1 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập I LÝ THUYẾT 1 Hàm số lũy thừa + Khái niệm Hàm số y x= , với , được gọi là hàm số lũy thừa + Tập xác định Tập xác định của hàm số l[.]
Trang 11
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập
I LÝ THUYẾT
1 Hàm số lũy thừa
+ Khái niệm: Hàm số y= x, với , được gọi là hàm số lũy thừa
+ Tập xác định: Tập xác định của hàm số lũy thừa y=x tùy thuộc vào giá trị của
Cụ thể:
- Với nguyên dương, tập xác định là
- Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0
- Với không nguyên, tập xác định (0;+ )
+ Đạo hàm:
x = .x−
u u u −
+ Sự biến thiên của hàm số y= xtrong khoảng (0;+ )
Với > 0: Hàm số đồng biến trong khoảng (0;+ )
Với < 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+ )
+ Đồ thị hàm số y= xtrong khoảng (0;+ )
Đồ thị của hàm số lũy thừa y= x luôn đi qua điểm I(1,1)
2 Hàm số mũ
Hàm số có dạng x
y=a , 0 được gọi là hàm số mũ a 1 + Tập xác định: D =
+ Tập giá trị: T=(0;+ )
Trang 22
+ Sự biến thiên:
Khi a > 1 hàm số đồng biến trên khoảng (− + ; )
Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên khoảng (− + ; )
+ Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
+ Đạo hàm:
+ Bảng biến thiên và đồ thị:
Với: y=ax, (a > 1)
Bảng biến thiên
Đồ thị như hình sau
Với: y=ax, (0 < a < 1)
Bảng biến thiên
( )x x
a =a ln a.u
( )x x
e =e u
Trang 33
Đồ thị như hình sau
3 Hàm số logarit
Hàm số có dạng y=log xa (0 a 1)
Tập xác định: D=(0;+ )
Tập giá trị: T =
Đạo hàm:
1 log x
x ln a
log u
u ln a
=
(ln x) 1
x
= , x > 0; (ln u) u
u
=
Sự biến thiên: Khi a > 1 hàm số đồng biến trên khoảng (0;+ ),
Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+ )
Đồ thị:
Trang 44
Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng
II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
A Phương pháp giải
- Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa: y=u x( ),
Nếu +, hàm số xác định khi u(x)xác định
Nếu
0
−
=
, hàm số xác định khi u x( )0 Nếu , hàm số xác định khi u(x) > 0
- Tìm tập xác định của hàm số logarit:
Dựa vào định nghĩa logarit logab xác định a 0,a 1
B Ví dụ minh họa
Câu 1 Hàm số ( )1
2
y= x−2 có tập xác định là
A D=2;+ )
B D =
C D=(2;+ )
D D= \ 2
Lời giải Chọn C
Vì 1
2 không nguyên nên hàm số ( )1
2
y= x−2 xác định khi x− 2 0 x 2 Tập xác định của hàm số là D=(2;+ )
Trang 55
Câu 2.Cho hàm số 4
y= x− Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A Đồ thị hàm số có một trục đối xứng
B Đồ thị hàm số đi qua điểm(1,1)
C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận
D Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng
Lời giải Chọn D
* TXĐ: D= \ 0
Ta có:y x 4 14
x
−
= = − x D x D và ( )
x x
hàm số chẵn Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng A đúng
* Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1) nên Bđúng
* Ta có:
xlim y 0
→ = TCN: y = 0;
xlim y0+
→ = + TCĐ: x = 0
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận nên C đúng
Câu 3 Tập xác định của hàm số ( 2 ) 2019
y= x −5x+6 − là
A (−;2) ( 3;+ )
B.(2;3)
C R \ 2;3
D (−;2 3;+ )
Lời giải Chọn C
Vì -2019 là số nguyên âm nên hàm số ( 2 ) 2019
y= x −5x+6 − xác định khi
Câu 4.Tìm tập xác định của hàm số ( 2 ) 2
y= x − −x 2
A D =
B D= − − ( ; 1 2;+)
Trang 66
C D= − − ( ; 1) (2;+)
D D= \−1;2
Lời giải Chọn C
Vì 2 không nguyên nên hàm số ( 2 ) 2
y= x − −x 2 xác định khi:
−
TXĐ: D= − − ( ; 1) (2;+ )
Câu 5 Tập xác định của hàm số ( 3 )2
A D=(3;+ )
B D= \ 2
C
D D=3;+ )
Lời giải Chọn A
Vì
2
không nguyên nên hàm số đã cho xác định khi x3 −27 0 x3 27 x 3
Câu 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m −( 2018;2018) để hàm số
y= x −2x− +m 1 có tập xác định là D =
A 2017
B Vô số
C 2018
D 2016
Lời giải Chọn A
Trang 77
Vì 2018 không nguyên nên hàm số ( 2 ) 2018
y= x −2x− +m 1 có tập xác định là D = khi và chỉ khi 2
x −2x− + m 1 0, x 2
m −2018;2018 −m 2018;0 mà m nguyên nên m − 2017; 2016; ; 1− − Vậy
có 2017 giá trị nguyên của m
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y=log 2x 13( + )
A D ; 1
2
= − −
B D 1;
2
= +
C D=(0;+ )
D D 1;
2
= − +
Lời giải Chọn D
Hàm số y=log 2x 13( + ) có nghĩa khi 2x 1 0 x 1
2
+ − Vậy TXĐ là D 1;
2
= − +
Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số ( 2 )
3
y=log x +3x+2
A D = [-2, -1]
B D= − −( ; 2) ( − + 1; )
C D = (-2, -1)
D D= − − − + ( ; 2 1; )
Lời giải Chọn B
−
3
y=log x +3x+2
là: D= − −( ; 2) ( − + 1; )
Câu 9: Hàm số ( 2 )
2
y=log − +x 5x−6 có tập xác định là:
Trang 88
A (2, 3)
B (−;2) ( 3;+ )
C (−;2)
D (3; + )
Lời giải Chọn A
Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi − +x2 5x− 6 0 2 < x < 3
Kết luận Vậy tập xác định là (2; 3)
Câu 10: Tập xác định của hàm số y=ln x 1( − +) ln x 1( + ) là:
A (1;+ )
B (−; 2)
C
D 2 ;+ ).
Lời giải Chọn A
Kết luận: Vậy tập xác định D 1;
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số
A Phương pháp giải
Hàm số Đạo hàm của hàm đơn giản Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)
u = .u u −
a =a ln a
( )x x
e =e
( )u u
a =a ln a.u
( )u u
e =e u
Hàm số logarit ( a )
1 log x
x ln a
log u
u ln a
=
Trang 99
(ln x) 1
x
= , x > 0; (ln u) u
u
=
B Ví dụ minh họa
Câu 1 Tính đạo hàm của hàm số ( )3
y= x +1
A ( )1
3
B
1
4
3
x
4
C ( )1
2
3
2x
2
D ( )1
3x x +1
Lời giải Chọn D
Ta có
2
Câu 2 Cho hàm số ( 2 ) 3
y= 2x +4x 1+ Khi đó đạo hàm y’(0) bằng
A 4 3
B 0
C 12 3
D 28
Lời giải Chọn A
y x 3 4x 4 2x 4x 1 −
Câu 3 Cho hàm số ( ) 2
y= x+2 − Gọi y’’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y trên tập xác
định của hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng?
A 2y’’ – 3y = 0
B ( )2
y −4y=0
Trang 1010
C 2y’’ + 2y = 0
y −6y =0
Lời giải Chọn D
Ta có:
4
−
Suy ra
2 2
2
x
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số ( 2 )
2017
y=log x +1
A y 2x
2017
B
( 2 )
2x y
x 1 ln 2017
=
+
C
( 2 )
1 y
x 1 ln 2017
=
D
( 2 )
1
y
=
+
Lời giải Chọn B
2
x 1 ln 2017 x 1 ln 2017
+
Câu 5: Cho hàm số y=2xex +3sin 2x Khi đó y’(0) có giá trị bằng
A 8
B −4
C 2
D 5
Trang 1111
Lời giải Chọn A
x
y=2xe +3sin 2x
y=2 e +xe +6cos 2xy 0 =8
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số y=2 1 x−
A ln 2 1 x
2 1 x
−
−
=
B y ln 2 2 1 x
2 1 x
−
=
−
C
1 x
2
y
2 1 x
−
−
=
−
D
1 x
2
y
2 1 x
−
=
−
Lời giải Chọn A
y 2 ln 2 1 x 2 ln 2
2 1 x
− Hay
1 x
ln 2
2 1 x
−
−
=
−
Câu 7: Cho hàm số y=ex +e−x Tính y 1( )=?
A e 1
e
+
B e 1
e
−
C e 1
e
− +
D e 1
e
− −
Lời giải Chọn A
e
Trang 1212
Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số 6x 1
y=3 +
A 6x 2
y =3 + 2
y =(6x 1).3+
C y =36x 2+ 2ln 3
D y =36x 1+.ln 3
Lời giải Chọn C
y=3 + =y 6x 1+ 3 + ln 3= 6 3 + ln 3 3= + 2ln 3
Câu 9: Cho hàm số y ln 1
x 1
=
+ Hệ thức nào sau đây đúng?
A xy + =1 ey
B xey + =y 0
C xy +ey =1
D xey + =y 1
Lời giải Chọn A
1
x 1
+
Câu 10: Đạo hàm của hàm số ( ) ( 2 ) ( )
f x =ln x+ x +a +C a là : 0
A
2
1
x +a
B
2
1
x+ x +a
C x2+a
D x+ x2 +a
Lời giải Chọn A
Trang 1313
2
x 1
Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số
A Phương pháp giải
- Sự biến thiên của các hàm số: Áp dụng tính chất:
a) Hàm số lũy thừa y=xtrong khoảng (0;+ )
Với > 0: Hàm số đồng biến trong khoảng (0;+ )
Với < 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+ )
y=a a0,a1 Tập xác định: Nếu a > 1: hàm số luôn đồng biến
Nếu 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến
c) Hàm số logarit y=log x aa ( 0,a1) Tập xác định: (0; +)
Nếu a > 1: hàm số đồng biến (0; +)
Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến (0; +)
- Đồ thị của các hàm số
B1: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số
B2:
Đồ thị của hàm số lũy thừa y= x luôn đi qua điểm I(1,1)
Đồ thị hàm số mũ x
y=a đi qua điểm A( )1;a
Đồ thị hàm số y= loga xđi qua điểm B a( );1
B Ví dụ minh họa
Câu 1 Hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên tập xác định của nó:
A y=x 3
B y=x
C
3
2
y=x−
D y=x 5
Lời giải Chọn C
Trang 1414
y=x có tập xác định là (0;+ )và = 3> 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (0;+ )
Hàm số y=xcó tập xác định là (0;+ )và = > 0 nên hàm số đồng biến trong
khoảng (0;+ )
Hàm số
3 2
y=x− có tập xác định là (0;+ )và 3
2
= − < 0 nên hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+ )
Hàm số y=x 5có tập xác định là (0;+ )và = 5> 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (0;+ )
Câu 2 Cho ba hàm số y=x 3,
1 5
y=x , y= x−2 Khi đó đồ thị của ba hàm số 3
y=x , 1
5
y=x , y=x−2 lần lượt là
A (C3), (C2), (C1)
B (C2), (C3), (C1)
C (C2), (C1), (C3)
D (C1), (C3), (C2)
Lời giải Chọn B
Nhìn vào đồ thị (C1) ta thấy nó đi xuống từ trái sang phải Là đồ thị của hàm số nghịch biến nên nó là đồ thị của hàm số y=x−2
Vì 3 1 nên đồ thị của hàm số 3
y=x là (C2)
Do đó (C3) là đồ thị của hàm số
1 5
y=x ; Vậy đáp án là: B Câu 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
Trang 1515
A y=log 1 x2( − )
y=2017 −
2
y=log 3−x
D
x 1
3
y
2
+
=
Lời giải Chọn C
2
y =log 3−x có TXĐD= −( ;3)
, x 3
Câu 4: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A y log xe
B
3
y=log x
C y=log x2
D y=log x
Lời giải Chọn A
Xét hàm y log xe
Vì 0 e 1 nên y log xe
= là hàm nghịch biến trên tập xác định D
Câu 5: Cho hàm số
2
x 2 x 2
