Chuyên đề phương trình bậc hai với hệ số thực (2022) toán 12

Chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12 A Lý thuyết 1 Căn bậc hai của số thực âm Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i2 = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là[.]

Chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực - Toán 12

A Lý thuyết

1 Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i2 = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)2 = –1

Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn

Căn bậc hai của –16 là ±4i vì (±4i)2=−16

Căn bậc hai của –5 là ±  5i vì ±   =−5

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a; b ; c∈ℝ; a  ≠  0

Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac của phương trình Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là Khi đó, phương trình

có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n (n≥1):

a0.xn + a1.xn – 1 + ….+ an–1.x + an = 0

Trong đó; a0 ; a1;… ; an∈ℂ;  a0  ≠0đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt)

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Phương trình z2 + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là

A 2 ± i

B -2 ± i

C 4 ± i

D -4 ± i

Lời giải:

Ta có: Δ' = 22 - 1.5 = -1 = i2 Phương trình có hai nghiệm là:

Bài 2: Phương trình z2 + 8z + 17 = 0 có hai nghiệm

A 1 - i và 1 - 2i

B 4 - i và 4 + i

C -4 - i và -4 + i

D -2 + 2i và -2 + 4i

Lời giải:

Ta có: Δ = 16 - 17 = -1 = i2 Phương trình có các nghiệm là:

z1 = -4 - i, z2 = -4 + i

Bài 3 : Phương trình z2 - 4z + 9 = 0 có hai nghiệm Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng

A – 6

B 6

C 8

Lời giải:

Ta có: Δ' = 4 - 9 = -5 = 5i2 Phương trình có hai nghiệm là:

z1,2 =

Vậy T =

Bài 4: Phương trình z4 + 3z2 - 4 = 0 có 4 nghiệm phức z1, z2, z3, z4 Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| bằng

A 6

Lời giải:

Ta có

⇒ |z1| = |z2| = 1; |z3| = |z4| = 2

Vậy T = 1 + 1 + 2 + 2 = 6

Bài 5: Số phức z thỏa mãn

Giá trị biểu thức

A 1

B 2

C 3

D 3672

Lời giải:

Ta có:

Xét phương trình (1): Ta có: Δ = - 4.1.1 = -1 = i2

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

Do đó

Ta có:

Vậy T = 1 + 1 = 2

Bài 6: Phương trình z2 -az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = 1 + i khi

A a = 2, b = -2

B a = 2, b = 2

C a = -2, b = 2

D a = -2, b = -2

Lời giải:

Thay z = 1 + i vào phương trình đã cho ta có:

Chọn đáp án B

Bài 7: Phương trình 2z2 + 4z + 5 = 0 có các nghiệm là

Lời giải:

Ta có: Δ' = 4 - 10 = -6 = 6i2

Phương trình đã cho có các nghiệm là

Chọn đáp án C

Bài 8: Phương trình z2 - z + 1 = 0 có hai nghiệm là

Lời giải:

Ta có: Δ = 12 - 4 = -3 = 3i2

Các nghiệm của phương trình đã cho là

Chọn đáp án A

Bài 9: Để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z1 = -4 + 2i và z2 = -4 - 2i làm nghiệm thì

A b = -8, c = 20

B b = -8, c = -20

C b = 8, c = 20

D b = 8, c = 20

Lời giải:

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Để phương trình đã cho nhận z1, z2 làm nghiệm thì

Chọn đáp án D

Bài 10: Phương trình z2 + 6z + 15 = 0 có các nghiệm là z1, z2.Giá trị biểu thức T =

|z1| + |z2| bằng:

B 6

Lời giải:

Ta có:Δ' = 9 - 15 = -6 = 6i2

Các nghiệm của phương trình là

Do đó

Chọn đáp án A

II Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Phương trình z1 = 1 + 2i, z2 = 2 - 3i có nghiệm là z = 2 + i khi

A a = 1, b = 4

B a = -1, b = 4

C a = -1, b = -4

D a = 1, b = -4

Lời giải:

Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:

Bài 2: Phương trình (1 + i)2 = -7 + i có các nghiệm là?

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

Viết -3 + 4i = 4i2 + 4i + 1 = (2i + 1)2, ta có: z2 = (2i + 1)2 <=> z = ±(2i + 1)

Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)2 gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b

∈ R) Ta có :

(a + bi)2 = -3 + 4i <=> a2 - b2 + 2abi = -3 + 4i

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Vì a ∈ R và a2 ≥ 0 nên a2 = 1 hay a = ±1 Từ đó ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i và

z2 = 1 + 2i

Câu 3: Phương trình z2 -az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = 1 + i khi

Lời giải:

Thay z = 1 + i vào phương trình đã cho ta có:

Câu 4: Phương trình 2z2 + 4z + 5 = 0 có các nghiệm là?

Lời giải:

Ta có: Δ' = 4 - 10 = -6 = 6i2

Phương trình đã cho có các nghiệm là

Chọn đáp án C

Câu 5: Phương trình z2 - z + 1 = 0 có hai nghiệm là?

Lời giải:

Ta có: Δ = 12 - 4 = -3 = 3i2

Các nghiệm của phương trình đã cho là

Câu 6: Để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z1 = -4 + 2i và z2 = -4 - 2i làm nghiệm thì?

Lời giải:

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Để phương trình đã cho nhận z1, z2 làm nghiệm thì

Câu 7: Phương trình z2 + 6z + 15 = 0 có các nghiệm là z1, z2.Giá trị biểu thức T =

|z1| + |z2| bằng?

Lời giải:

Ta có:Δ' = 9 - 15 = -6 = 6i2

Các nghiệm của phương trình là

Do đó

Câu 8: Phương trình z1 = 1 + 2i, z2 = 2 - 3i có nghiệm là z = 2 + i khi

Lời giải:

Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:

Câu 9: Phương trình (1 + i)2 = -7 + i có các nghiệm là

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

Viết -3 + 4i = 4i2 + 4i + 1 = (2i + 1)2, ta có: z2 = (2i + 1)2 <=> z = ±(2i + 1)

Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)2 gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b

∈ R) Ta có :

(a + bi)2 = -3 + 4i <=> a2 - b2 + 2abi = -3 + 4i

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Vì a ∈ R và a2 ≥ 0 nên a2 = 1 hay a = ±1 Từ đó ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i và

z2 = 1 + 2i

Câu 10: Phương trình z2 + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là

Lời giải:

Ta có: Δ' = 22 - 1.5 = -1 = i2 Phương trình có hai nghiệm là:

III Bài tập vận dụng

Bài 1 Phương trình z2 + 8z + 17 = 0 có hai nghiệm là?

Bài 2 Phương trình z2 - 4z + 9 = 0 có hai nghiệm Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng?

Bài 3 Phương trình z4 + 3z2 - 4 = 0 có 4 nghiệm phức z1, z2, z3, z4 Giá trị biểu thức

T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| bằng?

Bài 4 Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?

Bài 5 Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7;-8;-12;-20;-121

Bài 6 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z2 + 2z - 1 = 0

b) 7z2 + 3z + 2 = 0

c) 5z2 - 7z + 11 = 0

Bài 7 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z4 + z2 - 6 = 0

b) z4 + 7z2 + 10 = 0

Bài 8 Cho a, b, c ∈R,a ≠ 0,z1 , z2 là hai nghiệm phân biệt ( thực hoặc phức) của phương trình ax2+bx+c=0 Hãy tính z1+z2 và z1.z2 theo hệ số a, b, c

Bài 9 Cho z = a + bi là một số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z− làm nghiệm

Bài 10 Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i