toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm

toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm PhPhầầnn 33 HHààmm phphứứcc vvàà ứứngng ddụụngng � Hàm giải tích � Tích phân phức � Chuỗi hàm phức � Lý thuyết thặng dư � Ứng dụng của lý thuyết thặng dư � Phép biến đổ.

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

Phép biến đổi bảo giác

∀ε > 0, ∃ N > 0 : |an - L| < ε ∀ n > N

L : giới hạn của dãy

L xác định → dãy hội tụ

L không xác định → dãy không hội tụ (phân kỳ)

Chu ỗ i hàm ph ứ c (Series Complex Functions)

Dãy (Sequence)

Định nghĩa : tập hợp tuần tự các số hạng a1 , a2 , a3 … trong đó an = f(n) , được viết là {an} hoặc {f(n)}

∀ε > 0, ∃ N > 0 : | f n (z) – f(z)| < ε ∀ n > N

Chu ỗ i hàm ph ứ c (Series Complex Functions)

Dãy hàm phức (Sequence of Complex Functions)

Định nghĩa : tập hợp tuần tự các giá trị a1 , a2 , a3 … trong đó an = f n (z) , được viết là {an} hoặc {f n (z)}

∀ε > 0, ∃ N(ε,z) : |S n (z) – S(z)| < ε ∀ n > N→chuỗi

hội tụ về tổng S(z)

Chu ỗ i hàm ph ứ c (Series Complex Functions)

Chuỗi hàm phức (Series Complex Functions)

Tổng riêng: là tổng của dãy a1 , a2 , a3 …

Chuỗi hội tụ tuyệt đối nếu

1

( )

n n

Bán hội tụ (hội tụ có điều kiện)

1

( )

n n

Có thể sắp xếp lại các số hạng mà không làm ảnh hưởng tổng S(z)

Việc thể sắp xếp lại các số hạng có thể làm ảnh hưởng tổng S(z)

Điều kiện cần và đủ để chuỗi S(z) hội tụ đều

Thì

◦ Chuỗi hội tụ tuyệt đối tại các điểm z khi 0 ≤ |r(z)| < 1

◦ Chuỗi phân kỳ tại các điểm z khi 1 < |r(z)|

◦ Các điểm z cho |r(z)| = 1 là biên giới miền hội tụ :

phép thử không có thông tin tại các điểm này

Điề u ki ệ n h ộ i t ụ

Xét riêng trường hợp z = 2, ta thấy chuỗi hội tu!.

Kết luận: Chuỗi hội tu! tại các điểm bên trong va& trên đường tròn tâm O, bán kính là 2.

Với gia trị nào của z thi& chuỗi hội tu! ?

Dùng phép thư4 ti4 sô.:

2

1 2

n

n n

z n

Điề u ki ệ n h ộ i t ụ

Xét riêng trường hợp z - j = 3, ta thấy chuỗi phân kỳ.

Kết luận: Chuỗi hội tu! tại các điểm bên trong đường tròn tâm

z = j, bán kính là 3.

Với gia trị nào của z thi& chuỗi hội tu! ?

Dùng phép thư4 ti4 sô.:

Nếu có một dãy hằng số dương {Mn} sao cho

|f(z)| ≤ Mn ∀n & ∀z∈ D , và nếu chuỗi hội tụ

1

n n

f z

∞

=

∑

(Phép thử này chỉ là điều kiện đủ)

Tính chất chuỗi hội tụ đều (SV tham khảo tài liệu)

Các chu ỗ i hàm ph ứ c cơ b ả n

Định lý : Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối tại 1 điểm

trên vòng tròn hội tụ C(a,r) ; r < R, thì nó hội tụ tuyệt

đối và đều tại mọi điểm trên và trong vòng tròn này

Định lý : Chuỗi lũy thừa có thể được lấy tích phân và

đạo hàm từng số hạng trong vòng tròn hội tụ, và các

chuỗi mới cũng có cùng bán kính hội tụ như chuỗiban đầu

Chuỗi lũy thừa (các tính chất)

Chu ỗ i Taylor

Nếu f(z) giải tích ⊂ D có biên C cong kín, a & z ∈ D

Thì f(z) = Đa thức Taylor bậc (n – 1 ) + Phần dư R n (z)

Chu ỗ i Taylor - Chu ỗ i Maclaurin

(0) lim( 1)

(0)

n

n n

Chuỗi Taylor là chuỗi lũy thừa :

Miền hội tụ là đĩa hở D(a,R)

( )( )

!

n n

( )

( )

n n

Gọi {z1, z2,…} là tập các Điểm bất thường của f(z) va&

đặt Rk = |zk – a| = khoảng cách tư& điểm khai triển a đến

điểm bất thường zk thì: R = min{R

k} = khoảng cách tư& a

đến Điểm bất thường gần a nhất

Bán kính hội tụ R = min{|zk – a |} = 1 ({zk}={0,j2}; a=j)Miền hội tụ | z – j | < 1

Chuỗi Maclaurin của một số hàm

Ví dụ: tìm chuỗi Maclaurin của các hàm sau

(dùng các chuỗi cơ bản)

Chu ỗ i Taylor

1

1 ( )

Chu ỗ i Taylor

Tìm khai triển Taylor quanh điểm z = a

Cho f(z)=1/z tìm khai triển Taylor quanh điểm a = 1

Khai triển Maclaurin

Khai triển Taylor quanh a=1

Đặt w = z – a : tìm khai triển Maclaurin → khai triển Taylor

Ví dụ: tìm chuỗi Taylor của các hàm sau quanh điểm a

Chu ỗ i Laurent

Định lý: (khai triển Laurent)

nếu f(z) giải tích khắp miền kín

Ví d ụ

Tìm chuỗi Laurent biểu diễn hàm f(z) = cos(z)/z5 quanh

điểm bất thường z = 0

Miền hội tu! của chuỗi: 0 < |z| < ∞ (với mọi z khác 0)

Ta có thê4 khai triển cos(z) dạng chuỗi

n

z z