GT 12 chương 1 bài 4 full

BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1 Khái niệm tiệm cận Cho hàm số có đồ thị Điểm , là khoảng cách từ đến đường thẳng Đường thẳng gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu k[.]

BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Khái niệm tiệm cận

Cho hàm số y= f x( )có đồ thị ( )C Điểm M Î ( )C , MHlà khoảng cách từ M đến đường thẳng d Đường thẳng dgọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu khoảng cách MH dần về 0 khi x ® +¥ hoặc

0

x®x

2 Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ), tiệm cận ngang (TCN)

a Tiệm cận ngang

Cho hàm số y=f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +¥) (, - ¥ ;b) hoặc (- ¥ +¥ ; )) Đường thẳng y=y0được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của

đồ thị hàm số y=f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ; lim

Chú ý :

 Nếu lim ( ) lim ( )

®+¥ = ®- ¥ = l

thì ta viết chung là xlim f x( ) .

®±¥ = l

 Hàm số có TXĐ không phải các dạng sau: (a; +¥ ) (, - ¥ ;b) hoặc (- ¥ +¥ ; ) thì đồ thị không có tiệm cận ngang

b Tiệm cận đứng

Đường thẳng x=x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số ( )

y=f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ; lim ; lim ; lim

Chú ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y ax b (c 0; ad bc 0)

cx d

+

+ luôn có tiệm cận ngang là

a y c

=

và tiệm cận đứng .

d x c

=-B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Dựa vào định nghĩa tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

và xlim f x( ) 1

®- ¥

=- Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y=1 và y=- 1

D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x =1 và x =- 1

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

( )

®+¥ = ¾¾ ® =

là TCN, xlim f x( ) 1 y 1

là TCN

và xlim f x( )

®- ¥ = +¥

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm sốnằm phía trên trục hoành

C Đồ thị hàm sốcó một tiệm cận ngang là trục hoành

D Đồ thị hàm sốcó một tiệm cận đứng là đường thẳng y =0.

Lời giải Chọn C

Ta có lim ( ) 0 0

®+¥ = ¾¾ ® =

là TCN

Đáp án B sai vì chọn hàm

2 1

; 1 2

x

x

x y

x

æö÷

ç ÷ £

-ç ÷

çè ø

=

æö÷ ç

- ç ÷ ³

ìïï ïï ïï íï ïï ïïïî çè ø ÷ Vậy ta chỉ có đáp án C đúng.

và ( )

0

lim

x + f x

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng

B Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho

C Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng y =0

D Hàm số đã cho có tập xác định là D =(0, +¥ )

Lời giải Chọn B

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

( )

®+¥ = ¾¾ ® =

là TCN, ( )

0

+

® = +¥ ¾¾ ® =

là TCĐ

®- ¥

và ( )

1

lim

x + f x

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =- 1 và tiệm cận đứng x =1.

D Đồ thị hàm số haitiệm cận ngang là các đường y=- 1 và y =1.

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

( )

®- ¥ =- ¾¾ ®

là TCN, ( )

1

® = +¥ ¾¾ ® =

là TCĐ

và ( ) ( )

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y=1 và đường thẳng x =2 không phải là tiệm cận đứng

B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =1 và tiệm cận đứng x =2.

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=1 và tiệm cận đứng x =10.

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nhưng có một tiệm cận đứng x =2.

Lời giải Chọn A

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

( )

®±¥ = ¾¾ ® =

là TCN

( ) ( )

không phải là TCĐ

D và có

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x =- 3 và x =3

B Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x =- 1 và x =1

C Đồ thị hàm số có đúng bốn TCĐ là các đường thẳng x = ±1và x = ±3

D Đồ thị hàm số có sáu TCĐ

Lời giải Chọn C

A Đồ thị hàm số y=f x( ) có tiệm cận ngang y =1 khi và chỉ khi lim ( ) 1

và ( )

®- ¥ =

B Nếu hàm số y=f x( ) không xác định tại x0 thì đồ thị hàm số y=f x( ) có tiệm cận đứng x=x0

C Đồ thị hàm số y=f x( ) có tiệm cận đứng x =2 khi và chỉ khi ( )

