Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Hình học Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là[.]
Trang 1Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Hình học: Quan sát các cạnh tường
trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường thẳng Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không thể cùng thuộc một mặt phẳng
Lời giải:
Học sinh tự quan sát
Nhận thấy mép sàn nhà với tường và mép ở góc tường đối diện không thể cùng thuộc một mặt phẳng
Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ giác ABCD, chứng
minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này (h.2.29)
Lời giải:
Giả sử hai đường thẳng AB và CD không chéo nhau, nghĩa là tồn tại một mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng AB và CD
Khi đó:
( )
( )
AB
CD
suy ra
( ) ( )
A, B
C, D
Hay bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện
Vậy AB và CD chéo nhau
Các cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này: AC và BD, BC và AD
Trang 2Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho mặt phẳng (α) và (β)
Một mặt phẳng (γ) cắt (α) và (β) lần lượt theo các giao tuyến a và b Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của (α) và (β) (h.2.32)
Lời giải:
a và b cắt nhau tại I nên:
( )
I (vì a là giao tuyến của (α) và (γ)) a
( )
I b (vì a là giao tuyến của (β) và (γ))
Nên I là điểm chung của (α) và (β)
B Bài tập
Bài tập 1 trang 59 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q, R
và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì:
a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy;
b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy
Lời giải:
Trang 3Xét tam giác ABC có:
P là trung điểm AB (giả thuyết)
Q là trung điểm BC (giả thuyết)
Nên PQ là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra PQ // AC
Chứng minh tương tự ta cũng có: SR // AC
Do vậy PQ // SR hay P, Q, R, S đồng phẳng
a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S
Ta có:
=
Theo định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng, ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
b) Gọi (α) là mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S
Ta có:
=
Trang 4Theo định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng, ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
Bài tập 2 trang 59 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD và ba
điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây
a) PR song song với AC
b) PR cắt AC
Lời giải:
a) Ta có:
(ABC) (ADC) AC
(ABC) (PRQ) PR
(ADC) (PRQ) d
AC / /PR
suy ra AC // PR // d
Mà Q CD (ADC)
Q (PRQ)
Nên Qd hay d là đường thẳng đi qua Q và song song AC
Trong (ADC), qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại S
Vậy S AD= (PQR)
b)
Trang 5Gọi I là giao điểm của PR với AC
Ta có:
(ABC) (ADC) AC
(ABC) (PRQ) PR
(ADC) (PRQ) d
AC PR I
suy ra AC, PR, d đồng quy tại I
Trong (ADC), kéo dài IQ cắt AD tại S
Khi đó S AD
S (PQR)
Vậy S AD= (PQR)
Bài tập 3 trang 60 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD);
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’ Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N;
c) Chứng minh GA = 3GA’
Lời giải:
Trang 6a) Trong mặt phẳng (ABN) gọi A’ là giao điểm của BN và AG
Ta có A ' AG
A ' BN (BCD)
suy ra A’ AG (BCD)=
b) Ta có:
MM ' AA '
AA ' (ABN)
M AB ABN
∥
Suy ra MM '(ABN)
Suy ra ( )
M ' ABN
M ' BCD
Suy ra M '(ABN) ( BCD)=BN
Mà A’ cũng thuộc BN nên M’, A’, B thẳng hàng (cùng nằm trên BN) Xét tam giác NMM’ có:
G là trung điểm của NM
GA’// MM’
Suy ra A’ là trung điểm của NM’ (1)
Xét tam giác BAA’ có:
Trang 7M là trung điểm của AB
MM’//AA’
Suy ra M’ là trung điểm của BA’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM’ = M’A’ = A’N
c) Ta có MM ' 1AA '
2
=
GA ' MM ' AA ' AA '
GA AA ' GA ' AA ' AA ' AA '
Suy ra
1
AA '
GA ' 4 1
3
GA AA ' 3
4
Vậy GA = 3GA’