Phát triển tư duy đột phá giải bài tập Toán 9 - Tài liệu dạy học (Tập 1): Phần 2

Tiếp nối phần 1, phần 2 của tài liệu Phát triển tư duy đột phá giải bài tập Toán 9 - Tài liệu dạy học (Tập 1) là các bài tập thuộc phần hình học với 7 chuyên đề, gồm 2 chương: hệ thức lượng trong tam giác vuông; đường tròn. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu dưới đây để biết chi tiết các phương pháp giải bài tập Toán lớp 9.

PHẦN HÌNH HỌC…

Chương I

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Chủ đề 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ

ĐƯỜNG COA TRONG TAM GIÁC VUÔNG

§1 HỆ THỨC GIỮA CẠNH GÓC VUÔNG VÀ HÌNH

CHIẾU CỦA NÓ TRÊN CẠNH HUYỀN

Hoạt động 1

Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC

= a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c

Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và

HC = b, HB = c lần lượt là hình chiếu của AC,

AB trên cạnh huyền BC

a) Chứng minh các tam giác HBA và ABC đồng

dạng, từ đó so sánh c2 và c.a

b) Chứng minh các tam giác HCA và ACB đồng dạng, từ đó so sánh b2 và b.a

5

Có thể tính ba cạnh của một tam

giác vuông khi biết độ

dài hai hình chiếu của

hai cạnh góc vuông

trên cạnh huyền

Không thể tính được đâu

b) Xét HCA và ACB có: HCA (chung), AHCCAB (= 900

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Bạn Dũng đúng

§2 HỆ THỨC GIỮA BA CẠNH CỦA

TAM GIÁC VUÔNG

Hoạt động 2

(Một cách khác để chứng minh định lí Pythagore),

– So sánh a với tổng b + c

– Hãy cộng hai đẳng thức (1) và (2) sau đây, rồi rút

gọn và nêu nhận xét:

 BẠN NÀO ĐÚNG?

b2 + c2 = ab + ac  b2 + c2 = a(b + c)  b2 + c2 = a2

Trong một tam giác vuông tổng bình phương các cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền

b2 = a.b (1)

c2 = a.c (2)

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Bạn Lan đúng

§3 HỆ THỨC GIỮA ĐƯỜNG CAO ỨNG VỚI

CẠNH HUYỀN VÀ HÌNH CHIẾU CỦA HAI CẠNH GÓC

VUÔNG TRÊN CẠNH HUYỀN

LỜI GIẢI

Hoạt động 3

a) Xét AHB và CHA có

AHBCHA (= 900), HABHCA (cùng phụ với HAC)

Do đó AHB ∽ CHA

 AH BH

CH  AH  AH

2 = CH.BH Vậy h2 = b.c

 THỬ TÀI BẠN

Theo đầu bài, ta có tam giác ABC vuông tại

A, AH là đường cao, AH = x, AB = y, AC = z,

Hoạt động 4 (Xem hình 7)

a) Hãy tính diện tích tam giác ABC theo cạnh

huyền a và đường cao tương ứng h

b) Hãy tính diện tích tam giác ABC theo hai cạnh

Theo đầu bài, ta có tam giác ABC vuông tại A,

đường cao AH, AB = 6, AC = x, BC = 10, AH =

4,8 Tìm x bằng hai cách khác nhau

*Cách 1: ABC vuông tại A

§5 HỆ THỨC GIỮA ĐƯỜNG CAO VÀ HAI

CẠNH GÓC VUÔNG

Hoạt động 5

Bằng cách sử dụng các đẳng thức a2 = b2 + c2

và b.c = a.h, hãy tính theo h biểu thức

h = SABC = Chu vi tam giác ABC =

THƯ GIÃN

Hùng muốn tính khoảng cách AP nối hai

điểm ở hai bên bờ một con rạch Bạn ấy đặt

đỉnh góc vuông êke vào đầu B của một cái

sào BA dài 6m Nhìn theo hai cạnh góc

vuông của êke thì lần lượt thấy điểm Q và

điểm P Hùng đo thấy đoạn QA dài 2m Em

có thể tính nhẩm chiều dài đoạn AP được

Trong một tam giác vuông

c2 = a.c Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình

chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

b2 = a.b

a2 = b2 + c2 Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

h2 = b.c Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu

của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

b.c = a.h Tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao

tương ứng

2 2 2

h  b  c Nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng

tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

BÀI TẬP

1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, BC = 15cm, AH là đường cao (H thuộc

cạnh BC) Tính BH, CH, AC và AH

2 Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, AC = 5cm, AB = 4cm Tính:

a) Cạnh huyền BC

b) Hình chiếu của AB và AC trên cạnh huyền

c) Đường cao AH

3 Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 40cm, AC = 36cm Tính AB, BH, CH và AH

