HTTL vận dụng cao hàm số

KHÔNG GÌ LÀ KHÔNG THỂ VỚI NGƯỜI BIẾT CỐ GẮNG Trang 1 Câu 1 Cho hàm số  3y x có đồ thị   C Gọi ,A B là hai điểm thuộc  C sao cho tiếp tuyến của  C tại ,A B lần lượt cắt trục tung tại hai điểm M[.]

Câu 1 Cho hàm số y x có đồ thị 3  C Gọi A B, là hai điểm thuộc  C sao cho tiếp tuyến

của  C tại A B, lần lượt cắt trục tung tại hai điểm M và N thỏa mãn tứ giác AMBN là hình

2

3.2

Lời giải.

Gọi A a a ; 3 Khi đó phương trình tiếp tuyến tại A là:  2  3

Khi đó M0; 2 a3 Tương tự ta có N0; 2 b với 3 B b b ; 3

Điều kiện cần để AMBN là hình chữ nhật là x A x B x M x N    0.a b

Khi đó AMBN là hình bình hành Điều kiện đủ để AMBN là hình chữ nhật là AB MN

2 2

22

x x

x x

2 2

11

22

x x

x x

Câu 3 Cho hàm số y x33x2 mx  4 m có đồ thị  C m và đường thẳng d y:  3 x

Đường thẳng d cắt đồ thị  C m tại ba điểm phân biệt A I B, , (theo thứ tự hoành độ tăng dần)

Tiếp tuyến của  C m tại A B, lần lượt cắt  C m tại M N, Biết khi mm0 thì tứ giác AMBN

là hình thoi Khi đó m0 thuộc khoảng nào sau đây?

Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 mx 4 m  3 x x1 x2 2x m 1 0

Do đó ta có I 1;2 và hoành độ điểm A là nghiệm nhỏ của phương trình x22xm 1 0

Hay x A  1 2m

*Chú ý: I là trung điểm của AB và là trung điểm của MN Do đó AMBN là hình bình hành.

Do đó AMBN là hình thoi AB MN Khi đó MN có vecto pháp tuyến n 1; 1  và đi qua

 1;2

I

MN y:  x 1

Hỗ Trợ Tài Liệu

Phương trình hoành độ giao điểm của MN và

Câu 4. Gọi a là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại các cặp số nguyên b c, để phương

trình aln2x blnx 2c0 có hai nghiệm phân biệt đều thuộc  1; e Giá trị của a là

Lời giải.

Đặt t  ln x Khi đó ycbt  phương trình at2 bt 2c0 có hai nghiệm t t1 2, thỏa 0t t1 2, 1

Xét f t at2 bt 2 c Điều kiện cần để phương trình f t  0 có hai nghiệm 0t t1, 2 1 là

 0 0,  1 0

Do c nguyên và f 0 2c 0 nên f 0 2 Tương tự ta có f 1   a b 2c 1

Do f t  0 có hai nghiệm t t1 2, nên f t a t t1tt2

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình

Để ý 2f x( )  1 0 f x( )     0 x a ( 3; 2);x 2 và f x( ) chỉ đổi dấu khi qua điểm x  do2

đó chỉ đổi dấu khi qua điểm x 2

Điều kiện cần để g x( )x m 2f(sin )x 2.2f(sin )x m2 3 2 f x( )  1 0, x

Bất phương trình này không đúng vì (2f x( )1)(x2) 0, x;2f(sin )x   3 0, x

 Với m  1 g x( ) x1 2 f(sin )x 2.2f(sin )x 2 2 f x( )  1 0, x

Câu 6. Cho hàm số y x33x2 1 có đồ thị như hình vẽ

Tập hợp các giá trị của m để phương trình 3x4 x3 3x2 m1 x2 13 0 có nghiệm là

Hỗ Trợ Tài Liệu

3 3

2 (tham khảo hình vẽ) nên         

1

; 02

00

22

x x x

f x y

f x

f f x

f x

f x

Phương trình f x  0 có 4 nghiệm đơn (hoặc bội lẻ), phương trình f x  2 có 2 nghiệm đơn

(hoặc bội lẻ) và phương trình f x  2 vô nghiệm

Hỗ Trợ Tài Liệu

Do đó y  0 có 9 nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) Hay hàm số y f f x có 9 điểm cực trị.   

Chọn đáp án B

Câu 8. Cho hàm số y  f x  có đồ thị hàm số f x  như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f x 2 x m có 2 7 điểm cực trị?

Câu 9. Biết phương trình ax3 21x2 6x 20190 có 3 nghiệm thực phân biệt với a là

tham số Hỏi phương trình 4ax3 21x2 6x2019 3  ax 219ax2 14x22  * có

bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Hỗ Trợ Tài Liệu

Xét f x ax3 21x2 6x 2019 f x 3ax2 42x  6 f x 6ax 42.