2

lim

x + f x

và ( )

2

lim

x - f x

D Đồ thị hàm số y= f x( ) bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang

Lời giải Chọn D

A saivì chỉ cần một trong hai giới hạn xlim f x( ) 1

®- ¥ =

hoặc lim ( ) 1

tồn tại thì đã suy ra được tiệm cận ngang là y=1

B sai,ví dụ hàm số y= x3- 1 không xác định tại x =- 2 nhưng ( ) ( )

2

lim

® - và ( ) ( )

2

lim

®

-không tiến đến vô cùng nên x =- 2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

C saivì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau:

D đúngvì chỉ có hai giới hạn lim ( ), lim ( )

®- ¥ ®+¥

Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số tìm các đường tiệm cân

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y =- 1 và tiệm cận ngang x =- 2.

B Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận

C Đồ thị hàm số có ba tiệm cận

D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =- 1 và tiệm cận ngang y =- 2.

Lời giải Chọn D

Từ bảng biến thiên, ta có:

( ) ( )

( ) ( )

1 1

lim

1 lim

x

x

f x

x

f x

-+

®

®

2

x x

y

y y

®- ¥

®+¥

=-ïïï ¾¾®

=-íï

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận

B Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

C Đồ thị hàm số có hai TCN y=2, y=5 và một TCĐ x =- 1.

D Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận

Lời giải Chọn C

Từ bảng biến thiên, ta có:

( ) ( )

( ) ( )

1 1

lim

1 lim

x

x

f x

x

f x

+

®

®

( )

®- ¥ = ¾¾ ® =

là TCN và lim ( ) 2 2

®+¥ = ¾¾ ® =

là TCN

Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y= f x( ) ?

A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y= ±1

B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y=1

C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y= ±1, tiệm cận đứng x =- 1.

D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y =1, tiệm cận đứng x =- 1.

Lời giải Chọn A

Ta có lim1 ( ) 2

nên đồ thị hàm số không có TCĐ

Ta có xlim f x( ) 1 y 1

là TCN; lim ( ) 1 1

®+¥ = ¾¾ ® =

là TCN

biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng

B Hàm số đạt cực tiểu tại x =0.

C Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

D Hàm số không có cực trị

Lời giải Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét như sau:

A đúngvì ( ) ( )

® = ® =- ¥ ¾¾ ® =

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

B saivì tại x =0 hàm số không xác định

C saivì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 trên khoảng (0;+¥) mà không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (- ¥ ;0)

D saivì đạo hàm y¢ đổi dấu từ " "+ sang " "- khi đi qua điểm x= ¾¾1 ® =x 1 là điểm cực đại của hàm số

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =- 3.

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =3.

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =0.

D Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận

Lời giải Chọn D

Từ bảng biến thiên, ta có:

®±¥ = ¾¾ ® =

là TCN;

( )

( )

3 3

lim

3 lim

x

x

y

x y

+

®

®

ïï

=-íï = +¥

3

3

lim

3 lim

x

x

y

x y

+

-®

®

ïï

Vậy đồ thị hàm số có tất cả ba đường tiệm cận Do đó D sai

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên, ta có:

®+¥ = ¾¾ ® =

là TCN; lim ( 2 ) 2

® - =- ¥ ¾¾ ®

là TCĐ;

0

® = +¥ ¾¾ ® =

là TCĐ

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên, ta có:

lim

®+¥ = +¥ ¾¾ ®

đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;

( 2 )

® - = +¥ ¾¾ ®

là TCĐ;

1

® =- ¥ ¾¾ ® =

là TCĐ

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận

Dạng 3: Cho hàm số yf x  Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

x y x

-= +

Lời giải Chọn D

TXĐ D = ¡ \{ }- 2

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ: x =- 2 và TCN: y=1

Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là (- 2;1)

Câu 2: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

3 4 16

y x

-

-=

Lời giải Chọn D

Xét phương trình x2- 16 0= Û x= ±4 Ta có:

( )( )

