tai lieu toan hoc 11 hoc tap

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toánnhư sau B.

Trang 1

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 1

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể

thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1

Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì nk  (gọi là giả thiết quy nạp), 1chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  nên theo kết quả ở 1bước 2, nó cũng đúng với n   1 1 2 Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n   2 1 3, Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  *

2 Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một số tự nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

A Phương pháp giải

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P n( )Q n( ) (hoặc P n( )Q n( )) đúng với  n n0, n0  ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P n( ), ( )0 Q n rồi chứng minh 0 P n( 0)Q n( 0)

Bước 2: Giả sử P k( )Q k( ); k,kn0, ta cần chứng minh

Câu 2 Chứng minh với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: 1 3 5 2    n 1 n2

Câu 3.Chứng minh rằng với   , ta có bất đẳng thức: n 1 1.3.5 2 1 1

n

n n n

Trang 2

sin sin 2 sin

sin2

n

n   với mọi số tự nhiên n 1;

Câu 10 Cho hàm số f xác định với mọi x   và thoả mãn điều

kiện: f x( y) f x f y( ) ( ), x y,  (*) Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có:  

2

n n

x

f x f  

 

Câu 11 Cho n là số tự nhiên dương Chứng minh rằng: a n 16 – 15 – 1 225n n 

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  thì 1 A n( )7n3n luôn chia hết cho 9 1

Câu 13 Cho n là số tự nhiên dương Chứng minh rằng: B n n1n2n3 3 n  3n

Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng Chứng

minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác

nhau không nhỏ hơn n

Câu 15 Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n 3) bằng (n 2)1800

Câu 16

a Chứng minh rằng với  n 2, ta luôn cóa nn1n2  nn chia hết cho 2n

b Cho a b, là nghiệm của phương trình x227x140

d Cho p là số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: n 22n  p n

e Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua !n đều có thể biểu diễn thành tổng của

không quá n ước số đôi một khác nhau của ! n

Trang 3

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 3

Câu 17 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình:1, 2 x26x 1 0 Đặt a nx1nx2n Chứng minh rằng:

a.a n6a n1a n2   n 2

b.a là một số nguyên và n a không chia hết cho 5 với mọi n n  1

Câu 18

a Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và 1

không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao

nhiêu miền?

b Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và

không có ba đường thẳng nào đồng quy Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng

thành

222

n  n

miền

Câu 19

a Cho a b c d m, , , , là các số tự nhiên sao cho ad, (b1)c , ab a c   chia hết cho m Chứng

minh rằng x na b ncn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n

b Chứng minh rằng từ n  số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội 1

của nhau

C Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n1 chia hết cho 7,   n *''  * như sau:

 Giả sử  * đúng với nk, tức là 8k 1 chia hết cho 7

 Ta có: 1  

8k  1 8 8k1 7, kết hợp với giả thiết 8k 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 1

8k  1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức  * đúng với mọi n  *

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

.6

.3

.4



1.2

n

n S n





2.3

n

n S n



n S n



2

n

n S n

n P

n P n



n P n



.2

n P n





Câu 6 Với mọi n  *, hệ thức nào sau đây là sai?

Trang 4

A Chỉ I B Chỉ II C Không có D Cả I và II

Câu 8 Với n  *, hãy rút gọn biểu thức S1.4 2.7 3.10    n3n1

n n

Trang 5

n n

2

1 2 16

3

14

n n

S   là sai

Câu 18 Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n! 2 n1” Một học sinh đã

trình bày lời giải Câu toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với n  , ta có: ! 1! 11 n   và 2n121 1 20  Vậy 1 ! 2n 1

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A Đúng B Sai từ bước 2 C Sai từ bước 1 D Sai từ bước 3

Câu 19 Biết rằng

2 2

Câu 22 Trên một mặt phẳng cho n đường tròn phân biệt, đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào

giao nhau tại một điểm Các đường tròn này chia mặt phẳng thành 92 các miền rời nhau Tìm n

Trang 6

   với n là số nguyên dương 5Lập luận trên đúng đến bước nào?

