Bài tập toán học cao cấp tập 1

1 C¸c chó ý vμ lêi gi¶I cho mét sè bμi to¸n c¬ b¶n A to¸n rót gän biÓu thøc I VÝ dô Rót gän biÓu thøc 2 x x 3x 3 2 x 4 P 1 x 9x 3 x 3 x 3                     ( víi x 0,x 1,x[.]

Trang 1

Các chú ý vμ lời giảI cho một số bμi toán cơ bản

A toán rút gọn biểu thức

I Ví dụ : Rút gọn biểu thức P 2 x x 3x 3 : 2 x 4 1

x 9



0,x 1, x 9

Giải : Với x  0, x  1,x  9 ta có      

x 3





     

x 3



II Chú ý :

tìm cách đưa biểu thức thμnh một phân thức sau đó phân tích tử vμ mẫu thμnh nhân tử rồi giản ước những thừa số chung của cả tử vμ mẫu

điều kiện cho biểu thức Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng vμ các thừa

số đã được giản ước để tìm điều kiện

x 1vμ x    3 cần x  1vμ x  9

Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa lμ x  0,x  1, x  9

B phương trình bậc hai vμ định lí viét

I Ví dụ

Đề bμi 1: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0

a Giải phương trình với m 5

3



b Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

f Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

g Tìm m để phương trình có nghiệm dương

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau

i Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1

j Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2

x  x  1

k Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 vμ x2 của phương trình

l Tìm GTNN của x1 x2

m Tìm GTLN của 2 2 2 2

x 1 x   x 1 4x 

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Trang 2

n Khi phương trình có hai nghiệm x1 vμ x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ

thuộc vμo m

1 2

x x x x

B

Giải :

a Giải phương trình với m 5

3



Với m 5

3

 ta có phương trình : 2 7 2 2

 2

7 4.3.2 49 24 25 0; 5

          phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy với m 5

3

 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt lμ 1vμ 2

3

b Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho lμ phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai

nghiệm phân biệt với mọi m

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac   0 1 m 1    0 m 1 0    m  1

Vậy với m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi

2m 2 1 0 ( luôn dúng )

ac 0 m 1 0





Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi



2

0

a





Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương

f Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi

Trang 3

 

2

0

a





Vậy không có giá trị nμo của m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm

g Tìm m để phương trình có nghiệm dương

Để phương trình có nghiệm dương ta có các trường hợp sau :

 Phương trình có một nghiệm dương vμ một nghiệm bằng 0

Thay x = 0 vμo phương trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1 Thay m = 1 vμo phương trình

ta được

x2 - x = 0  x x 1     0 x 0 hoặc x  1( thỏa mãn )

 Phương trình có hai nghiệm cùng dương, điều kiện lμ :



2

0

a





 Phương trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện lμ :

ac   0 1 m 1    0 m 1 0    m  1

Kết hợp cả ba trường hợp ta có với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm dương

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m

Theo định lí Viet ta có x1.x2 = c m 1

a   Phương trình có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1

Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau

i Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 5x 2 = -1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

Theo định lí Viet vμ đề bμi ta có : 11 2 2

x x 2m 1 (1)

x x m 1 (2)



  



Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tương ứng cho (3) ta được :

5x1 + 5x2 – 2 x1 – 5x2 = 10m – 5 + 1 3x1 10m 4 x1 10m 4

3



Thay (4) vμo (1) ta có : 10m 4 x2 2m 1 x2 2m 1 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m

(5)

Thay (4) vμ (5) vμo (2) ta được phương trình :

Trang 4

     

2 2

2

10m 4 1 4m

40m 17m 5 0

17 4.40 5 1089 0; 33

Vậy với m 1 hoặc m 5

  thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bμi

j Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2

x  x  1 Phương trình đã cho lμ phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

Theo định lí Viet ta có :  1 2

1 2

x x 2m 1 (1)

x x m 1 (2)

 

x  x   1 x  x  2x x  2x x   1 x  x  2x x  1 (3) Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta có (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1

(2m - 1) - 2(m - 1) = 1  4m  4m 1 2m 2      1 4m  6m 2    0 2m  3m 1 0  

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm lμ m1 = 1 ; m2 = c 1

a  2 Vậy với m 1 hoặc m 1

2

  thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bμi

k Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 vμ x 2 của phương trình

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m Theo định lí Viet ta có :