2

2

16

x

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

16

x

Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng

2 9

x y x

-=

- có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn C

TXĐ: D = ¡ \{ }± 3 Ta có:

là TCN

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận

A

1

y x

=

1 . 1

y x

=

1 . 1

y x

=

1

y

x x

= + +

Lời giải Chọn A

Nhận thấy các đáp án B, C, D hàm số có TXĐ: D = ¡ nên không có TCĐ

Dùng phương pháp loại trừ thì A đúng

(Thật vậy; hàm số

1

y x

=

có 0 0

1

x

® = ® = +¥ ¾¾ ® =

là TCĐ)

Câu 5: Đồ thị hàm số

2 1 khi 1 2

khi 1 1

x y

x

x x

=

<

ìïï ïï ïí

-ïï ïï

ïî có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn A

Ta có:

2

1

x

x

2

1

x

x

®- ¥ = ®- ¥ = ¾¾ ® =

2 1

x

x

®+¥ ®+¥

+

là TCN

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận

1

x

y f x

x

+

+

A Đồ thị hàm số ( )f x có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y =3 và không có tiệm cận đứng

B Đồ thị hàm số ( )f x không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x =- 1

C Đồ thị hàm số ( )f x có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y=- 3, y =3 và không có tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm số ( )f x không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x =- 1, x =1

Lời giải Chọn C

TXĐ: D =¡ ¾¾® đồ thị không có tiệm cận đứng

Ta có

1

x

x

®- ¥

1

x

x

®+¥

2

2

1 2

x y

+

=

- - có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn D

Ta có 2

1

2

x

®±¥ ®±¥

+

Xét phương trình

2

x

x x

x

é = ê

- - = Û ê =-ë

2 2

2 2

1 lim lim

2

2 1

lim lim

2

x y

x x

y

2 2

2 2

1 lim lim

2

2 1

lim lim

2

x y

x x

y

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận

1 1

x y x

+

= + Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận ngang, không có tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

Lời giải Chọn C

TXĐ: D = ¡ ¾¾ ® đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Ta có:

2

1

+

là TCN;

2

1

+

là TCN

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng hai tiệm cận ngang

1

x y

+

=

+ + có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn B

Ta có 4x +2x+ >1 0," Îx ¡ ¾¾® TXĐ của hàm số D = ¡ Do đó đồ thị hàm số không

có tiệm cận đứng

Xét ®+¥

+

2

lim

x

x

y

2

lim

x

x

y

®- ¥

+

Vậy đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận

1 1

x y x

+

=

- có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn C

TXĐ: D = -( 1;1) (È 1; +¥ ) Ta có:



1

x y

x x

y

 ( )1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

x

-+

là TCĐ;



3 4 2

2

1 1 1

1

x

x

+ +

Là TCN

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận

Dạng 4: Bài toán tìm tham số m liên quan đến đường tiệm cận

1 2

mx y

x m

-= + có đường tiệm cận đứng đi

qua điểm M -( 1; 2 )

1 2

m=

D

2 2

m=

Lời giải Chọn A

TXĐ: D ¡ \ 2

m

ì ü

ï ï

ï ï

= í- ý

ï ï

ï ï

î þ

Ta có

1

2

2

mx y

x m

m x mx

y

x m

æ ö÷ æ ö÷

ç ÷ ç ÷

® - ççç ÷÷ ® - ççç ÷÷

è ø è ø

æ ö÷ æ ö÷

ç ÷ ç ÷

® - ççç ÷÷ ® - ççç ÷÷

è ø è ø

Do đó ycbt 2 1 2

m

m

Û - =- Û =

2

3

m x y

x

-= + nhận đường thẳng y=8 làm tiệm cận ngang

Lời giải Chọn C

Ta có

2

3

m x

x

®±¥ ®±¥

Do đó ycbt Û 2m2= Û 8 m= ± 2

(m 2n 3)x 5

y

x m n

=

- - nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận Tính tổng S=m2+ -n2 2.

Lời giải Chọn B

Ta có:

( 2 3) 5

x m n

®±¥ ®±¥

( )

lim

® + = +¥ ¾¾ ® = +

là TCĐ

Từ giả thiết, ta có

2 2

2 0.