Có                     

2 2

Tìm tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g x f x 3 3x 1 m trên đoạn 2;0

Đối chiếu đáp án chỉ có m  2 thỏa ycbt Chọn đáp án A

Câu 12 [Tư duy mở]. Cho đồ thị hàm số f x  như hình vẽ Gọi S là tập chứa các giá trị

nguyên của m để phương trình  2

Mà số nghiệm của phương trình g x   0 và g x m0 là như nhau.

Nên ta biện luận phương trình 2f x 2 18m  có 4 nghiệm phân biệt.0

Hàm số h x 2f x 2 có bảng biến thiên sau:

Khi đó 418m  8 10m 14 thỏa ycbt Vậy tổng các phần tử của S là 11121336.Chọn đáp án C

x  x m  m x  m  Biết rằng tậptất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có 4 nghiệm là m  a b; Giá trị của biểu

ycbt pt g x m0 có 4 nghiệm Mà số nghiệm của phương trình g x   0 và g x m0

như nhau Nên ta xét phương trình g x  0 x2 2x    1 x m có 4 nghiệm

Xét   2

h x x  x  x Hàm số h x  có bảng biến thiên sau

Hỗ Trợ Tài Liệu

Dựa vào bảng biến thiên có 3 3

Vậy giá trị lớn nhất của P 4x2y3z là 16

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi''  2 2  2

m g

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10

  của tham số m để bất phươngtrình  2 2 3 2 8  

bảng biến thiên sau

Vậy 1m7 thỏa yêu cầu bài toán Chọn đáp án A

Câu 18 Cho hai hàm đa thức y f x y , g x  có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ bên

Biết rằng đồ thị hàm số y  f x  có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm số y g x  có

đúng một điểm cực trị là B và 7

.4

AB  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

khoảng 5;5 để hàm số y  f x   g x m có đúng 5 điểm cực trị?

Lời giải.

Hỗ Trợ Tài Liệu

Có u x  0 f x g x  x x A.

Bảng biến thiên của hàm số h x  như sau

Gọi x x x1, 2 1 x2 là hai điểm thỏa u x   0 Khi đó hàm số h x  có bảng biến thiên sau

Để hàm số y  f x   g x m hay hàm số h x có 5 điểm cực trị thì phương trình   h x   0 có

Vậy 1 3

a   b   ab   Chọn đáp án B

Câu 20. Biết rằng đồ thị hàm số y   x3 3x 1 tiếp xúc với đường thẳng y ax b tại

điểm có hoành độ thuộc đoạn 0; 3 

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  a b?

A Smin 1 B Smin 6 C Smin 2 D Smin 29

Câu 23 Cho hàm số f x 2x44x3 3mx2 mx2m x2    với m là tham số thực x 1 2

Biết f x    0, x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A m   B m    ; 1  C 5

0; 4

Câu 24. Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Định m để bất phương trình log2f x m 1 log 3 f x m

.2

.2

.2

Câu 25.Cho hàm số y  f x  có đạo hàm f x   x 1e x,  x Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc 2019;2019

  để hàm số g x f  lnx mx2 mx nghịch biếntrên  1;e2 ?

Lời giải.

Hỗ Trợ Tài Liệu

Hàm số h x  có bảng biến thiên sau

Vậy 1m2019 thỏa yêu cầu bài toán Chọn đáp án B

Câu 26 Cho hàm số

4

.1

x ax a y

Vậy có 15 giá trị nguyên của a thỏa ycbt Chọn đáp án A.

Câu 27 Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y x  m x  m  m x  m m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tích các phần tử thuộc tập S là

Vậy tích các giá trị của m thỏa ycbt là 35 Chọn đáp án B

Câu 28 [Đề thi thử THPTQG 2020 lần 1 – Nhóm toán VD-VDC] Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 2020;2020

Vậy chỉ có m  thỏa 2 ycbt Chọn đáp án B.

Câu 29 [Đề thi thử THPTQG 2020 lần 1 – Nhóm toán VD – VDC].

Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình dưới

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log 26 f x mlog4f x   có 4 nghiệm phân

Nếu phương trình  * chỉ có 1 nghiệm t thì phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm (do

 

f x a có tối đa 3 nghiệm)

Nếu phương trình  * có 2 nghiệm t3 t4 Khi đó dựa vào bbt g t  có t4  t t0; 1

Do đó phương trình f x   4t4 có 3 nghiệm thực phân biệt

Vậy ycbt  pt f x   4t3 phải có nghiệm duy nhất Hay t  3  ;1 

Mà g 1  2 Khi đó  2 m 0 thì  * có 2 nghiệm t t thỏa 3, 4 t 3 1

Vậy m   là giá trị nguyên duy nhất của m thỏa 1 ycbt Chọn đáp án A

Vậy T 2a b 2 Chọn đáp án C.

