Tuyển chọn các câu vd vdc 2019 1

Luôn yêu để sống, luôn sống để học Toán, luôn học Toán để yêu Facebook https //www facebook com/phamminhtuan 317 1 Câu 1 Cho hàm số   4 3 2f x mx nx px qx r     , (với , , , ,m n p q r ) Hàm s[.]

Câu 1: Cho hàm số   4 3 2

f x mx nx px qx r , (với m n p q r , , , , ) Hàm số

 

y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm của phương trình f x r có số phần tử là

1



Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Các điểm A ,

1

460

sin x2 sinx 3 2 cos x m 2 cos x m  2 2 cos xcos x m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm

 

  Xét hàm số   3 2

0;

27

m

m m

Nếu m   thì hệ phương trình vô nghiệm 1

Nếu m   thì tập nghiệm của 1  II là hình tròn  C (kể cả biên)

Câu 5 Cho tập hợp A 1; 2; 3; 4; ;100 Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của

A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91 Chọn ngẫu nhiên một

phần tử của S Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng?

HƯỚNG DẪN GIẢI

Giả sử tập con bất kì a b c; ;   S 1 a b c, , 100; , ,a b c phân biệt

91

a b c  

Đây là bài toán chia kẹo Euler nên số bộ a b c, , là C91 13 1

Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 chữ số giống nhau, số bộ có 2 chữ số

giống nhau là 3.45 135 (bộ) Vậy    2 

90 3.45 : 3! 645

Gọi A là biến cố: “a, b, c lập thành cấp số nhân”

Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q  0

Câu 6 Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau Gọi AB là đoạn vuông góc

chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b) Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm

N (khác B) sao cho AM x , BNy x y,  8 Biết AB 6, góc giữa hai đường thẳng

a và b bằng 60° Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài

đoạn MN (trong trường hợp MN 8)

Mặt khác MAC 60 hoặc MAC 120

Trường hợp 1: MAC 60  AMC đều CM 4 MN 4262 2 13

x



 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để

Vậy có 15 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 8: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  Hàm số

  0

'

g x     2

1 0'

3 f x f x 

     f x' 0 1

2

x x

Câu 9 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị của n để phương trình  2     

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y f x( ) đồng biến trên R

Do đó: f16cos2x6sin 2x 8 f n n  1 16cos2x6sin 2x 8 n n  1

Câu 10 Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên đoạn  5; 3 Biết rằng diện tích

hình phẳng S S S1, 2, 3 giới hạn bởi đồ thị hàm số f x  và đường parabol

 

D 1

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích tìm hướng giải:

- Ta định hướng đánh giá tử theo mẫu

- Ta tìm cách cân bằng hệ số để làm điều trên và đồng thời có dấu bằng xảy ra

- Ta thấy ;x z bình đẳng nên dự đoán dấu bằng xảy ra khi xz

- Tham số hóa khi dùng BĐT Cô si như sau:

2 2 2

2 2 2

222

161

1 332

8

k

a a

k

k a

3.f x x 3x m  1 , ( là tham số thực) Điều kiện cần và

đủ để bất phương trình  1 đúng với mọi x thuộc đoạn  3; 3

Yêu cầu bài toán tương đương m3 ( )f x x33x x   3; 3 (1)

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra (1) m3f 3

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1; 0; 0, B3; 2; 0,

 1; 2; 4

C  Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC hợp với mặt

phẳng ABC các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu

Ta có: AB2; 2; 0 ,  AC  2; 2; 4AB AC  0  ABC suy ra ABC vuông tại A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( ABC Ta có: )

Theo giả thiết MAHMBHMCH MAH MBH MCH g c g( )

Do đó: HA HB HC  nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Suy ra: H là trung điểm của BC  H(1; 2; 2)

Ta có: [AB AC , ] (8; 8; 8) , Chọn vecto chỉ phương của đường thẳng MH là

Gọi K(1t; 2t; 2 là hình chiếu vuông góc của điểm t) I trên đường thẳng MH

Ta có: IK  (t 2; t t; 1),u MH (1; 1;1)

