Phát triển tư duy đột phá giải bài tập Toán 9 - Tài liệu dạy học (Tập 1): Phần 1

Phát triển tư duy đột phá giải bài tập Toán 9 - Tài liệu dạy học (Tập 1) do Nguyễn Đức Tấn chủ biên, phần 1 của tài liệu gồm các bài tập của phần đại số gồm 5 chuyên đề và 2 chương: căn bậc hai, căn bậc ba; hàm số bậc nhất. Mời các bạn cùng tham khảo ttài liệu để biết chi tiết các phương pháp giải bài tập Toán lớp 9.

NGUYỄN VÕ LAN THẢO – NGUYỄN THỊ THANH PHỤNG

LỜI NÓI ĐẦU

Quyển sách “Phát triển tư duy đột phá giải bài tập tài liệu dạy - học

Toán 9, tập một” được biên soạn nhằm trợ giúp quý phụ huynh học sinh có

thêm một tài liệu toán hướng dẫn con em học tốt hơn ở nhà, giúp các em học sinh tự rèn luyện củng cố, bồi dưỡng và kiểm tra vốn kiến thức toán của bản thân

Mặc dù chúng tôi đã hết sức cố gắng song chắc hẳn quyển sách vẫn còn những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc để quyển sách được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Mời bạn vào trực tuyến tại: khangvietbook.com.vn để có thêm cập nhật và mua online một cách nhanh chóng, thuận tiện nhất các tựa sách của Công ty Khanh Việt phát hành

Số điện thoại: (028) 3910 3821 - 0903 906 848

PHẦN ĐẠI SỐ …

Chương I

CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Chủ đề 1: CÁC PHÉP TÍNH VỚI CĂN BẬC HAI

1 CĂN BẬC HAI

Hoạt động 1

Tìm độ dài cạnh huyền của tam giác

vuông cân có độ dài cạnh góc vuông

bằng 1

Hoạt động 2

a) Tìm các căn bậc hai sau đây:

Số dương a Căn bậc hai dương Căn bậc hai âm

a) Tìm các căn bậc hai của những số sau: 100; 121; 144; 169; 0

b) Tìm các căn bậc hai số học của những số sau và viết theo mẫu: 100 10

a) So sánh các căp số sau: 2 và 3 ; 3 và 8

b) Tìm số x không âm, biết x 4; x 5

a) Tìm các căn bậc hai sau đây:

Số dương a Căn bậc hai dương Căn bậc hai âm

a) Tìm các căn bậc hai của 100 là 10 và –10

Căn bậc hai của 121 là 11 và –11

Căn bậc hai của 144 là 12 và –12

Căn bậc hai của 169 là 13 và –13

Căn bậc hai của 0 là 0

b) 100 10, 121 11 196 14

225 = 15, 0 = 0

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Bạn Dũng đúng

Cho hình chữ nhật có độ dài đường chéo

bằng 13, một cạnh có độ dài bằng x Hãy

tính độ dài cạnh còn lại

?

13

x

 THỬ TÀI BẠN

a) Tính: 16 9 144 : 36; 52 3 ; 2 81

b) Rút gọn các biểu thức sau:

2

16x x với x ≥ 0; 25a2 3 với a < 0; x2 6x9x với x  

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Cô giáo yêu cầu loại bỏ dấu căn và dấu giá trị tuyệt đối của căn thức (x 1) 2

Dũng Lan

Theo em, bạn nào đúng?

LỜI GIẢI

Hoạt động 4

Gọi độ dài cạnh còn lại là a

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông, ta có a2 + x2 = 132

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Bạn Lan đúng

3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Khi thực hiện phép tính 16: 4

9 81, bạn An thực hiện như sau:

5  Vậy 400 400

25  25

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Cả hai bạn An và Bảo đều đúng

5 TÌM CĂN BẬC HAI SỐ HỌC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 ( 17  5 ) ( 17  5 ) 

Math (17 5)(17 5) 16.24807681



s



2( 112)  (  1 1  



s



2(32 5)  ( 3  2 x 

5 ) 2

x 

2

(3 2 5) 1,472135955



b)  10 x  3 6  2

GHI NHỚ

 Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

 Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

 A xác định (hay có nghĩa)  A ≥ 0

 Với A là một biểu thức, ta có A2  A , nghĩa là:

 CĂN BẬC HAI

1 Tính căn bậc hai của các số sau:

a) 3 và 8 b) 7 và 50 c) 2 + 3 và 3 + 2

4 Tìm x không âm, biết:

a) x 2 b) x 15 c) x 1 14 d) x 1  3

5 Tìm cạnh của một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình chữ nhật

có chiều dài là 10m, chiều rộng là 6,4m

6 Tìm độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh là 5cm

 CĂN THỨC BẬC HAI HẰNG ĐẲNG THỨC A = A 2

7 Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

11 Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

14 Rút gọn các biểu thức:

17 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

2(x 1)

18 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

227(x 5)



 với x < 4

LỜI GIẢI

1 Tính căn bậc hai của các số sau:

a) Căn bậc hai của 36 là 6 và –6 b) Căn bậc hai của 81 là 9 và –9 c) Căn bậc hai của 121 là 11 và –11 d) Căn bậc hai của 144 là 12 và –12 e) Căn bậc hai của 0,16 là 0,4 và –0,4 f) Căn bậc hai của 0,04 là 0,2 và –0,2

a) Ta có: 3 = 9 Mà 9  8 Do đó: 3 > 8

b) Ta có: 7 = 49 Mà 49 50 Do đó: 7 < 50

Vì x 1 0 nên x 1 32 x – 1 = 9  x = 10

d) x 1  3  x – 1 = 3  x = 4

5 Diện tích hình chữ nhật là: 10.6,4 = 64 (m2)

Cạnh của hình vuông là 64 = 8 (m)

6 Hình vuông ABCD có cạnh 5m

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác

ACD vuông tại D ta có:

c) 2a có nghĩa  2 – a ≥ 0  a ≤ 2

d) 2a5 có nghĩa  2a + 5 ≥ 0  a ≥ 5

2



5cm

d) 42 3  42 3

= 12 2 3( 3)2  12 2 3( 3)2  (1 3)2  (1 3)2 = 1 + 3 – 1 – 3  = 1 + 3 – ( 3 – 1) = 1 + 3 – 3 + 1 = 2 (Vì 1 < 3  1 – 3 < 0)

18

a)

227(x 5)

(2x5) với x  5

2 g) x4 x4 với x ≥ 4

5 Rút gọn biểu thức:

1112514225

7 Tìm x:

22x

12 0

8 Cho biểu thức A = x2 x3 và B = (x2)(x3)

a) Tìm x để A và B có nghĩa

b) Với giá trị nào của x thì A = B?

LỜI GIẢI

1

a) 2x5 có nghĩa  2x – 5 ≥ 0  2x ≥ 5  x ≥ 5

2 b) 23x có nghĩa  2 – 3x ≥ 0  3x ≤ 2  x ≤ 2

3 c) x có nghĩa  x ≥ 0

d) 5 35 48 10 77 4 3 = 5 3 5 48 10 ( 3) 2 2 3.222 = 5 3 5 48 10 ( 3) 2  5 3 5 48 10( 3 2)

b) Điều kiện: 2x – 1 ≥ 0  x ≥ 1

2 2x 1    3 ( 2x 1) 2  ( 3 )2

 2x – 1 = 9  2x = 10  x = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 5

b) Để A, B đồng thời có nghĩa thì x ≥ 3

Khi đó, ta có A = B (theo tính chất khai phương của một tích)

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Tìm điều kiện có nghĩa của các căn thức sau:

b) Cho a, b  Q thỏa mãn ab  0, a2 + b2 = 2a2b2 Chứng minh rằng 1 1

ab

 là số hữu tỉ

4 Cho a, b thỏa mãn (a – 1)(a – 3) + a2  b(b2) + b 1 Tính giá trị của biểu thức a – b

5 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

3

(b c)(ab)    (ca)

Dấu “=” xảy ra  x – 1 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0  1 ≤ x ≤ 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4

b) B = x2 6x9  x2 12x36 x2 18x81

= (x3)2  (x6)2  (x9)2

= x3  x6  x9  x3  x6  9x ≥ x – 3 + 0 + 9 – x = 6 Dấu “=” xảy ra  x – 3 ≥ 0, x – 6 = 0 và 9 – x ≥ 0

 x ≥ 3, x = 6 và x ≤ 9  x = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 6

Chủ đề 2 BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

1 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) 50x y2 4 với x ≥ 0 b) 63a b4 2 với b < 0

Hoạt động 3

Hãy điền vào chỗ chấm (…): 3 2  3 22  2

 THỬ TÀI BẠN

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) 2x 5 với x ≥ 0 b) –3ab 5 với ab ≥ 0

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Dũng Mai

Theo em, bạn nào đúng?

2

x 5  5x chỉ đúng khi x là số không âm

2

x 5  5x

đúng với

mọi x

a) 50x y2 4 = (5xy ) 22 2  5xy2 2 5xy2 2 = 5 2xy2 (với x ≥ 0)

b) 63a b4 2 = (3a b) 72 2  3a b 72  3a b 72  3 7a b2 (với b < 0)

b) –3ab 5 =  (3ab) 52   45a b2 2 với ab  0

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Bạn Mai đúng

2 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

A B  A B với A < 0, B ≥ 0 Đưa thừa số vào trong

dấu căn

2

A B  A B với A ≥ 0, B ≥ 0

A B   A B2 với A < 0, B ≥ 0 Khử mẫu của biểu thức

lấy căn

AB

B  B với AB ≥ 0, B  0 Trục căn thức ở mẫu A A B

 với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B

BÀI TẬP

 ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI (VÀO TRONG) DẤU CĂN

1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) 32 ; 2 75 ; 3 80 ; 5 48

6 ; 108 b) 63a2 (a ≥ 0); 2 12ab2 (a ≥ 0, b < 0); 125a b2 2 (ab ≥ 0)

2 Rút gọn biểu thức:

a) Tính chu vi của các tam giác trong hình dưới đây:

b) Biết chu vi hình chữ nhật ABCD ở dưới bằng 12 7 cm Tìm x

2 24cm

12cm

48cm 27cm

 KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN – TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

5 Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

7 Cho tam giác ABC vuông tại A ở hình dưới

Tính độ dài x của cạnh huyền BC

x 2

10cm

x

b)  63a2 = 3 7.a2 2 3 a 7  3 7a (với a ≥ 0);

 2 12ab2 = 2 2 3.ab2 2 4 b 3a  4b 3a (với b < 0);

 125a b2 2 = 5 5(a.b)2 2 5 ab 5 5 5ab (với ab ≥ 0)

b) Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là: (12 7) : 2 6 7 (cm) Độ dài cạnh BC là: 6 7 112 2 7 (cm)

 5xy 2

xy = 5xy 2 2

5xy 2xy2xy

5 2xyxy

4   4x2 = x2 + 400  3x2 = 400  x2 = 400

3 Mà x > 0 Do vậy x = 400

 7 2x 3 2x  2x  9  3 2x = 9  2x = 3 

2

3 02x 3

x 4( x 2)( x 3) x 2 ( x 2)( x 2)

8 Công thức Heron để tính diện tích tam giác là S = p(pa)(pb)(pc), trong đó

a, b, c là độ dài ba cạnh và p = a b c

2

 

là nửa chu vi tam giác Tính diện tích tam

giác ABC, biết ba cạnh của nó là AB = a, AC = a, BC = a 7

x 0 (loại vì không thỏa mãn điều kiện x > 0)

x = 1 (nhận vì thỏa mãn điều kiện x > 0 và x 4)

2  3   99  100 không thể là số nguyên

b) Tìm giá trị lớn nhất của B

c) Tìm các số nguyên x để B là số nguyên

d) Tìm các số x để B là số nguyên

3 Cho a > 0 và 4a2 + a 2 – 2 = 0 Chứng minh rằng

x1 là số nguyên

Mà khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để 5

x1 là số nguyên thì x không thể là số vô tỉ, do đó x là số nguyên, nên

x + 1 là ước nguyên dương của 5

Ta có x + 1  {1; 5}  x  {0; 4}  x  {0; 16}

d) B = 2 + 5

x1 Để B là số nguyên thì 5

x 1 phải là số nguyên

*Cách 1: Đặt 5

x 1 = a (a  , a  0)