1 2

2

x x m 1

m x x 1



      

x x 1 x x 2x x 1 2

Vậy hệ thức cần tìm lμ x1 x2  2x x1 2  1

l Tìm GTNN của x1 x2

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

1 2

x x 2m 1 (1)

x x m 1 (2)

 

x  x   0 A  x  x  x  x  x  2x x  x  x  x  4x x

Thay (1) vμ (2) vμo ta có

A  2m 1   4 m 1   4m  4m 1 4m     4 4m  8m    4 1 2m 2    1 1 với mọi m (3)

Trang 5

Vậy GTNN của A  x1 x2 lμ 1 xảy ra khi m = 1

m Tìm GTLN của 2 2 2 2

x 1 x   x 1 4x  Phương trình đã cho lμ phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

1 2

x x 2m 1 (1)

x x m 1 (2)

 

A  x 1 x   x 1 4x   x  x  5x x  x  x  2x x  5 x x (3)

Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta được :

2 2

m 2   0 với mọi m    A 2 m 2   2 với mọi m

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của 2 2 2 2

A  x 1 x   x 1 4x  lμ 2 khi m = 2

n Khi phương trình có hai nghiệm x 1 vμ x 2 ,

chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vμo m : 1 2

x x x x

B

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m Theo định lí Viet ta có :  1 2

1 2

x x 2m 1 (1)

x x m 1 (2)

 

1 2

2

x 1 x x 1 x

Ta có:

4 m 1

4



B

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vμo giá trị của m

Đề bμi 2 Cho phương trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0

a Giải phương trình với m = -5

b Tìm m để phương trình có nghiệm

c Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

f *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

g Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm mμ tích của chúng bằng -1

i Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tính theo m giá trị của 2 2

A  x  x

j Tìm m để A = 6

Trang 6

 Khi đó nghiệm của hệ lμ : x 24 , y 12

Hệ có nghiêm duy nhất lμ nghiệm nguyên khi 24 vμ 12

m  5 m  5 lμ các số nguyên Vì m nguyên nên m + 5 lμ −ớc của 24 vμ 12

m 5 12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12

m 17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 7

Kết hợp điều kiện ta có m   17; 11; 9; 8; 7; 6;          4; 3; 2; 1; 1 lμ các giá trị cần tìm

h Với ( x ; y ) lμ nghiệm duy nhất của hệ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x vμ y không phụ thuộc vμo m

I

mx x 12y 24 mx x 12y 24

m 1 x 12y 24



Thay y = 0 vμo hệ ta có :  3x 12 x 4

Thay m = 7 vμo hệ ta đ−ợc 3x 6y 12 x 2y 4 x 2y 4

6x 12y 24 x 2y 4

Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) thì y  0

 

y 3x 12

y 3x 12 m

y

mx x 12 24

xy 3x 12x xy 12y 24y 3x 12x 12y 0 x 4x 4y 0

 



Vậy biểu thức cần tìm lμ x2 – 4x + 4y = 0

Bμi tập tự lμm

Bμi 1 Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau :

1)















2

4

2 2

y x

xy

y xy

x y xy

   



















30

11

2 2

xy y x

y x xy

4)















0 9 2 ) ( 3

13

2 2

xy y x

y x

5)

















35

30

3

2 2

y

x

xy

y

x

6)

















20

6

2 2

xy y x

x y y

x 7)



















4

xy y x

y x

8)













 2

34

4 4

y x

y

Đáp án

1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1    10;1  10),(1  10;1  10) 3)

(1;5),(5;1),(2;3),(3;2)

(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )

          5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1)

Bμi 2 Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau ( đẳng cấp bậc hai ):

Trang 7

1) 322 2 22 11

x xy y





 2)

















49 5

56 2

6

2 2

y xy x

3)

x x y

y xy





Bμi 3 Cho hệ phương trình:

x 2y 3 m

2x y 3(m 2)





a) Giải hệ phương trình khi thay m = -1

b) Gọi nghiệm của hệ phương trình lμ (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bμi 4 Cho hệ phương trình a 1 x y 4

ax y 2a





 

 (a lμ tham số)

a) Giải hệ khi a = 1

b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2

Bμi 5 Tìm các giá trị của m vμ n để các hệ phương trình

a)

2





 có nghiệm (x ; y) = (1;3)

Bμi 6 Giải các hệ phương trình sau :

a)

2

1







b)

x y





 c)

y x







d)

3

x y x y







e)

1 1 8

x y

y z

z x

  



   



  



f)

3 6 1

x y

y z

z x

 



  



  



g)    











Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	301,41 KB