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

Câu 28 Cho C7n3n1,Trong quy trình chứng minh C theo phương pháp quy nạp, giá trị của a 9

Trang 7

Câu 35 Với mọi số nguyên dương n thì S  n 42n32n7 chia hết cho số nào sau đây?

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Trang 9

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  nên theo kết quả ở 1bước 2, nó cũng đúng với n   1 1 2. Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n   2 1 3, Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  *.

2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một số tự nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1.

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

Trang 11

Câu 4 Chứng minh rằng với    n 1, x 0 ta có bất đẳng thức:

2 1 1

n

n n n

k

k k k

k

k k k

Trang 13

( 1)( 2)(2 3)

(2)6

sin sin 2 sin

sin2

x x

x

   nên đẳng thức chođúng với n 1

 Giả sử đẳng thức chođúng với nk1, tức là:

Trang 14

( 1)sin sin

sin sin 2 sin

sin2

VP x

* Với n  ta có: 1 VT  sin1. 1 sin VP nên đẳng thức cho đúng.

* Giả sử đẳng thức cho đúng với nk  , tức là:1 sinkx k sinx (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với nk ,tức là: 1

sin(k1)  k1 sin (2) Thật vậy:

 

sin k1   sinkcoscosksin

sink cos cosk sin sink sin

n

n   với mọi số tự nhiên n 1;

Lời giải

Trang 15

a. Ta chứng minh

2 2

Trang 16

Câu 10 Cho hàm số f xác định với mọi x   và thoả mãn điều

kiện: f x( y) f x f y( ) ( ), x y,  (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có:  

2

n n

k k

Câu 11 Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: 16 – 15 – 1 225n

Trang 17

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì ( )A n 7n3n luôn chia hết cho 9 1

Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng

minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác

nhau không nhỏ hơn n

Lời giải Giả sử mệnh đề đúng với nk điểm 3

Ta chứng minh nó cũng đúng cho nk điểm 1

Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm A và n A n1 là A A n n1. Nếu những điểm A A1, 2, ,A nằm trên một đường n

thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n  : Gồm 1 n đường thẳng nối A n1 với các điểm

1, 2, , n

A A A và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A A1, 2, ,A không nằm trên một đường thẳng n

thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối A n1 với các điểm A A1, 2, ,A Vì đường thẳng n A A n n1 không chứa một điểm nào trong A A1, 2, ,A n1, nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A A1, 2, ,A Như vậy số đường n

Trang 18

 Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là   0

1 180

n k 1 180 0 Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là

a. Chứng minh rằng với  n 2, ta luôn cóa nn1n2  nn chia hết cho 2n.

b Cho a b, là nghiệm của phương trình 2

Đặt   n n

S n a b Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S n( ) là một số nguyên không chia hết cho 715.

Trang 19

Ta xét a(k1)!, ta có: a(k1)dr với dk r!,  k 1

Vì dk! nên d d1d2 d k với d i (i1, )k là các ước đôi một khác nhau của !k

Trang 20

n

Câu 19

a. Cho a b c d m, , , , là các số tự nhiên sao cho ad, (b1)c , ab a c   chia hết cho m Chứng

minh rằng x n a b ncn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n

b. Chứng minh rằng từ n  số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội 1

Trang 21

8k  1 8 8k1 7, kết hợp với giả thiết 8k 1

 chia hết cho 7 nên suy ra được 1

8k  1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức  * đúng với mọi n  *.

.6

.3

.4

Trang 22

1.2

n

n S n





2.3

n

n S n



n S n



2

n

n S n

36

1533

n P n

Trang 23

Câu 6 Với mọi n  *, hệ thức nào sau đây là sai?