Câu 31 Cho hàm số y f x  liên tục trên  có f 0 0 và đồ thị hàm số y  f x  như

hình vẽ bên Hàm số y  3f x x3 đồng biến trên khoảng

Do đó hàm số g x đồng biến trên    0;2 và a ;  với g a   0 Chọn đáp án C.

Câu 32 Cho số thực m và hàm số y  f x  có đồ thị như hình vẽ bên Phương trình

Đặt t 2x 2 x Khi đó ta có bảng biến thiên của t theo x như sau

Với mỗi nghiệm 5

Mà phương trình f t m có tối đa một nghiệm 5

Do đó phương trình f2x 2xm có tối đa 3 nghiệm phân biệt Chọn đáp án B

Câu 33 Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 31x 3x mx trên

 bằng 2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 34 Cho hàm số y  f x  Hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên Giá trị

lớn nhất của hàm số g x  f 2x sin2x trên đoạn 1;1

Tương tự ta có 2f 2x 0, sin 2x   0, x  0;1 2f 2x sin 2x   0, x  0;1

Hàm số g x  có bảng biến thiên trên 1;1

Câu 35 Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương

trình mx m2 5x2 2m1 ( )f x 0 nghiệm đúng với mọi x   2;2 ?

Hỗ Trợ Tài Liệu

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  Có f 1 2.

Do m là giá trị nhỏ nhất của f x  nên mf x , x m f 1 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x  nhận giá trị lớn nhất là 2

Dấu " xảy ra "  f 1   0 4 3m2m 0 m  1

Khi đó f x x4 x3   x 3 f  3 54 Chọn đáp án D

Câu 38 Cho hàm số 1 4 2

3 2

y  x  x Biết M x y 0; 0 là điểm thuộc  C sao cho tiếp tuyến với

 C tại M cắt  C tại hai điểm A B, Biết A B M, , là ba điểm phân biệt và thỏa MA 3MB,

Ta lại có x A 2x M x B 0 (Định lí Vi – et) Do đó 2x M x A  0 x B 0 Khi đó B O 0;0

Hay tiếp tuyến tại M của  C qua O Mà tiếp tuyến có pt:  3    1 4 2

Với cả hai trường hợp ta có x02 y0     Chọn đáp án A.2 4 2.

Câu 39 [Đề thi thử lần 1 – Nhóm toán VD – VDC]. Với f x x3 ax2 bx1 và

  3 2

1

g x x cx dx là hai hàm đa thức bậc ba thỏa mãn b   và hàm số d 1 y  f g x   

là một hàm đồng biến trên  Khi đó giá trị lớn nhất của T 2a2 3c2 là

Lời giải.

Điều kiện để hàm số y  f g x    đồng biến trên  là hàm số f x g x   , phải đồng biến trên 

Vì nếu g x  không phải hàm đồng biến trên  thì g x 0 có hai nghiệm x a x, b

Khi đó y a y b f g a     f g b    f  0 Hay hàm sốy  f g x    không đồng biến trên 

Tương tự ta có thể chứng minh hàm số f x  không đồng biến trên  không thỏa ycbt

Câu 42 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Tính khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị hàm số y  f x 2

Hỗ Trợ Tài Liệu

A 4 B 3 C 7 D 5.

Lời giải.

Gọi x x lần lượt là các điểm thỏa 0, 1 f x 0  f x 1 0 và x0 x1

Khi đó hàm số y  f x 2 có bảng biến thiên sau

Vậy hai điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1;0 và  3;3 Do đó khoảng cách giữa chúng là 5

Chọn đáp án D

Câu 43 Cho hàm số   3

f x x  x  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình 2019f x  1 3 x 2m có tổng tất cả các nghiệm phân biệt bằng 4 ?

Nếu x là nghiệm của phương trình 0 2019f x  1 3 x 2m * thì 2x0 cũng là

nghiệm của phương trình đó Do đó nếu phương trình  * có n nghiệm thì tổng các nghiệm của

2, 78

0,78

x x

Khi đó 2018m 1124 thỏa ycbt Vậy có 895 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Chọn đáp án C

Câu 44 [Thầy Phạm Văn Tài] Cho hàm số y x3 5m9x2 m2x m có đồ thị

 C m và đường thẳng d m :y  x m Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để d m cắt

 C m tại 3 điểm phân biệt A B C với A Oy, ,  sao cho OA là tia phân giác góc BOC Tổng

29.25

Gọi B x m 1, x1 ,C x m2; x2 và H x  1; 0 ,K x2;0 lần lượt là hình chiếu của B C lên , Ox

Ta có BOH đồng dạng với COK nên 1 1 1 1 2 2 1 2

Câu 45 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 2020;2020

m ycbt

m m

Câu 47 [Thầy Châu Thanh Hải] Gọi S là số giá trị nguyên nhỏ hơn 10 của tham số m để

hàm số   1 4 1  3 1   2

y  f x  x  m  x  m m x  mx  đồng biến trên  0;2 Khẳng

định nào sau đây đúng ?