Do IKMH nên IK u MH  , ta được: 0 t  Khi đó: (2;1; 3)1 K và IK  2

Do IKR nên đường thẳng MH không cắt mặt cầu

Do đồ thị (C1) đối xứng quaI 1;1 nên 1  

log ; 22018

Câu 16 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong

hình vẽ dưới đây Đặt g x  f f x  1 Tìm số nghiệm của phương trình g x '  0

x a   Do đó, a f x  có ba nghiệm '  0 1

3

x   , x  và 1 x a (1  a 2)

Xét phương trình f x b (2  ) Đường thẳng y b b 3  cắt đồ thị hàm số y f x  tại

hai điểm phân biệt nên phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt

Xét thấy các nghiệm của phương trình      1 , 3 , 4 và  5 là các nghiệm phân biệt

Vậy phương trình g x '  0 có 9 nghiệm phân biệt

Câu 17 Cho hai hàm số y f x , yg x  có đạo hàm là f x , g x  Đồ thị hàm số

 

y f x và g x  được cho như hình vẽ bên dưới

Biết rằng f       0  f 6 g 0 g 6 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 18 Cho hàm số 2 1

2

x y x





 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tiếp tuyến  của  C tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất Khi đó tiếp tuyến  của  C tạo

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào ?

Diện tích tam giác tạo bởi 2 trục tọa độ tiếp tuyến  2 là

2

2 3 4

0, 262

Quan sát hình vẽ ta thấy: Xét trên khoảng 1; 4 thì f x'     x 2 x 2



 C

21011

Đặt x  0 

e t t Ta đưa bất phương trình đã cho thánh bất phương trình ẩn t, từ đó

lập luận để có phương trình ẩn t có nghiệm thuộc (1;e)

Ta chú ý rằng hàm số y f x  và y f t  có tính chất giống nhau nên từ đồ thị hàm

số đã cho ta suy ra

tính chất hàm f t 

Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m sao cho bất phương trình có nghiệm

Bất phương trình m f X  có nghiệm trân (a;b) khi  

Nhận xét rằng đồ thị hàm số y f t  có tính chất giống với đồ thị hàm số y f x  nên

xét trên khoảng  1; e ta thấy rằng f t   0 và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay

hàm số đồng biến trên  1; e nên f t '  0

+ Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ để đưa về dạng f u    f v mà f là hàm đơn

điệu nên suy ra u = v Từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa x và y

+ Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn y Lập luận phương trình này

có nghiệm duy nhất

thì hệ ban đầu sẽ có nghiệm duy nhất

+ Biến đổi để chỉ ra nếu y là nghiệm thì 0  cùng là nghiệm của phương trình ẩn y , y0

Vậy phương trình (***) có nghiệm duy nhất y = 0

Kết luận : Với m = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên tập S có một phần tử

Chú ý :

Các em có thể làm bước thử lại như sau :

Thay m = 0 vào (*) ta được

y

y

y y

Câu 22 Cho tam giác ABC vuông tại A Đường thẳng d đi qua A và song song với BC

Cạnh BC quay xung quanh d tạo thành một mặt xung quanh của hình trụ có thể tích

là V 1 Tam giác ABC quay xung quanh trục d được khối tròn xoay có thể tích là V 2

Dựng hình, xác định các hình tròn xoay tạo thành khi quay và tính tỉ số thể tích

Câu 23 Trên sân bay có một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải)

và bắt đàu rời mặt đất tại điểm O Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và

cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay Dọc theo đường băng d

cách vị trị máy bay cất cánh O một khoảng 300(m) về phía bên phải có 1 người quan

sát A Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác

định bởi phương trình yx2 (với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và

tính từ O) Khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là:

A.100 3( )m B 200 (m) C 100 5( )m D 300 (m)

