Bài 2 Giới hạn của hàm số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 123 SGK Toán lớp 11 Đại số Xét hàm số ( ) 22x 2x f x x 1 − = − 1 Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số (xn), nx[.]
Trang 1Bài 2: Giới hạn của hàm số
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 123 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hàm số ( ) 2x2 2x
f x
x 1
−
=
−
1 Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số (xn), xn → như trong bảng 1 sau:
x x1 = 2 x2 3
2
3
4
n
+
f(x) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) … f(xn) … →?
Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2), …f(xn),… cũng thành lập một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn))
a) Chứng minh rằng ( )n n
2n 2 2
n
b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn))
2 Chứng minh rằng với dãy số bất kì ( )xn , xn 1 và xn → , ta luôn có 1
( )n
f x →2 (Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số ( )n 2
x 1
− có giới hạn là 2 khi x dần tới 1)
Lời giải:
1
2x x 1
−
−
Ta có: xn n 1
n
+
=
n 1 2n 2
Trang 2b) n ( ( )n ) n n
+
Ta có:
n
2
n
→+ =
( )
nlim f x 2 0
→+
( )n
nlim f x 2
→+
2 lim f(xn) = lim 2xn = 2lim xn = 2.1 = 2
Hoạt động 2 trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức (1) xác định
hàm số y = f(x) ở ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là – 2 khi x→1
Lời giải:
Để hàm số có giới hạn bằng –2 tại x = 1 thì
xlim f (x)1+ xlim f (x)1− 2
→ = → = − hay 5.1 + c = –2 c = – 7
Vậy cần thay 2 bằng –7 để hàm số có giới hạn bằng –2 tại x = 1
Hoạt động 3 trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) 1
x 2
=
− có đồ thị như hình 52
Quan sát đồ thị và cho biết:
Trang 3- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào
- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào
Lời giải:
- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị dương vô cực
- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị âm vô cực
B Bài tập
Bài tập 1 trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn
sau:
a)
x 4
x 1
lim
3x 2
→
+
− ;
b)
2 2
x
2 5x
lim
→+
−
+
Lời giải:
a) Hàm số f (x) x 1
3x 2
+
=
− xác định trên
2
3
và ta có x= 4 D Giả sử (xn) là dãy số bất kì và xnD; xn và 4 xn → khi n → + hay 4
n
lim x = 4
n
limf x lim
3x 2 3lim x 2 3.4 2 2
Vậy
x 4
lim
3x 2 2
→
+
=
b) Hàm số
2 2
2 5x
f (x)
−
= + xác định trên Giả sử (xn) là dãy số bất kì và x → + khi n → + hay n lim x = + n
2
n
1
x
Trang 4Ta có ( ) 2n
n
2 5x lim f x lim
−
=
+
2
n 2 n 2
n
2
x lim
3
x 1
x
−
=
+
2 n
2 n
2 5 x lim
3 1 x
−
=
+
2 n
2 n
2
x 3
1 lim
x
−
= +
0 5
5
1 0
−
+
Vậy
2 2 x
2 5x
→+
Bài tập 2 trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số
f(x x 1 neu x 0
2x neu x
)
0
và các dãy số với un 1
n
= , (vn) với vn 1
n
= − Tính lim un, lim vn, lim f(un) và lim f(vn)
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x→0 ?
Lời giải:
n
1 lim u lim 0
n
n
1
n
= − =
( )
1
n
( )
2
n
Trang 5Do lim f u( )n =1 nên
xlim f (x) 10+
( )n
x 0
limf v 0 nên lim f (x)− 0
→
Do đó
xlim f (x)0+ xlim f (x)0−
→ → nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại x = 0 Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi x→0
Bài tập 3 trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính các giới hạn sau :
a)
2
x 3
lim
x 1
→−
−
2
x 2
4 x lim
x 2
→−
−
x 3 3 lim
x 6
→
+ −
−
d)
x
2x 6
lim
4 x
→+
−
17 lim
2 x
2x x 1 lim
3 x
→+
Lời giải:
a)
2
x 3
lim
x 1
→−
−
+
2
( 3) 1
4
3 1
− + b)
2
c)
x 6
x 3 3
lim
x 6
→
+ −
−
x 6