4 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 24cm Tính AB, AC, cho biết AB 2AC

3

5 Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao BH = 10cm, CH = 42cm Tính

BC, AH, AB và AC

6 Cho đường tròn tâm O bán kính R = 10cm A, B là hai điểm trên đường tròn (O) và

I là trung điểm của đoạn thẳng AB

a) Tính AB nếu OI = 7cm

b) Tính OI nếu AB = 14cm

7 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 53cm C là một điểm trên đường tròn sao

cho AC = 45cm Gọi H là hình chiếu của C trên AB Tính BC, AH, BH, CH và OH

8 Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 15cm, đáy nhỏ CD = 5cm và góc A

bằng 600

a) Tính cạnh BC

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính MN

9 Cho tứ giác ABCD có AB = AC = AD = 20cm, góc B bằng 600 và góc A bằng 900 a) Tính đường chéo BD

b) Tính khoảng cách BH và DK từ hai điểm B và D đến AC

c) Tính HK

d) Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài Tính BE, CE, DC

10 Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O của AB vẽ Ox vuông góc với AB Trên

Ox lấy điểm D sao cho OD = a

2 Từu B vẽ BC vuông góc với AD kéo dài

a) Tính AD, AC và BC theo a

b) Kéo dài DO một đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn

c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F Tính BF

d) Gọi P là giao điểm của AB và CE Tính AP và BP

11 Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao BC = 16cm, AH = 6cm Vẽ điểm

D trên đoạn BH sao cho BD = 3,5cm Chứng minh rằng tam giác DAC vuông

ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)

Do đó CH = BC – BH = 412, 5  3,9 (cm)

c) ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)

Do đó 4.5 = 41 AH Nên AH = 20

Do đó 362 = 40.CH

Nên CH = 1296 32, 4

40  (cm) ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)

Do đó: OAB cân tại O

OAB cân tại O có OI là đường trung tuyến

(vì I là trung điểm của AB)

Nên OI cũng là đường cao của tam giác OAB

Xét OAI vuông tại I ta có:

Mà AI > 0 nên AI = 51 (cm)

Vì I là trung điểm của AB nên AB = 2AI = 2 51 (cm)

b) Vì I là trung điểm AB nên ta có: AI = BI AB 14 7

 ABC vuông tại C

 Xét ABC vuông tại C ta có:

a) Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại K

Tứ giác AKCD có AK // CD, CK // AD

 Tứ giác AKCD là hình bình hành

Ta có  CKB BAD 60  0 (đồng vị và CK // AD)

Xét hình thang cân ABCD (AB // CD) ta có:

M là trung điểm của AB (gt) và N là trung điểm của CD (gt)

Do đó MN trục đối xứng của hình thang cân ABCD

 MN  AB và MN  CD

Xét tứ giác NCHM có   CNM NMH MHC 90   0

Do đó tứ giác NCHM là hình chữ nhật

b) Xét ABC ta có: AB = AC (= 20cm)

Do đó ABC cân tại A

Mà ABC 60 0 (giả thiết)

Nên ABC đều Do đó BAC 60 0

ABH vuông tại H

 BH = ABsin BAC = 20sin600 = 10 3 (cm)

Ta có:   DAK BAC BAD 

DAK 60 0 900

DAK = 300

KAD vuông tại K Suy ra DK = ADsin DAK = 20sin300 = 10 (cm)

c) ADK vuông tại K

 AK = ADcos DAK = 20cos300 = 10 3 (cm)

ABC đều, BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

d) ADC có AD = AC  ADC cân tại A

Do đó  ADC ACD = (1800 – DAC) : 2 75 0

ABD vuông cân tại A  ADB 45 0

Nên   BDE ADC ADB 75   0450 300

BED vuông tại E

Suy ra BE = BDsin BDE = 20 2.1 10 2

2  (cm) và DE = BDcos BDE = 20 2. 3 10 6

Mặt khác BCE 180 0 BCA ACD  = 1800 – 600 – 750 = 450

EBC vuông tại E  CE = BCcos BCE = 20 2 10 2

Do đó AOD ACB (g.g)