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

Gắn hệ trục tọa độ, xác định tọa độ điểm M trên parabol yx2 để độ dài đoạn AM nhỏ

Câu 24 Cho hàm số y sin3x m sinx1 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m

sao cho hàm số đồng biến trên 0;

     đồng biến trên (0;1)  thỏa mãn m 0

+) m0 : f x 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 , 2

m   Không có giá trị của m thỏa mãn

Vậy chỉ có giá trị m  thỏa mãn 0

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hai điểm ,MN thuộc

các cạnh AB và AD (M, N không trùng với A, B, D) sao cho AB 2.AD 4

AM AN  Kí hiệu

Tỉ lệ thể tích của các khối chóp S ABCD và S MBCDN bằng tỉ lệ diện tích các đa giác

Tỉ số V1

V đạt GTLN bằng

34

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn

Câu 27 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên R và có     1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số g x  có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên R

B Hàm số g x  có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên R

C Hàm số g x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R

D Hàm số g x  không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

Vậy hàm số g x  có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên R

Câu 28 Cho khối chóp S.ABC có thể tích V M là một điểm trên cạnh SB Thiết diện qua

M song song với đường thẳng SA và BC chia khối chóp thành hai phần Gọi V1 là thể

tích phần khối chóp S.ABC chứa cạnh SA Biết 1 20

   

.

V

2

1145

V

2

1945

V

2

2245

V

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

+) Sử dụng công thức tính thể tích 1  

1

;( ) ,3

+) Biểu diễn lượng giác của số phức

+) 1 1

2 2

Cách 1: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z z 1, 2

Theo đề bài, ta có:OA3,OB4,AB 41 cos 32 42 41 2



HƯỚNG DẪN GIẢI

* Xét mặt phẳng chứa AB và d : Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ;  là mặt phẳng

qua A, vuông góc với d

Khi đó, giao điểm H của  với   là trung điểm của AA’

  có 1 VTPT n2; 3; 4  đi qua  A1; 1; 2  có phương trình:

HI0 là đường trung bình của tam giác

mặt cầu theo ba đường tròn Gọi S là tổng diện tích của ba hình tròn đó Khi đó S bằng:

Gọi M, N, P là các hình chiếu vuông góc của I lên 3 mặt phẳng, r r r là bán kính của 1, ,2 3

đường tròn giao tuyến tương ứng Khi đó, A, I, P, N là 4 đỉnh của một hình hộp chữ nhật,

Tổng diện tích của ba hình tròn đó là  2 2 2

S r  r r  

Câu 33 Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm

25 câu hỏi độc lập, mỗi câu có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng Mỗi

câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm Bạn Bình vì học kém

môn Tiếng Anh nên làm bài theo cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu

Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất

Tính k

A k 5 B k 1 C k 25 D k 6

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp

+) Sử dụng quy tắc nhân tính xác suất của biến cố A

+) Xét khai triển

25

1 31

4 4

  

  +) Giả sử

25 25

1 3

4 4

k k

Xét khai triển

25 0

25 25

1 3

4 4

k k

- Biến đổi điều kiện bài cho về dạng fu fv với u, v là các biểu thức của x, y

- Xét hàm f t suy ra mối quan hệ của u, v rồi suy ra x, y ( )

- Đánh giá P theo biến t x y bằng cách sử dụng phương pháp hàm số

Ta có: 2 11

6

x P

x y



 

  Trong (1) coi y là ẩn, x là tham số Ta có: 2   2

Câu 35 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có thể tích bằng 2 Gọi M, N lần lượt là hai điểm

nằm trên cạnh AA', BB' sao cho M là trung điểm của AA' và 1 '

2

BN NB Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A' 'tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B' ' tại Q

Tính thể tích V của khối đa diện A MPB NQ' '

Phân chia khối hộp để tính thể tích V C ABNM. V CC'B'NMA'

Tính thể tích khối chóp V C C A B ' ' 'V C C PQ '