lim
→
=
x 3 9 lim
→
+ −
=
x 6
x 6 lim
→
−
=
1 lim
x 3 3
→
=
+ +
6
6 3 3
+ +
d)
x
2x 6
lim
4 x
→+
−
6
x 2
x lim
4
x
→+
−
=
−
x
6 2 x lim 4 1 x
→+
−
=
−
2 0
2
0 1
−
−
x
17
+
Trang 6vì: ( 2 ) 2
2
1 lim x 1 lim x 1
x
Cách khác:
2 2 2
2
17 x
1
x
=
2 x
2
17 x lim
1 1 x
→+
=
+
0 0
1 0
+
f)
2
2
3 x
x
− + −
2 x
2
2
lim
→+
− + −
=
x
→+
x
lim 2
x x
→+
− + −
= − + − = − 2 0 0 2 0
Vậy
2
2
3 x
− + −
Cách khác:
2
3
3 x
x
− + −
2 x
2
x x lim x
3 1 x
→+
+
Mà
xlim x
→+ = +
x
x
lim
→+ →+
→+
→+
=
2 0 0
2 0
0 1
− + −
+
Trang 7Nên
2 x
2x x 1
lim
3 x
→+
+
Bài tập 4 trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các giới hạn sau :
x 2
3x 5
lim
(x 2)
→
−
− ;
b)
x 1
2x 7
lim
x 1
−
→
−
− ;
c)
x 1
2x 7
lim
x 1
+
→
−
−
Lời giải:
x 2
lim(x 2) 0
→ − = và (x – 2)2 > 0 với x 2 và
x 2
lim(3x 5) 3.2 5 1 0
x 2
3x 5
lim
(x 2)
→
− = +
b) Ta có
xlim(x 1)1− 0
→ − = và x – 1 < 0 với x 1 và
x 1
lim(2x− 7) 2.1 7 5 0
Do đó
x 1
2x 7
lim
x 1
−
→
− = +
c) Ta có
x 1
lim(x 1)+ 0
→ − = và x – 1 > 0 với x 1 và
x 1
lim(2x+ 7) 2.1 7 5 0
Do đó
x 1
2x 7
x 1
+
→
− = −
−
Bài tập 5 trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) x2 2
+
=
− có đồ thị như trên hình 53
Trang 8a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi x → − , x→3−,
x→3+
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
xlim f (x)
→− với f(x) được xét trên khoảng (− −; 3)
xlim f (x)3−
→ với f(x) được xét trên khoảng (–3; 3)
xlim f (x)3+
→ với f(x) được xét trên khoảng (–3; 3)
Lời giải:
a) Quan sát đồ thị ta thấy x → − thì f (x)→0
Khi x→3− thì f (x) → −
Khi x→3+ thì f (x) → +
b)
x 2 lim f (x) lim
→− →−
+
=
−
2
2
2
x
lim
9
x 1
x
→−
=
−
2 x
2
lim
9 1 x
→−
+
=
−
0 0
0
1 0
+
−
Trang 9+) 2
x 3 x 3
x 2 lim f (x) lim
+
=
−
Vì
xlim(x3− 2) 3 2 5 0
xlim x3− 9 0
→ − = ; x2 – 9 < 0 khi x < 3
nên
xlim f (x)3−
→ = −
x ( 3) x ( 3)
x 2 lim f (x) lim
+
=
−
Vì
xlim (x( 3)+ 2) 3 2 1 0
→ − + = − + = − và ( 2 )
x ( 3)
lim+ x 9 0
→ − − = ; x2 – 9 < 0 khi x > –3
Nên
x ( 3)
lim f (x)+
→ − = +
Bài tập 6 trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính:
xlim x x x 1
xlim 2x 3x 5
→− − + − ;
xlim x 2x 5
→− − + ;
d)
2
x
lim
5 2x
→+
+ +
Lời giải:
xlim x x x 1
2 3 4 x
lim x 1
→+
4
xlim x
→+ = +
2 3 4
x
→+
xlim x x x 1
→+ − + − = +
2
x x
Trang 10Vì 3
xlim x
→− = − và 2
x
→−
− + − = −
x
lim x 2
→−
− + − = +
xlim x 2x 5
2 x
lim x 1
→−
lim | x | 1
→−
2 x
lim x 1
→−
Vì
xlim ( x)
x
→−
xlim x 2x 5
→− − + = +
d)
2
x
lim
5 2x
→+
+ +
−
2
2 x
1
x lim
5 2x
→+
+ +
=
−
2 x
1
x lim
5 2x
→+
=
−
2 x
1
x lim
5 2x
→+
=
−
2
x
1
x lim
5
x
→+
=
−
2 x
1
x lim
5 2 x
→+
=
−
1 1
1 2
+
−
Vậy
2 x
5 2x
→+
+ +
= −
Trang 11Bài tập 7 trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là
f Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính (h.54) Công thức thấu kính là 1 1 1
d + d ' = f
a) Tìm biểu thức xác định hàm số d'= (d)
b) Tìm
dlim (d)f+
→ ,
dlim (d)f−
→ và
dlim (d)
→+ Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được
Lời giải:
a) 1 1 1
d + d '= f 1 1 1
d' f d
d' fd
−
d f '
=
−
Vậy d ' (d) fd
d f
= =
− b)
+)
d f d f
fd lim (d) lim
d f
→ = →
−
dlim (fd)f+ f 0
→ = và
dlim (df+ f ) 0;d f+
−
dlim (d)f+
→
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực
Trang 12+)
d f d f
fd lim (d) lim
d f
→ = →
−
d f
lim (fd)− f 0
→ = và
d f
lim (d− f ) 0;d f−
−
dlim (d)f−
→
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực
+)
fd lim (d) lim
d f
→+ = →+
f
f 1 d
→+
−
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc với trục chính)