toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm Chương 1 Chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1 1 Hàm tuần hoàn 1 2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 1 3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier 1 4 K.
Trang 1Chương 1 Chuỗi Fourier
1.4 Khai triển bán kỳ
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
Trang 2 Hàm tuần hoàn đối xứng chẵn f t ( ) = f ( − t )
2
0
0 2
0 0
4
( )
4
0
T
T
n
n
T
T b
ω
=
=
=
∫
∫
1.4 Khai tri ển bán kỳ cho f(t) đối xứng
Trang 3Chu ỗi Fourier côsin
Định lý 1.7:
0
0 1
2 n n
a
=
= + ∑
n
1.4 Khai tri ển bán kỳ cho f(t) đối xứng
Trang 4 Hàm tuần hoàn đối xứng lẻ f t ( ) = − − f ( t )
0
2
0 0
0 0
4
n
T
n
a a
=
=
1.4 Khai tri ển bán kỳ cho f(t) đối xứng
Trang 5Chu ỗi Fourier Sin
Định lý 1.8:
chuỗi Fourier của nó có dạng:
0 1
( ) n sin( )
n
=
= ∑
1.4 Khai tri ển bán kỳ cho f(t) đối xứng
2
0
4
T
n
Trang 6 Hàm tuần hoàn đối xứng nửa sóng ( )
2
T
f t = − f t ±
0
2
0 0
2
0
0
4
4
T n
T n
a
n k
a
f t n t dt n k T
n k
b
f t n t dt n k T
ω
ω
=
=
=
=
=
∫
∫
1.4 Khai tri ển bán kỳ cho f(t) đối xứng
Trang 7 Định lý :
1 ( 2 1)
( ) n cos( ) n sin( )
n
n k
=
= +
2
0
4
T
n
2
0
4
T
n
1.4 Khai tri ển bán kỳ cho f(t) đối xứng
Trang 8D ời trục tọa độ
f(t)
t
t t
t t
τ
h
g(t)
t
f t = ± + h g t ± τ
Trang 9Ví d ụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng
Ta biểu diễn f(t) theo g(t):
Giải
Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + π
( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π) Xác định
chuỗi Fourier biểu diễn cho f(t) ?
f(t) = π + g(t)
T = 2π; ω0 = 1; g(t) = t (0 < t < π)
Trang 10Ví d ụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng
tcos(n ω t) sin(nω t)
∫
π
1
n
∞
=
Trang 111.4.3 Chu ỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Xét hàm f(t) ch ỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]
Ta c ần tìm khai triển Fourier của f(t)
M ở rộng hàm f(t) thành hàm
F(t) tu ần hoàn
2
2
( ) ( )
T
T
ϕ − < <
Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng
h ội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]
Ch ọn ϕ(t) ?
Ch ọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm ch ẵn
Ch ọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm l ẻ
Trang 121.4.3 Chu ỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Định lý 1.9:
N ếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành :
0
0 1
2 n n
a
=
= + ∑
0
( ) n sin( )
f t = ∑+∞ b n ω t
Ho ặc thành chuỗi Fourier sin
Chu ỗi Fourier côsin
Trang 13Ví d ụ khai triển bán kỳ
Cho hàm f(t) định nghĩa bởi
f(t)= t+2 ( 0 < t < 2)
Xác định chuỗi Fourier sin biểu
di ễn cho f(t)
Thi ết lập hàm lẻ F(t)
Xác định hệ số bn
f(t)
t
2
2
4
t
2
2
4
4
-4
4
n
π
Chu ỗi Fourier sin của f(t)
( ) sin sin 2 sin 3 sin 4
Trang 141.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
Chu ỗi Fourier dạng sóng hài
1
n
f t C +∞ C n ω t α
=
1
n
f t C +∞ C n ω t β
=
0
2
;
a
C C a b
arctg arctg
Trang 151.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
Chu ỗi Fourier dạng mũ phức ( ) n jn 0t
n
f t D e ω
=−∞
0
2
n
a
D C
a jb C D
a jb C
α
α
•
•
−
= =
−
+
2
0
2
1
( )
T
T
jn t n
D f t e dt
T
ω
•
−
−
số của khai triển
lượng giác và khai
triển hài
Trang 161.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
Ph ổ biên độ của hàm f(t)
0
n
f t D e
D D
ω
α
=−∞
•
=
∑
Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T
của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Dn|)
Trang 17Ví d ụ phổ biên độ
0
2
n
n k
A
n
ω
π
+∞
=−∞
= +
f(t)
t A
-A
T/2 -T/2 0 T
0 1
( 2 1)
4
n
n k
A
π
+∞
=
= +
Dn
2A/π
2A/3π
2A/5π
2A/7π
ω