Tính V A MPB NQ' ' V C C PQ ' V CC'B'NMA'

Câu 36 Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm là hàm số y f x'  có đồ thị được cho

như hình vẽ dưới đây và f   0  f 1 2f     2  f 4  f 3 Tìm giá trị nhỏ nhất m của

hàm số y f x  trên 0; 4

A. m f 4 B m f 0 C m f 2 D m f 1

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

Lập bảng biến thiên của hàm số y f x  trên đoạn [0;4], từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 37 Cho hàm số f x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m để phương trình 3 sin cos 1  2 

+ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình f x  f t 

Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho

Chú ý rằng nếu hàm f t  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a b; thì phương trình

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số f x  đồng biến trên (0;1)

Nên phương trình f x  f t  với t  0;1 có nghiệm duy nhất khi x  t x 0

Do đó phương trình 3 sin cos 1  2 

Mà m nên m     3; 2; 1  Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu

Câu 38 Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG

và cắt các cạnh SB, SC tương ứng tại M, N Giá trị nhỏ nhất của tỉ số ,

+ Sử dụng tỉ số thể tích: Cho chóp tam giác S.ABC có

.

+ Sử dụng tính chất: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Đường thẳng bất kì đi qua G cắt

các cạnh AB, Ac lần lượt tại M, N Khi đó ta có AB AC 3

(Chứng minh tính chất trên như sau:

Qua B, C kẻ các đường thẳng song song với MN cắt đường thẳng AG tại K và I Gọi D

+ Lưu ý rằng trọng tâm tứ diện là giao của 4 đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm tam

giác đối diện

Cách giải:

Đặt SM a;SN b0 a b; 1

Lấy E là trung điểm BC

Trong (SAE), kéo dài AG cắt SE tại I Khi đó I MN và I là trọng tâm tam giác SBC

Khi đó trong tam giác SBC ta luôn có SB SC 3

SM SN  (tính chất đã được chứng minh ở trên)

+ Tìm điều kiện

+ Biến đổi bất phương trình để đưa về dạng hàm số f a    f b , chỉ ra hàm f t  đồng

biến với t > 0 nên suy ra a b

+ Kết hợp điều kiện để suy ra tập nghiệm của bất phương trình

Từ đó

05

x y  x y  y  y   x x Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x2y2 a. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc

đoạn [-10;10] của tham số a để M2 ?m

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

Biến đổi đẳng thức đã cho để đưa về dạng phương trình đường tròn (C) tâm I bán kính

R

Từ đó ta đưa bài toán về dạng bài tìm M x y ; ( )C để OM a lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Xét các trường hợp xảy ra để tìm a

Cách giải:

Gọi A, B là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng OI

Vậy có 16 giá trị của a thỏa mãn đề bài

Câu 41 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

x  1 3 +

'

y - 0 + 0 -

y +  15

A. e4 B e3 C

15 13

e D e5

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

- Lấy ln hai vế rồi xét hàm số vế trái trên đoạn [0;2]

- Tìm điều kiện để bài toán thỏa dựa vào tương giao đồ thị và suy ra giá trị m

 

g x 4

Từ bảng biến thiên ta thấy max[0;2] g x   4

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu lnm   hay giá trị lớn nhất của m là 4 m e4

giá trị của tham số m để phương trình 1 có các nghiệm, trong đó có hai nghiệm phân

biệt thỏa mãn 0x1  2 4 x2 là khoảng a ; . Khi đó, a thuộc khoảng

A (3,8;3,9) B (3,7;3,8) C (3,6;3,7) D (3,5;3,6)

HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp:

Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm nghiệm và tìm điều kiện để bài

x

x x

Câu 43 Một khối pha lê gồm một hình cầu  H1 bán kính

 H2

R và một hình nón có bán kính đáy và đường sinh

12

Sử dụng công thức tính diện tích toàn hình nón S tp rlr2 trong đó r, l lần lượt là bán

kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón