toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm Chương Chương 2 T2 Tíích phân Fourier bich phân Fourier biếến ñn ñổổi Fourier i Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 � 2 1 Tích phân Fourier � 2 2 Phép biến ñổi Fou.toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm Chương Chương 2 T2 Tíích phân Fourier bich phân Fourier biếến ñn ñổổi Fourier i Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 � 2 1 Tích phân Fourier � 2 2 Phép biến ñổi Fou.
Trang 1Chương 2 Tích phân Fourier & biến ñổi Fourier
2.1 Tích phân Fourier
2.2 Phép biến ñổi Fourier
2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến ñổi Fourier
2.4 Các hàm bất thường và biến ñổi Fourier của chúng
Trang 2Hàm tuần hoàn
2.1 Tích phân Fourier
Hàm chỉ xác ñịnh
trên khoảng kín
Chuỗi Fourier
Hàm không tuần hoàn
Chuỗi Fourier
Tích phân Fourier
Trang 3Khác biệt giữa hàm tuần hoàn và không tuần hoàn ?
Chu kỳ T hữu hạn và vô hạn
2.1.1 Tích phân Fourier
→ ∞
T
T/2
-T
f(t)
T/2 -T/2
f(t)
f(t)
Trang 4Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞)
2.1.1 Tích phân Fourier
Ta sẽ bắt ñầu từ fΤ(t)
→ ∞
T
f(t)
T/2 -T/2
fT(t)
t
Dễ thấy rằng f t( ) = lim f t( )
Trang 5Hàm tuần hoàn fT(t)
có ñịnh nghĩa trong
1 chu kỳ là
2.1.1 Tích phân Fourier
− < < −
= − < <
< <
2
2
T
T
T
t
t
fT(t) có khai triển Fourier là :
ω
ω
sin( )
2
T/2 -T/2
fT(t)
1 -1
1
t
Trang 6( )
A
ω
π
2
ω 2 ω
0 0
n
n
n a
ω
2.1.1 Tích phân Fourier
ω ω
=
∆ =
0
0
n n
ðặt
ðịnh nghĩa hàm biên ñộ
ω π
ω
ω
ω
π ω
=
=
2
0 ( )
2 sin
0
A
ω
ω =
sin( )
sinc( )=Sa( )
Trang 7( )
A
ω
π
2
ω0 2 ω0
2.1.1 Tích phân Fourier
Chu kỳ T kéo dài → các vạch (ñặc trưng cho biên ñộ ) chạy dồn về trục tung trên ñường biên ñộ A(ω)
Trang 8n
n
ω
= ∆
2.1.1 Tích phân Fourier
Viết lại fT(t)
ω
ω ω
+∞
=
0
sin( )
T
n
n
ω
ω
π
+∞
= +∞
=
∆
∑
∑ 1
1
sin( )
2
1 ( ) ( ){cos( )}
n
n
Trang 92.1.1 Tích phân Fourier
Nếu xét t cố ñịnh và biến ω thay ñổi ta có: T → ∞ ; ω → 0
+∞
→∞
0
( ) lim T ( ) ( ) cos( )
T
ω
ω
π
+∞
= +∞
=
∆
∑
∑ 1
1
sin( )
2
1 ( ) ( ){cos( )}
n
n
Tích phân Fourier
Trang 102.1.1 Tích phân Fourier
Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ
ta ñược tích phân Fourier mũ phức
ω
• +∞
=−∞
= ∑ 0
( ) jn t
n
f t D e • − ω
−
2
1
( )
T
T
jn t n
D f t e dt
T
ω π
+∞
−
2
1
2
T
T
T
n
ω
+∞
→∞
−∞
T
f t f t D e d
Trang 11ðịnh lý :
Nếu f(t) thỏa ñiều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn
và nếu hội tụ thì:
2.1.1 Tích phân Fourier
|f(t)|dt
∞
−∞
∫
Trang 12Tích phân Fourier mũ phức
ω
+∞
−∞
= ∫
( ) ( ) j t
ω
ω
π
+∞
−
−∞
2
j t
D f t e dt
Miền t:
f(t)
Miền ω:
F(ω)
F
−1
Trang 13Tương ñồng giữa chuỗi phức và tích phân phức
Chuỗi Fourier phức
Tích phân Fourier phức
ω
+∞
=−∞
•
−
∑
∫2
0
1 T
T
n
n
D n
dt T
ω
ω ω π
+∞
−∞
+∞
−∞
∫
∫
( )
1 2
d D
dt
Trang 14Ví dụ tích phân Fourier mũ phức
Cho hàm f(t) ñịnh nghĩa bởi
Tìm tích phân Fourier mũ phức
biểu diễn cho f(t) ?
0
at
t
e− t
<
>
( )
0 0
( ) ( )
a j
ω
+∞
−∞
−
+
1
j t
e
ω
+∞
Giải
Trang 152.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn
1
π
+ ∞
− ∞
Nếu ñịnh nghĩa
Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là
1
π
+ ∞
− ∞
0
( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )
+∞
Trang 16Ví dụ tích phân Fourier dạng chuẩn
Tìm tích phân Fourier
dạng chuẩn của f(t) ?
0
at
t
e− t
<
>
a
ω
0
+∞
∫
cos sin ( )
a
ω
+∞
+
+
∫
Giải
Trang 172.1.3 Tích phân Fourier cos và sin
0
2
π
+ ∞
Nếu f(t) chẵn
Thì tích phân Fourier cos là
0
( ) ( ) cos( )
+∞
= ∫
Trang 182.1.3 Tích phân Fourier cos và sin
0
2
π
+ ∞
Nếu f(t) lẻ
Thì tích phân Fourier sin là
0
( ) ( ) sin( )
+∞
= ∫
Trang 192.1.3 Tích phân Fourier cos và sin
ðịnh lý
Nếu hàm f(t) = 0 khi t < 0 thì tích phân Fourier cos và tích phân Fourier sin lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn
Gợi ý :Thêm hàm ϕ(t) ñể f(t) thành chẵn hoặc lẻ
Trang 20Ví dụ tích phân Fourier cos và Fourier sin
Tìm tích phân Fourier
cos , fourier sin của f(t) ?
0
at
t
e− t
<
>
0
( )
a
ω
+∞
+
=
+
∫
Giải
2 cos ( )
a
ω
ω
+∞
=
+
∫
0
2 sin ( )
t
a
ω
+∞
=
+
∫