Bài 4 Hàm số mũ Hàm số logarit A Lý thuyết I Hàm số mũ 1 Định nghĩa Cho số thực dương a khác 1 Hàm số y = a x được gọi là hàm số mũ cơ số a Ví dụ 1 Các hàm số y = 2 x ; x x1 y ; y 3 2 [.]
Trang 1Bài 4 Hàm số mũ Hàm số logarit
A Lý thuyết
I Hàm số mũ
1 Định nghĩa
Cho số thực dương a khác 1
Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a
Ví dụ 1 Các hàm số y = 2x; x
x
1
2
là các hàm số mũ
2 Đạo hàm của hàm số mũ
Ta thừa nhận công thức:
t
t 0
t
– Định lí 1: Hàm số y = ex
có đạo hàm tại mọi x và (ex)’ = ex
– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số eu
( với u = u(x))
là (eu)’ = u’ eu
– Định lí 2: Hàm số y = ax
( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (ax)’ = ax
ln a
– Chú ý: Đối với hàm hợp y = au(x)
ta có: (au)’ = au lnu u’
Ví dụ 2 Hàm số y 2 x2 2x 10 có đạo hàm là:
y' 2 ( x 2x 10)'.ln 2 2 ( 2x 2)ln 2
3 Khảo sát hàm số mũ y = a x ( a > 0 và a ≠ 1)
y = ax ; a > 1 y = ax ; 0 < a < 1
Trang 21 Tập xác định:
2 Sự biến thiên
y’ = ax
.ln a > 0 với mọi x
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang
3 Bảng biến thiên:
4 Đồ thị
1 Tập xác định:
2 Sự biến thiên y’ = ax
.ln a < 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang
3 Bảng biến thiên:
4 Đồ thị
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a x ( a > 0; a ≠ 1)
Tập xác định ;
Đạo hàm y’ = ax
lna
Trang 3Chiều biến thiên a > 1: Hàm số luôn đồng biến
0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành
(y = ax > 0 x )
II Hàm số logarit
1 Định nghĩa
Cho số thực dương a khác 1
Hàm số y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a
Ví dụ 3 Các hàm số y = log5 x; 2 3
3
logarit với cơ số lần lượt là 5; 2; 3
3 và e
2 Đạo hàm của hàm số logarit
– Định lí 3 Hàm số y = loga x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và
a
1 (log x)'
x ln a
– Đặc biệt: (ln x)' 1
x
– Chú ý:
Đối với hàm hợp y = logau(x); ta có: (log u)'a u '
u ln a
– Ví dụ 4 Hàm số y = log4 (x2 + 2x – 7) có đạo hàm là:
2 2
(log (x 2x 7))'
(x 2x 7)ln 4 (x 2x 7)ln 4
3 Khảo sát hàm số logarit y = log a x ( a > 0; a ≠ 1)
y = loga x ; a > 1 y = logax ; 0 < a < 1
1 Tập xác định: (0;)
2 Sự biến thiên
1 Tập xác định: (0;)
2 Sự biến thiên
Trang 4x ln a
Giới hạn đặc biệt:
a
x 0
a
x
lim log x ;
lim log x
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng
3 Bảng biến thiên
4 Đồ thị
1
x ln a
Giới hạn đặc biệt:
a
x 0
a x
lim log x ; lim log x
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng
3 Bảng biến thiên
4 Đồ thị
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log a x (a > 0; a ≠ 1 )
Tập xác định 0;
y '
x ln a
Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến
0 < a< 1: hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Trục Oy là tiệm cận đứng
Trang 5Đồ thị Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải
trục tung
Nhận xét:
Đồ thị của các hàm số y = ax và y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x
Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit
1
' 2
1
x '
2 x
1
' 2
u '
u '
2 u
( ex)’ = ex
( ax)’ = ax
ln a
( eu)’ = eu u’
( au)’ = au ln a u’
1
ln x '
x 1 log x '
x ln a
u '
ln u '
u
u ' log u '
u ln a
B Bài tập tự luyện
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số
a) y = x.ex + 2x
b) y = 2x sinx + 4x + 2
c) y 5 (x2 2x 3).x2
Lời giải:
a) y’ = x’.ex
+ x (ex)’ + 2x
.ln2 y’ = ex
+ xex + 2x.ln2
b) y’ = (2x)’ sinx + 2x (sinx)’ + 4x+ 2.ln4 (x + 2)’
Trang 6= 2x ln2.sinx + 2x.cosx + 4x + 2.ln4
c)
y' 5 ln 5.(x 2x 3)'.x 5 (x )'
5 ln 5.(2x 2).x 2x.5
Bài 2 Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:
a) y = log4 (x2 – 4);
b) y = log3 (2x – x2);
c) ylog 3 x2 x
Lời giải:
a) Điều kiện: x2
– 4 > 0 x 2
b) Điều kiện: 2x – x2
> 0 hay 0 < x < 2 c) Điều kiện: x2
– x > 0 x 1
Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)y log2 x 2
x 1
;
b) ylog7 x2 8x;
c) yx log (x2 2 2 4)
Lời giải:
.ln2
x 1
b)
Trang 7 2
2
2
1
c)
3 2
1
2x