Ta có a x + a = 5  a x = 5 – a  x = 5 a

a



Vì x ≥ 0 Nên 5 a

a

 ≥ 0  5 a 0, a 0

c) Điều kiện xác định:

Chủ đề 3 CĂN BẬC BA

§1 KHÁI NIỆM CĂN BẬC BA

Hoạt động 1

Biết thể tích V của hình lập phương cạnh x là V = x2

Hãy điền vào chỗ trống ( ) trong bảng sau:

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Mai nhận xét: Vì 3125   và 5 3125   , do đó: 5 3x  3 x

Em có ý kiến gì về nhận xét của Mai?

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Nhận xét của Mai đúng!

64125

3 3

3 3

55

Mà 4 4

5  5 Vậy

3 3

3 3 3

b  b (b  0)

BÀI TẬP

1 Tính:

a) 3216 b) 3512 c) 3729 d) 30, 064 e) 30, 027

BÀI TẬP NÂNG CAO

2 5 là một số hữu tỉ thì sai

Vậy 2 35 là một số vô tỉ

ÔN TẬP CHƯƠNG 1

1 Tìm điều kiện có nghĩa của các căn thức sau:

4 Giải các phương trình:

b) Tìm x để P < 1

2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

2

a) ( 72)2  ( 73)2 = 72  7 3

= 7 – 2 – (3 – 7 ) (vì 7 – 2 > 0; 7 – 3 < 0) = 7 – 2 – 3 + 7 = 2 7 – 5 b) 72 10  62 5 = ( 5 2)2  ( 51)

= ( a 1 a 1)( a 1 a 1) ( a 1)(a a 1)

a( a 1)( a 1)

Dấu “=” xảy ra  x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là –1

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z + xyz 4 Chứng minh rằng: x(4y)(4z)  x(4x)(4z) z(4y)(4x) = 8 + xyz

2 Giải các phương trình sau:

LỜI GIẢI

1 Ta có: x + y + z + xyz = 4  4x + 4 xyz = 16 – 4(y + z)

x(4 – y)(4 – z) = x[16 – 4(y + z) + yz] = x(4x + 4 xyz + yz) = 4x2 + 4x xyz + xyz = (2x + xyz )2

Suy ra: x(4y)(4z)  (2x xyz)2  2x xyz (1)

Lí luận tương tự có:

y(4x)(4z) 2y xyz (2)

z(4y)(4x) 2z xyz (3)

Từ (1), (2), (3) cho:

x(4y)(4z)  y(4x)(4z) z(4y)(4x)

= 2(x + y + z) + 3 xyz = 2(4 – xyz ) + 3 xyz = 8 + xyz

2

a) Điều kiện xác định: a ≥ 1

x2 – x – 4 = 2 x 1 (1 – x)  x2 – x – 4 + 2 x 1 (x – 1) = 0  x2 – x – 4 + 2( x 1 – 1)(x – 1) + 2(x – 1) = 0

 x2 + x – 6 + 2( x 1 – 1)(x – 1) = 0

 (x – 2)(x + 3) + 2( x 1 – 1)(x – 1) = 0

 ( x 1 – 1)( x 1 + 1)(x + 3) + 2( x 1 – 1)(x – 1) = 0  ( x 1 – 1)[( x 1 + 1)(x + 3) + 2(x – 1)] = 0

Phương trình (*) trở thành 12 2y 3 0

y   

Ta có 12

y + 2y – 3 = 0  1 + 2y

3 – 3y2 = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 7

b) Ta có bc(1a )2  bca bc2  bca(abc)  (ab)(ac)

Tương tự: ca(1b)2  (ab)(bc); ab(1c )2  (ac)(bc)

Chương II

HÀM SỐ BẬC NHẤT

Chủ đề 4 : HÀM SỐ BẬC NHẤT

1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ

Một vòi nước chảy vào một bể bơi cạn nước với

vận tốc 2m3/giờ Gọi V (tính bằng m3) là thể

tích nước trong hồ ứng với thời gian vòi chảy là

t (giờ) Hãy điền giá trị thích hợp vào bảng sau:

Khi giá trị của t tăng thì giá trị tương ứng của V tăng hay giảm?

Hoạt động 4

Một ôtô với bình xăng chứa 30 lít Cứ sau khi ôtô chạy được 20km thì tiêu hao 1 lít xăng Gọi V là số lít xăng còn lại trong bình ứng với quãng đường đã đi là s(km) Hãy điền giá trị thích hợp vào bảng sau:

Đồ thị hàm số y = 3x là đường

thẳng OA với O(0; 0) và A(1; 3)

Với x1, x2 bất kì thuộc R, ta có nếu x1 < x2 thì 5x1 < 5x2 do đó f(x1) < f(x2)

Vậy f(x) = 5x là hàm số đồng biến trên R

2 HÀM SỐ BẬC NHẤT

Hoạt động 5

Một cái hồ đã có chứa 3m2 nước Người ta

mở một vòi nước chảy vào hồ với vận tốc

2m3/giờ Em hãy điền vào chỗ trống ( ) sau

 THỬ TÀI BẠN

y = –2x + 1 có phải là hàm số bậc nhất không?

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Cho hàm số f(x) = (m – 1)x + 2

Hoạt động 7

Một nhóm bạn góp được 20 triệu

đồng để làm một album ca nhạc Một

phòng thu âm cho biết giá cho việc

sản xuất một đĩa gốc là 10 triệu đồng

và mỗi đĩa in sao là 60000 đồng Nếu

nhóm muốn có c đĩa in sao cho thì số

tiền còn lại là:

Sau 1 giờ thì thể tích nước trong hồ là V = V = 5 (m3)

Sau 2 giờ thì thể tích nước trong hồ là V = 7 (m3)

Sau t giờ thì thể tích nước trong hồ là: V = 2t + 3 (m3)

f(x) là hàm số

bậc nhất khi

m  1

f(x) luôn là hàm số bậc nhất

 THỬ TÀI BẠN

Hàm số y = –2x + 1 là hàm số bậc nhất với a = –2, b = 1

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Bạn Dũng đúng!

Hàm số d(f(x) = 2x – 3 là hàm số đồng biến trên  vì a = 2 > 0

Hàm hàm g(x) = –2x – 5 là hàm số nghịch biến trên  vì a = –2 < 0

GHI NHỚ

 Cho đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho cứ mỗi giá trị của x

tương ưng duy nhất một giá trị của y thì được gọi là hàm số của x, và x được gọi là

biến số

 Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức

 Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy

 Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của biến số x và thỏa mãn: + Nếu a > 0 thì y là hàm số đồng biến trên 

+ Nếu a < 0 thì y là hàm số nghịch biến trên 

BÀI TẬP

 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ

1 Cho hàm số y = f(x) = 1x

2 Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(4)

2 Cho hàm số y = g(x) = 3x

4

 Tính g(–4), g(–1), g(2), g(8)

3 Sau đây là bảng theo dõi nhiệt độ cao nhất T (tính theo độ C) trong một số ngày

tại Thành phố Hồ Chí Minh:

N (ngày) Thứ 2 Thứ 3 Thứ 4 Thứ 5

T có phải là hàm số theo biến N không?

4 Chứng minh hàm số f(x) = –x là hàm số nghịch biến trên 

5 Cho hai hàm số y = x và y = 3x

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của hai đồ thị trên lần lượt với đồ thị của hàm số y = 3

 HÀM SỐ BẬC NHẤT

6 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Nếu là hàm số bậc nhất

thì nêu các hệ số a và b

8 Cho hàm số y = (m – 2)x + 4 Tìm các giá trị của m để y là đồng biến trên 

9 Cho hàm số y = (6 – 2m)x – 5 Tìm các giá trị của m để y là nghịch biến trên 

10 Cho hàm số y = (3m + 3)x + 2m – 1 Tìm giá trị của m để y là hàm số bậc nhất

11 Đổi nhiệt độ

Để đôi từ nhiệt độ F (Fahrenheit) sang độ C (Celsius),

ta dùng công thức sau: C = 5(F 32)