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n

Với n  thì 1 S 1.44 (loại ngay được phương án B và C); với n  thì 2 S 1.42.718 (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n1,S4; n2,S18; n3,S48 ta dự đoán được công thức  2

A S n 2 !n B S nn1 ! 1 . C S n n1 ! D S n n1 ! 1

Trang 24

Lời giải Chọn B

n n

T ab bc ca

Trang 25

A P 5. B P 9. C P 20. D P 36

Lời giải Chọn C

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 12 k 1.k 1

  Suy ra 2

Trang 26

n n

2

1 2 16

3

14

Bằng các kết quả đã biết ở Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có 2 2

3

14

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A Đúng. B Sai từ bước 2. C Sai từ bước 1. D Sai từ bước 3

Lời giải Chọn A

Trang 28

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp S n (n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho 2n Giả sử S k (k1)(k2)(k3) (kk) 2k

Chứng minh 2 3 2 3

12

Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt

Trang 29

7.2 n 3 n

   với n là số nguyên dương. 5Lập luận trên đúng đến bước nào?

A Bước 1. B Bước 2. C Bước 3. D Bước 4.

Trang 30

Câu 32 Cho E4k a k 1, với a là số tự nhiên. Giá t ma rị nhỏ nhất của 1 a để E là: 9

Lời giải Chọn C

Trang 32

A 2 33 . B 2 3.72 . C 2.3 72 . D 2.3.72

Với n  ta có 1 S 1 1 nên loại đáp án B và C

Với n 2 ta có S 2  nên loại đáp án D 3

Câu 37 Biết rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 2 3 n    an2bn. Tính a

Trang 33

Với n 0 ta thấy đáp án D sai.

Với n 2 ta thấy đáp án B và C sai.

Với n  ta có 5 25325225. Do đó bất đẳng thức đúng cho trường hợp n  5

Giả sử rằng bất đẳng thức đúng cho các trường hợp 5nk. Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng cho trường hợp nk1.

Thực vậy, theo giả thiết quy nạp thì bất đẳng thức đúng cho trường hợp nk, nên chúng ta có 2

Trang 35

Chúng ta có cos(k1)cos(k1)2 coskcos

Do đó cos(k1)2 coskcoscos(k1)

Vì 0k 1 k, theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk , cho nên sẽ tồn 1tại một đa thức P k1 x để cos(k1) P k1(cos )

Cũng theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk, do đó sẽ tồn tại một đa thức

 

k

P x để cos kP k(cos ) Suy ra cos(k1) 2P k(cos ) cos P k1(cos )

Do đó nếu chúng ta chọn đa thức P k1 x  2 P x x k   P k1 x thì cosk1 P k1cos. Như vậy thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk 1

Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi n

Câu 44 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n1n23 n

A n 3. B n 5. C n 6. D n 4.

Lời giải Đáp án D

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n 1, 2,3, 4, ta dự đoán được

1 2

2n n 3 ,n với n 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:

-Bước 1: Với n 4 thì vế trái bằng 24 1  25 32, còn vế phải bằng 2

Trang 36

1 , , , ., , ., 2 3 n

trong đó u nu n  hoặc viết tắt là  u n , và gọi u1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

2 Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M1,2,3, ,m với *

m   được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u1, , , ., ,u2 u3 u n trong đó u1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

A Phương pháp giải

Bài toán 1: Cho dãy số (u n): u n  f n( ) (trong đó f n( ) là một biểu thức của n ) Hãy tìm số

hạng u k

Phương pháp: Thay trực tiếp nk vào u n

Bài toán 2: Cho dãy số (u n)cho bởi 1

Trang 37

n n n

u u u u

.3

n

n u n

.3

.16

.32

.8

u 

Câu 5 Cho dãy số  u n , biết ( 1) sin( )

2

n n

n

u n   Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:

Trang 38

 (ahằng số) Tìm số hạng thứ u n1

Trang 39

a n u

.2

n

a n u

.1

n

a n u

n

n u

n n

n u n

n n

n u

n n

n u

1 11; ;

2 31; ;

Trang 40

.3

.27

n n

u u

.4

.8

.16

2

( 2)2

Tiêu đề	Tai lieu toan hoc 11 hoc tap
Trường học	Truong Dai Hoc NBV
Chuyên ngành	Toan hoc
Thể loại	Tai lieu giang day

Định dạng
Số trang	282
Dung lượng	13,87 MB