Ta có: AO = EO = BO = CO = a

Vậy bốn điểm A, E, B, O cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính a

c) ABE có EO là đường cao, đường trung tuyến  ABE cân tại E

Vẽ EH  AC tại H, EK  BC tại K

Xét HAE ( AHE 90 ) 0 và KBE ( KBE = 900) có AE = BE (ABE cân tại E)  HAE KBE (cùng bù với góc CBE)

Do đó HAE = KBE (cạnh huyền – góc nhọn)

AP  AC Nên BP 1

ABC cân tại A, AH là đường cao (gt)

 AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

Ta có     DAC HAD HAC HCA HAC 90     0 (HAC vuông tại H)

Vậy tam giác DAC vuông tại A

A

LUYỆN TẬP

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết HB = 9cm HC = 16cm Tính

các độ dài AB, AC

2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 6cm, HC – HB = 9cm

Tính các độ dài HB, HC

3 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3

AC  4, đường cao AH = 18cm Tính chu vi tam giác ABC

4 Cho hình thang ABCD có chiều dài hai đáy AB và CD lần lượt là 9cm và 30cm,

chiều dài hai cạnh bên AD và BC lần lượt là 13cm và 20cm Tính diện tích hình thang

5 Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 37,5cm2, AB < AC, đường cao AH có độ dài 6cm Tính các độ dài AB, AC

6 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC và AM = m Tính tổng

MB2 + MC2 theo m

7 Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH Gọi E và D lần lượt là hình chiếu

của H trên AB và AC Cho biết HDd = 18cm, HE = 12cm Tìm các độ dài AB, AC

8 Một tam giác vuông có cạnh huyền là 6,15cm và đường cao tương ứng là 3cm Tìm

các cạnh góc vuông của tam giác

9 Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông của tam giác là

9cm, còn tổng hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 6cm Tính chu vi và diện tích tam giác vuông đó

10 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm D di động trên cạnh AC Đường thẳng d

vuông góc với AC tại C cắt đường BD tại E Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AC thì tổng 12 12

Ta có (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 156,25 + 2.75

(AB + AC)2 = 231,25 Nên AB + AC = 17m5

Mặt khác (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 156,25 – 2.75 = 6,25

Vẽ AH  BC tại H Không mất tính tổng quát giả

sử M nằm giữa B và H

ABC vuông tại A, AH là đường cao nên cũng là

đường trung tuyến

Tứ giác ADHE ta có:

EAD = 900 (vì ABC vuông tại A),

AEH = 900 (vì E là hình chiếu của H lên AB)

và ADH 90 0 (vì D là hình chiếu của H lên AC)

Do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH = DE.AD = HE = 12cm, AD = DH = 18cm

HAB vuông tại H, HE là đường cao

 AE.BE = HE2

Do đó 18.BE = 122 BE = 122 8

18  (cm) Nên AB = AE + BE = 18 + 8 = 26 (cm)

HAC vuông tại H, HD là đường cao

 AD.CD = HD2

Do đó 12.CD = 182 CD = 182 27

12  (cm) Nên AC = AD + CD = 12 + 27 = 39 (cm)

Chu vi tam giác ABC là: a + b + c = 15 + 8 + 17 = 40 (cm)

Diện tích tam giác ABC vuông tại A là: 1.b.c 1.15.8 60

Do đó tứ giác ABFC là hình chữ nhật

Mà AB = AC (ABC vuông tại A)

Nên tứ giác ABFC là hình vuông

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt

đường thẳng d tại G

Xét ABD và FBG ta có:

 BAD BFG (= 900), AB = BF (vì ABFC là hình vuông)

và  ABD FBG (vì cùng phụ với DBF )

Do đó ABD = FBG (g.c.g)

Suy ra: BD = BG

Xét BGE vuông tại B có đường cao BF, ta có: 12 12 12

BF  BG  BE Mà BD = BG, BF = AC không đổi

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Vẽ HD vuông góc với AB tại D,

HE vuông góc với AC tại E Chứng minh rằng

3 Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác ABC M, N lần lượt trên các

đoạn thẳng HB, HC sao cho  AMC ANB 90  0 Chứng minh rằng tam giác AMN cân

LỜI GIẢI

1

a) ABH vuông tại H, HD là đường cao (HD

 AB)  AD.AB = BH2 (hệ thức về cạnh

và đường cao trong tam giác vuông)

Do đó AH22 AD.AB AD

b) ABC vuông tại A, AH là đường cao  AH2 = BH.HC, AB.AC = AH.BC

AHC vuông tại H, HE là đường cao (HE  AC)

Qua A vẽ đường thẳng vuông góc

với AN, cắt CD tại E Vẽ AH  CD

A

D

3

Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là giao điểm của CH và AB

H là trực tâm của tam giác ABC (gt)

Nên MD  AC, NE  AB

AMC vuông tại M, MD là đường cao

 AM2 = AD.AC (1)

ANB vuông tại N, NE là đường cao

 AN2 = AE.AB (2)

Xét ADB à AEC có:

DAB (chung),  ADB AEC (= 900)

Do đó ADB ∽ AEC (g.g)

AE  AC  AD.AC = AE.AB (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có AM2 = AN2 AM = AN

Vậy tam giác AMN cân tại A

Chủ đề 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

§1 KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA

MỘT GÓC NHỌN

Hoạt động 2

Vẽ góc nhọn mOn = x Lấy hai điểm B và B trên Om Gọi A và A là hình chiếu vuông góc của B và B trên On

– Hãy chứng minh hai tam giác sau luông đồng

dạng: OAB và OAB

– So sánh các cặp tỉ số:

Cho trước tỉ số b (b < a)

a Hùng vẽ nửa đường tròn đường kính AB = a cm rồi vẽ đường tròn

tâm B bán kính b cm cắt nửa đường tròn đường

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Trong ví dụ ở hình 6, nếu lấy trên AB điểm B

với AB > AB và đặt AOB  x (h.7)

Bạn Việt có nhận xét tanx > tanx

Bạn Nam có nhận xét cotx < cotx

Theo em, bạn nào đúng?

Cạnh đối

Cạnh huyền đối

Gọi O là trung điiểm của AB

Vì C thuộc đường tròn tâm O, đường kính AB Do đó OC = OA = OB

ABC có OC là đường trung tuyến và OC = AB

2

 ABC vuông tại C

 sinx = sin CAB = BC b

AB  a

 THỬ TÀI BẠN

– Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox đặt OA = 3

– Dựng đường tròn tâm A, bán kính 10 cắt

tia Oy tại B

Khi đó ABO 

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Cả hai bạn Việt và Nam đều đúng

§2 LIÊN HỆ GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

CỦA MỘT GÓC

Hoạt động 4

Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài

ba cạnh lần lượt là a, b, c như hình 8

Đặt ABC x

Tính sinx, cosx, tanx, cotx theo a, b, c rồi

dùng kết quả đó để điền vào bảng so

sánh sau:

sinx; cosx 0; 1 Ví dụ: 0 < sinx < 1

AB  c, cotx = AB

c

AC  b

sinx; cosx 0; 1 0 < sinx < 1

0 < cosx < 1 sin2x + cos2x 1 sin2x + cos2x = 1

cot600 = 1 0 1 3

3tan 60  3 

§3 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU

Hoạt động 5

Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài

ba cạnh lần lượt là a, b, c như hình 9

Đặt ABC x; ACB y. 

Tính tỉ số lượng giác của góc x và y theo a,

 sinx = sin ABC = AC b

BC  a  cosx = cos ABC = AB

c

BC  a

 tanx = tan ABC = AC b

AB  c  cotx = cot ABC = AB

c

AC  b

 siny = sin ACB = AB c

BC  a  cosy = cos ACB = AC

b

BC  a

 tany = tan ACB = AB c

AC  b  coty = cot ACB = AC

SO SÁNH

GHI KẾT QUẢ

x y = 900 – x

§4 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Hoạt động 6

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2dm

Gọi D là trung điểm BC Tính độ dài AD,

CD rồi dùng kết quả đó để tính tỉ số lượng

giác của các góc 300 và 600

Hoạt động 7

Cho tam giác vuông cân có cạnh

bằng 1m Tính độ dài cạnh huyền rồi

dùng kết quả đó để tính tỉ số lượng

giác của góc 450

LỜI GIẢI

Hoạt động 6

ABC đều, AD là đường trung tuyến

 AD là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC

Nên ADC 90 0, DAC BAC

Và cos CAD AD

AC

 Do đó cos300 = 3

2 Và tan CAD = CD

AD Do đó tan30

0 = 1 3

3

3  Và cot CAD AD

CD

 Do đó cot300 = 3 3

1  ACD 60 0, CAD và ACD phụ nhau 

Do vậy cos600 = sin300 = 1

2, sin60

0 = cos300 = 3

2 tan600 = cot300 = 3 , cot600 = tan300 = 3

ACB 45 0, ABC 45 0, ACB và ABC phụ nhau

Vậy sin450 = cos450 = 2

2 tan450 = cot450 = 1

§5 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 THỬ TÀI BẠN

Dùng máy tính cầm tay tính:

a) sin760; cos310; tan830; cot880 (làm tròn đến hai chữ số thập phân)

b) Góc y trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến độ): cosy = 0,79; coty = 2,44

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Dùng máy tính cầm tay để tìm góc nhọn x, biết sinx = 0,650

Bạn Lan tìm được kết quả x = 40,5420

Bạn Cúc tìm được x = 4003230

Theo em, bạn nào đúng?

 BẠN NÀO ĐÚNG?

Cả hai bạn Lan và Cúc đều đúng

GHI NHỚ

1 Cho x là số đo một góc nhọn trong một tam giác vuông

– Tỉ số giữa cạnh đối của góc x và cạnh huyền

được gọi là sin của góc x, kí hiệu sinx

– Tỉ số giữa cạnh kề của góc x và cạnh huyền

được gọi là côsin của góc x, kí hiệu cosx

– Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là

tang của góc x, kí hiệu tanx

– Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc x, kí hiệu cotx

sinx = b; cosx = ; tanx = ; cotx = c x c

2 Cho góc nhọn x, ta tính được các tỉ số lượng giác của nó Ngược lại, cho một trong

các tỉ số lượng giác của góc nhọn x, ta có thể vẽ được góc đó

3 Các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương Hơn nữa, ta có: 0 < sinx < 1;

tanx = sin x; cotx = cos x

cos x sin x

tanx.cotx = 1

4 Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng

côtang góc kia

sin(900 – x) = cosx cos(900 – x) = sinx

tan(900 – x) = cotx cot(900 – x) = tanx

5 Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

12

2 Cho biết sinx = 0,8

a) Hãy vẽ một góc nhọn có số đo bằng x

b) Tính cosx, tanx, cotx

3 Cho biết sinx = 1

2 Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc (90

0 – x)

4 Cho biết sinx = 1

3 Tính cosx, tanx, cotx

5 Cho biết tanx = 3 Tính cotx, sinx, cosx

6 Dùng máy tính cầm tay tìm tỉ số lượng giác của các góc sau:

b) Phân giác trong góc B cắt AC ttại I Tính AI

c) Vẽ AH vuông góc với Bi tại H Tính AH

9 Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Vẽ bán kín OC vuông góc với AB,

gọi M là một điểm nằm trên OC sao cho tan OAM 3

4

 , AM cắt nửa đường tròn tại

D Tính các đoạn AM, AD, BD theo 

10 Vẽ một tam giác vuông có một góc bằng 580

a) Đo độ dài các cạnh rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 580

b) Kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay

11 Cho tam giác ABC vuông tại C, cho biết AC = 18cm và BC = 24cm Tính các tỉ số

lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

12 Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450, sin600, cos750, sin52n030, cot820, tan800

13 Vẽ góc nhọn x trong mỗi trường hợp sau đây:

Ta có: ABC vuông tại A nên:

– Trên tia Ay đặt AB = 4

– Dựng đường tròn tâm B bán kính 5

– Lấy C là giao điểm của (B; 5) và tia Ax

– Nối B và C ta được ACB x

Thật vây ta có sinx = AB 4 0,8

BC  5  b) *Cách 1:

Xét ABC vuông tại A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pythagore)

Mà sin2(900 – x) + cos2(900 – x) = 1

Nên sin2(900 – x) = 1 – ( 1

2)

2 = 3

4 Mà sin(900 – x) > 0 Nên sin(900 – x) = 3 3

2



4 Ta có: sin2x + cos2x = 1

Do đó cos2x = 1 – sin2x = 1 – 1 8

9  9 Mà cosx > 0

Do đó cosx = 8

9 = 2 23 tanx = sin x 1 2 2: 2

3

 Ta có: 1 + cot2x = 1 +

cos x sin x cos x 1

Xét OAM và DAB ta có:  OAM DAB (góc chung)

và  AOM ADB (= 90 ) 0

Do đó OAM ∽ DAB (g.g.)

