toán kỹ thuật,dhbkhcm

toán kỹ thuật,dhbkhcm ►I Chuỗi Fourier II Biến đổi Fourier Phần 1 Giải tích Fourier Created and edited by Nguyen Phuoc Bao Duy s CuuDuongThanCong com https fb comtailieudientucntt http cuuduongth.toán kỹ thuật,dhbkhcm ►I Chuỗi Fourier II Biến đổi Fourier Phần 1 Giải tích Fourier Created and edited by Nguyen Phuoc Bao Duy s CuuDuongThanCong com https fb comtailieudientucntt http cuuduongth.

Trang 1

►I Chuỗi Fourier

II Biến đổi Fourier

Phần 1:

Giải tích Fourier

s

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 2

Chuỗi Fourier:

1 Khai triển chuỗi Fourier

 Khái niệm hàm tuần hoàn

 Dạng lượng giác của chuỗi Fourier

 Hàm chẵn và hàm lẽ

 Công thức lặp để tính các hệ số

 Hàm xác định trong một thời gian giới hạn

2 Dạng phức của chuỗi Fourier

3 Phổ tần số rời rạc

Trang 3

a Hàm tuần hoàn:

Hàm f(t) gọi là hàm tuần hoàn nếu giá trị của nó

được lặp lại sau một khoảng thời gian xác định:

T: chu kỳ, 0

2 

T f(t) = f(t + T)

Trang 4

b Dạng lượng giác của chuỗi Fourier:

Nếu f(t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T, khi đó:

d: một hằng số bất kỳ, thông thường chọn d = 0 hoặc –T/2.

0

1 0

0

2 2

Trang 5

Ví dụ 1.01:

Dùng công thức Euler để tính a n , b n:

0 ( )

Trang 7

3 (0 1)

cos 1

3 (1 2) ( 2) ( )

Trang 8

Ví dụ 1.04:

2 0

Trang 9

0 0

2 4

n n

2

2 3

Trang 10

n n

1 2

Trang 11

d Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

Trong đó:

t k : điểm gián đoạn của f(t) trong một chu kỳ [d; d + T)

J k = f(t k +) – f(t k -): bước nhảy tại t k

0 1

0

0 1

Trang 12

d Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

a, t 1 , t 2 : các điểm gián đoạn của f(t) trong đoạn [a; b)

Trang 13

f t

t t

Trang 14

n b

Trang 16

e Hàm xác định trong một khoảng giới hạn

Nếu f(t) chỉ tồn tại (khác 0) trong khoảng 0 ≤ t < , thì

rõ ràng nó không phải là hàm tuần hoàn, nên không tồntại chuỗi Fourier

Trong trường hợp này, chúng ta lập hàm tuần hoàn

mở rộng của f(t) để từ đó tìm chuỗi Fourier của f(t)

nhưng chỉ trong khoảng [0,  ).

i Chuỗi toàn kỳ (chuỗi bao gồm cả thành phần cosin vàsin)

Chúng ta định nghĩa hàm tuần hòa mở rộng (t) của

Trang 17

Hàm tuần hoàn (t) với chu kỳ  sẽ có khai triển

chuỗi Fourier, và chuỗi này sẽ bằng f(t) trong khoảng [0,

) (nếu ngoài khoảng này, f(t) không xác định, hoặc xác

định bằng 0, nhưng chuỗi vẫn tồn tại và khác 0)

Ví dụ 1.10: Tìm khai triển chuỗi Fourier toàn kỳ của:

Trang 18

Định nghĩa hàm tuần hoàn (t) bởi:

Trang 19

ii Chuỗi Fourier bán kỳ cosin và sin

Ta xác định hàm tuần hoàn mở rộng chẵn F(t) và hàm tuần hoàn mở rộng lẽ G(t) của f(t) bởi:

( ) (0 ) ( )

( ) ( 0) ( 2 ) ( )

Trang 20

 Với hàm tuần hoàn mở rộng chẵn, ta khai triển được

chuỗi Fourier bán kỳ cosin.

 Với hàm tuần hoàn mở rộng lẽ, ta khai triển được

chuỗi Fourier bán kỳ sin.

Ví dụ 1.11: Tìm khai triễn chuổi Fourier bán kỳ cosin

và chuỗi Fourier bán kỳ sin của hàm:

Trang 21

2 1

n n

Trang 23

Từ chuỗi Fourier dạng lượng giác:

Thay thế:

Khi đó (*) trở thàn chuỗi Fourier phức:

c n còn có thể tính theo cách khác (nếu đã biết a n , b n):

Trang 24

Ví dụ 1.12: Tìm chuỗi Fourier phức:

Giải:

2 0 2

0

1

;( 0) 2

1 2 ( )

jnt n

jnt

n n

Trang 25

Ví dụ 1.12 (tt):

Ở ví dụ 1.02 ta đã tìm được chuỗi Fourier lượng giác:

c n có thể tính được từ a 0 , a n và b n như sau:

0 1

Trang 26

jn t

n n

Trang 29

Dạng sóng hài của chuỗi Fourier:

2 n n n

a

A  A  a  b Biên độ của sóng hài bậc n

Pha của sóng hài

Chuỗi Fourier cosin

Chuỗi Fourier sin

Trang 30

Phổ tần số rời rạc thực:

Với chuỗi Fourier cosin, ta có phổ như sau:

Đối với chuỗi Fourier sin: α n được thay bởi β n

Trang 32

Phổ tần số rời rạc phức:

Phổ biên độ phức

Phổ pha phức

Trang 33

jn t

n n

Trang 34

Phổ biên độ phức

Phổ pha phức

Ví dụ 1.15 (tt):

Trang 35

Ví dụ 1.15 (tt):

Chuỗi Fourier lượng giác của f(t):

Biến đổi về dạng sóng hài sin:

Trang 36

Ví dụ 1.15 (tt):

Phổ tần số rời rạc thực (ứng với chuỗi

Fourier sóng hài sin)

Trang 37

Ví dụ 1.15 (cont):

Quay lại chuỗi Fourier lượng giác của f(t):

Biến đổi về dạng sóng hài cosin:

Trang 38

Ví dụ 1.15 (tt):

Phổ tần số rời rạc thực (ứng với chuỗi

Fourier sóng hài cosin)

Trang 39

François Marie Charles Fourier

Born: 7 April 1772

Besançon, France

Died: 10 October 1837 (aged 65)

Paris, France

Fourier was a French

philosopher Some of Fourier's

social and moral views, held to be

radical in his lifetime, have become

mainstream thinking in modern

society Fourier is, for instance,

credited with having originated the

word feminism in 1837

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	1,28 MB