Toán 12 bài 2 cực trị của hàm số

Bài 2 Cực trị của hàm số Hoạt động 1 trang 13 Toán lớp 12 Giải tích Dựa vào đồ thị (H 7, H 8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) a) y = x2 + 1 trong khoảng ( ∞;[.]

Bài 2 Cực trị của hàm số Hoạt động 1 trang 13 Toán lớp 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy

chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) x 2

3

  trong các khoảng 1 3;

2 2

  và

3

;4 2

 

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây

Lời giải:

Quan sát các đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4

3

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0

Xét dấu đạo hàm:

Hoạt động 2 trang 14 Toán lớp 12 Giải tích: Giả sử f(x) đạt cực đại tại x0 Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ

số f x 0 x  f x0

x

  

 khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0

Lời giải:

+ Với Δx > 0, ta có:  0   0  

0

x 0

x





 

 

+ Với Δx < 0, ta có:  0   0  

0

x 0

x





 

  



 

Do đó:  0   0  

0

x 0

x

 

  



 

Vậy f’(x0) = 0

Hoạt động 3 trang 14 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không

• y = -2x + 1;

• x 2

3

  (H.8)

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm

Lời giải:

a, Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị (vì đồ thị của hàm số là một đường thẳng) Quan sát Hình 8, ta thấy hàm số x 2

3

  đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau

Hoạt động 4 trang 16 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y = |x| không

có đạo hàm tại x = 0 Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Ta có: y |x | x khi x 0

x khi x 0







Khi đó: y 1 khi x 0

1 khi x 0







Lại có:

xlim y0 1; lim yx 0 1

     hay

xlim y0 xlim y0

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|

Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0

Hoạt động 5 trang 16 Toán lớp 12 Giải tích: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các

điểm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 – 3)

Lời giải:

1 TXĐ: D =

Ta có: f(x) = x(x2 – 3) = x3 – 3x

Khi đó: f’(x) = (x3 – 3x)' = 3x2 – 3

2 Cho f’(x) = 0 3x2 – 3 = 0 x2 – 1 = 0 x 1





   

3 Ta có bảng biến thiên:

4 Từ bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2

Bài tập

Bài 1 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10;

b) y = x4 + 2x2 – 3;

c) y x 1

x

  ;

d) y = x3 (1 – x2);

e) y x2 x 1

Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta có: y' = 6x2 + 6x – 36

y' = 0 6x2 + 6x – 36 = 0 x 2





    Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54

b) TXĐ: D =

Ta có: y' = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1)

y' = 0 4x(x2 + 1) = 0  x = 0 (do x2 + 1 > 0 với mọi x) Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

hàm số không có điểm cực đại

c) TXĐ: D = \ {0}

Ta có: y 1 12

x

  

y' = 0 1 12 0 x2 1

x

      x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2

d) TXĐ: D =

Ta có: y' = (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’

= 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x2(1 – x)2 – 2x3(1 – x)

= x2.(1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3

5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 3

5

 , giá trị cực đại là yCĐ = 108

3125

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là yCT = 0

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm

không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D =

Ta có:

2

2x 1 y

2 x x 1



 

 

Có y' = 0 2x 1 0 x 1

2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

2, giá trị cực tiếu yCT = 3

2

Bài 2 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm

cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1;

b) y = sin2x – x;

c) y = sinx + cosx;

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta có: y' = 4x3 - 4x

Có y' = 0 4x(x2 – 1) = 0  x = 0 hoặc x = ±1

Lại có: y" = 12x2 - 4

y"(0) = -4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số

y"(1) = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

y"(-1) = 8 > 0 nên x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số

b) TXĐ: D =

Ta có: y' = 2cos2x – 1;

Có y' = 0 2cos2x – 1 = 0

 cos 2x = 1

2

 2x = k2 k 

3



 x = k k 

6



Lại có: y" = -4.sin2x

       

3 4sin 4 2 3 0



       với k

Do đó: x = k k 

6

là các điểm cực đại của hàm số

Lại có: y k 4sin k2

         