Ta có: sin580 = sinB = AC 4,7

BC  5,5  0,85 cos580 = cosB = AB 2,9

BC  5,5  0,53 tan580 = tanB = AC 4,7

AB  2,9  1,62 cot580 = cotB = AB 2,9

AC  4,7  0,62 b) Kiểm tra lại bằng máy tính

A  30  tanB = cotA = AC 18 0,75

BC  24  cotB = tanA = BC 24 4

AC  18  3

12

 sin600 = cos(900 – 600) = cos300

 cos750 = sin52030 = sin(900 – 750) = sin150

 sin52n030 = cos(900 – 52030) = cos37030

 cot820 = tan(900 – 820) = tan80

 tan800 = cot(900 – 800) = cot100

13

a) sinx = 2

3

– Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox đặt OA = 2

– Dựng đường tròn tâm A bán kính 3

– Lấy B là giao điểm của (A; 3) và tia Ay

Khi đó ABO x.

b) cosx = 0,6 = 3

5 – Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox đặt OA = 3

– Dựng đường tròn tâm A bán kính 5

– Lấy B là giao điểm của (A; 5) và tia Ay

Khi đó BAO x.

c) tanx = 3

4

– Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox đặt OA = 3, trên tia OB đặt OB = 4

Khi đó ABO x.

d) cot x 3

2



– Dựng góc vuông xOy

– Trên tia Ox đặt OA = 3, trên tia Oy

HAB vuông tại H có HBA 45 0

 HAB vuông cân tại H

2 Dùng máy tính cầm tay để tìm số đo của góc x (làm tròn đến phút) trong mỗi

trường hợp sau:

4 So sánh các cặp tỉ số lượng giác sau:

a) sin300 và sin500 b) cos220 và cos780

c) tan520 và tan 880 d) cot140 và cot490

e) sin320 và cos320

5 Dùng máy tính cầm tay để tính giá trị rồi so sánh các cặp tỉ số lượng giác sau:

a) tan250 và sin250 b) tan450 và cos450

c) cot320 và cos320 d) cot600 và sin300

4

a) Ta có: 300 < 500 Do đó: sin300 > sin500

b) Ta có: 220 < 780 Do đó: cos220 > cos780

c) Ta có: 520 < 880 Do đó: tan520 < tan880

d) Ta có: 140 < 490 Do đó: cot140 > cot490

e) Ta có: sin320 = cos(900 – 320) = cos580

Vì 580 > 320 nên cos580 < cos320

Do đó: sin320 < cos320

5

a) Ta có: tan250  0,466 và sin250 0,423

Mà 0,466 > 0,423 Do đó: tan250 > sin250

b) Ta có: tan450 = 1 và cos450 0,707

Mà 1 > 0,707 Do đó: tan450 > cos450

c) Ta có: cot320  1,6 và cos320  0,85

Mà 1,6 > 0,85 Do đó cot320 > cos320

d) Ta có: cot600  0,58 và sin300 = 0,5

Mà 0,58 > 0,5 Do đó cot600 > sin300

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh

S 1 cos A cos B cos C

c) cotA.cotB = HAB

ABC

S

S d) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1

2 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM và đường

phân giác CD đồng qui Chứng minh rằng cosB = tanB

3 Không dùng máy tính cầm tay và bảng lượng giác Tính giá trị biểu thức:

A = (sin2220 + sin2680) + (sin220 – sin680)2

B = (tan270 + tan630)2 – (tan270 – tan630)

C = cos210 + cos220 + + cos2880 + cos2890

4 Cho góc nhọn  Chứng minh rằng:

a) sin2011 + cos2012 < 1 b) sin5 + cos < 5

4

Gọi I là giao điểm của AH, BM, CD, E là điểm

đối xứng của đoạn E qua I

Ta có tứ giác AECI là hình bình hành