên - 2022) Cho các số thực ,x y thỏa mãn

R  và nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d: 2xy0 chứa điểm (1; 0)I

Ta có P3x2y 1 3x2y 1 P là đường thẳng  song song với đường thẳng 0

Câu 60 (Sở Ninh Bình 2022) Cho các số thực ,a b thỏa mãn 1a b 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

3 5 4

Lời giải Chọn C

Lời giải

Câu 64 (Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho các số thực , , ,a b c d thỏa mãn điều kiện:

Câu 65 (THPT Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình - 2022) Cho ba số thực x y z, , không âm thoả mãn

2x4y8z 4 Gọi M N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ,

Vậy abc f c( ) Khi đó 2 log (2 ) log 22 1

Lời giải Chọn A

 2 là đường tròn tâm I   2; 3 bán kính bằng 11

3

P

 Điều kiện    1 , 2 có điểm chung thì P7d I ; 

2x y   x y 2x2 4x 2x y  x  x y 2x1  1Đặt tx2y22x   Khi đó ta có 21 t 0 t  t 1,t 0

Từ đồ thị hàm số y 2t và y t 1 suy ra được 2t 1 0 1

Câu 68 (Sở Nghệ An 2022) Cho các số thực , ,a b c  thỏa mãn 1 6 log2ab c 1 log2b c loga c và biết

phương trình c x21a x có nghiệm Giá trị lớn nhất của biểu thức Ploga2bc4 bằng m n

p



trong đó , ,m n p là các số nguyên dương và m

p là phân số tối giản Giá trị của m n  p bằng

 4

4

Điều kiện 3a2b0

log a b 9  1 log 3a2b a b  9 6a4b a32b224 Suy ra A a b ;  thuộc đường tròn  C tâm I3; 2, bán kính R 2

4

2 2