3 y 4
− +
= Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A Hàm số luôn đồng biến trên R
B Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (−;1)
Trang 1616
C Hàm số luôn đồng biến trên trên (−;1)
D Hàm số luôn nghịch biến trên R
Lời giải Chọn C
2
x 2 x 2
− +
= − ; y = =0 x 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có hàm số luôn đồng biến trên trên (−;1)
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( 2 ) ( )
y=ln 16x + −1 m 1 x+ + +m 2
nghịch biến trên khoảng (− ; )
A m − −( ; 3
B m3;+ )
C m − −( ; 3)
D m − 3;3
Lời giải Chọn B
y=ln 16x + −1 m 1 x+ + +m 2
2
32x
+
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi y 0, x
2
32x
Cách 1: 32x2 ( )
Trang 1717
2
−
−
TH: m= −1 thì ( )1 thành x nên 0 m= −1 không thỏa mãn
Cách 2: 32x2 ( )
2
32x
m 1
+ , x + m 1 max g x( ), với ( ) 32x2
g x
=
+
Ta có: ( )
2
2 2
g x
4
( )
xlim g x 0
→ = ; g 1 4
4
=
;
1
4
− = −
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có max g x( )=4
Do đó: m 1 4+ m 3
III BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tập xác định D của hàm số ( 2 ) 2
y= x −3x+2 là
A D= \ 1;2 B D= − − − + ( ; 1) ( 2; )
C D= −( ;1) ( 2;+ ) D D= \−1;2
Câu 2: Hàm số ( 2 ) x
y= x −2x+2 e có đạo hàm là
A ( ) x
2x+2 e B x e2 x C −2xex D ( ) x
2x−2 e
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y=2 1 x−
Trang 1818
A ln 2 1 x
2 1 x
−
−
=
1 x
ln 2
2 1 x
−
=
C
1 x
2
y
2 1 x
−
−
=
1 x
2 y
2 1 x
−
=
−
Câu 4: Đạo hàm của hàm số y=(2x2 −5x+2)ex là:
A xex B ( 2 ) x
2x − −x 3 e C 2x e2 x D ( ) x
4x−5 e
Câu 5: Tập xác định D của hàm số y=log log x3( 2 ) là
A D = B D=( )0;1 C D=(0;+ ) D D=(1;+ )
Câu 6: Cho hàm số y=log x2 2 Tìm khẳng định sai
A Hàm số đồng biến trên (0;+ ) B Hàm số nghịch biến trên (−;0)
C Hàm số có một điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu 7: Cho ba số a , b , c dương và khác 1 Các hàm số y=log xa , y=log xb , y=log xc
có đồ thị như hình vẽ sau
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A a c b B a b c C c b a D b c a
Câu 8: Tập xác định y 2x2 5x 2 ln 21
− là:
A D=(1; 2 B D= 1; 2 C D= −( 1;1) D D= −( 1;2)
Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm sốy log3 210 x
−
=
− +
A D= −( ;1) ( 2;10) B D=(1;+ )
C D= −( ;10) D D=(2;10)
Câu 10: Đạo hàm của hàm số ( 2 )
8
y=log x −3x−4 là:
Trang 1919
A
2x 3
x 3x 4 ln 8
−
2x 3
x 3x 4 ln 2
−
− −
C ( 2 )
2x 3
−
1
x −3x−4 ln 8
Câu 11: Đạo hàm của hàm số y=log 2sin x 1( − ) trên tập xác định là:
A y 2cos x
2sin x 1
−
=
2cos x
2sin x 1
=
−
C
( 2cos x)
2sin x 1 ln10
=
− D y (2sin x 1 ln102cos x) .
−
=
−
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y=ln 1( + x 1+ )
A
y
=
+ + + B
1 y
= + +
C
y
=
=
Bảng đáp án bài tập tự luyện
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A B D C A A A A C A