3



Do đó: x = k k 

6



c) TXĐ: D =

Ta có: y’ = cos x – sin x

Có y' = 0 cos x – sin x = 0

2 cos x 0

4



4 2

 

4



Lại có: y'' = – sin x – cos x 2cos x

4



Ta có:

         

2 cos k

   2 khi k le

2 khi k chan



 





Do đó: hàm số đại cực đại tại các điểm x k2 k 

4



    và đạt cực tiểu tại

các điểm x 2k 1 k 

4



d) TXĐ: D =

Ta có: y' = 5x4 – 3x2 – 2

Có y' = 0  5x4 – 3x2 – 2 = 0

 

 

2

2

2

5







  

Lại có: y" = 20x3 – 6x

Do y"(– 1) = – 20 + 6 = –14 < 0

Nên x = – 1 là điểm cực đại của hàm số

Do y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

Nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:Chứng minh rằng hàm số y | x | không

có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

Lời giải:

Hàm số y | x | có tập xác định D = và liên tục trên

+ Chứng minh hàm số yf x  | x | không có đạo hàm tại x = 0

Xét giới hạn      

f x f 0 f x





 



 

      

Suy ra không tồn tại giới hạn    

x 0

f x f 0

x 0





 Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa)

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với mọi x thuộc (-1; 1) và x ≠ 0

Do đó hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0

Bài 4 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham

số m, hàm số

y = x3 – mx2 – 2x + 1

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Lời giải:

TXĐ: D =

Ta có: y' = 3x2 – 2mx – 2

y' = 0 3x2 – 2mx – 2 = 0

2

2

x

3

x

3









 



Lại có: y'' = 6x – 2m

Do

2

2 m 6 0 m

Nên

2

x

3

 là một điểm cực đại của hàm số

Do

2

2 m 6 0 m

Nên

2

x

3

 là một điểm cực tiểu của hàm số

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi m

Bài 5 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm a và b để các cực trị của hàm số

y = 5a x2 3 2ax2 9x b

đều là nhưng số dương và x0 = 5

9

 là điểm cực đại

Lời giải:

TXĐ: D =

Ta có: y' = 5a2x2 + 4ax – 9

Suy ra y'' = 10a2x + 4a

- Nếu a = 0 thì y' = – 9 < 0 với mọi số thực x

Do đó hàm số không có cực trị (loại)

- Nếu a ≠ 0

y' = 0  5a2x2 + 4ax – 9 = 0

 5 (ax)2 + 4 ax – 9 = 0



ax 1

9 ax

5





 



1 x a 9 x 5a

 



 



 



Có f 1 10a 2 1 4a 14a

 

 

f 9 10a 2 9 4a 14a

+ TH1: x 1

a

 là điểm cực đại

Khi đó

9 a

a 9

5 14a 0



 





Suy ra x 9

5a



 là điểm cực tiểu

Khi đó: yCĐ = f 1 80 b

a 27

   

 

 

yCT = f 9 36 b

5a 5

Các cực trị của hàm số đều dương nên 80

b 0

36

b 0

5





TH2: x 9

5a



 là điểm cực đại

Khi đó:

81 a 5a 9

25 14a 0





Suy ra x 1

a

 là điểm cực tiểu

Khi đó: yCĐ = f 9 4 b

5a



   

yCT = f 1 400 b

a 243



 

  Các cực trị của hàm số đều dương nên

4 b 0

400 b

400

243

b 0

243

 





Vậy

9

a

5

36

b

5



 





 



hoặc

81 a 25 400 b

243

 





 



là các giá trị cần tìm

Bài 6 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Xác định giá trị của tham số m để hàm

số m để hàm số

2

y



 đạt giá trị cực đại tại x = 2

Lời giải:

TXĐ: D = \ m

Ta có:

2

y





x

Suy ra

 2

1

y 1

x m

  



Có y' = 0

 2

1

x m



 2

 x m 1

  



   



Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = – m – 1

Để hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên – m – 1 = 2  m = – 3 Vậy m = – 3