A S chia hết cho 4 B S chia hết cho 1 C S chia hết cho 2 D.S chia hết cho 3

2 0

m h

Vậy có 7 giá trị nguyên nhỏ hơn 10 của tham số m thỏa ycbt Chọn đáp án D.

Câu 48 Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình

Câu 49 Cho hàm số    2

f x  x  x m Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá

trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1

Hàm số g x  có bảng biến thiên trên 1;2

Do đó m  4 Dấu bằng xảy ra khi m 4 Chọn đáp án C

Câu 52 [Thầy Ngô Minh Ngọc Bảo] Cho hàm số f x x3 bx c và g x  f dx e có

0 1

c f

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là 2    

1

81.16



C. 3 10

.2



D. 2 10

.2



Lời giải.

- Nếu ab  1 0 thì hàm số đã cho trở thành y  cosa b x 

  không thỏa ycbt.

C.  

.0;1;2

Câu 56 [Đề KHTN – Hà Nội] Cho hàm số y x33x 1 có đồ thị  C Xét các điểm A B,

thay đổi thuộc  C sao cho tiếp tuyến của  C tại A B song song với nhau Gọi ,, E F lần lượt

là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B với trục tung Có bao nhiêu điểm A có hoành độ là

số nguyên dương sao cho EF 2020

Lời giải.

Do tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên A và B đối xứng qua điểm uốn I 0;1

Khi đó E và F cũng đối xứng nhau qua I (do I Oy) Vậy ycbt IE 1010

Hỗ Trợ Tài Liệu

Gọi A a a ; 3 3a1  Ta có phương trình tiếp tuyến tại A là :y 3a2 3 x aa3 3a1.Hay :y 3a23x2a3 1 Khi đó  Oy E0;1 2 a3.

10

25.3

y y

Câu 58 Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 1m2 và cạnh BC x m 

để làm một thùng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: chia hình chữ nhật

ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được

gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM, phần hình chữ nhật BCNM được

cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox còn thừa được bỏ đi) Tính gần

đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể)

Hỗ Trợ Tài Liệu

 và chiều cao 1

x h

2f x f x  f x  * có bao nhiêu nghiệm?

A 4 nghiệm B 1 nghiệm C 3 nghiệm D. 2 nghiệm

Lời giải.

 

Hỗ Trợ Tài Liệu

  Vậy phương trình g x   0 có 2 nghiệm thực phân biệt Chọn đáp án D.

Câu 60 Cho hai hàm số y x2 2x và y x3x2 m 4x m1 (với m là tham số

thực) Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân

biệt và ba giao điểm đó nằm trên một đường tròn bán kính bằng 5 ?

f x  x x  x m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m để phương trình f f x   x có đúng 3 nghiệm thực phân biệt?

f f x  x f f x f x f x  x f x  x x x  x m x

3 21

g x   x x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Dựa vào bảng biến thiên có 6053

Câu 62 Cho phương trình 2x2 6x 2m x 4 x2 2x m 0 Có bao nhiêu giá trị

nguyên thuộc đoạn 20;20

  của tham số m để phương trình trên có 3 nghiệm thực phânbiệt?

00

x x

m

m m

Câu 63 Cho hàm số y  f x  liên tục trên  có đồ thị hàm số f x 2 4x như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x 28 x 12 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số g x  sang phải 2 đơn vị

+ Giữ nguyên phần x 0,bỏ phần x 0 của đồ thị ở bước trên và lấy đối xứng phần x  qua0

trục Oy

Vậy đồ thị hàm số y g x 2 có 7 điểm cực trị

 đồ thị hàm số y  f x 2 8x 12 có 7 điểm cực trị Chọn đáp án D

Câu 64 Cho hai số hữu tỉ m n, sao cho phương trình x33x m 3n có ba nghiệm dương

phân biệt a b c, , thỏa mãn a   b c 2 3 Biểu thức 6m 4n có giá trị là

11.4

Đồ thị hàm số y x3 3x là đồ thị màu xanh dương (có cả nét liền và nét đứt) như hình vẽ.

Khi đó đồ thị hàm số y  x33x là phần nét liền trong hình vẽ

Đặt k m 3 n Điều kiện để phương trình x3 3x k có 3 nghiệm dương a b c, , là 0 k 2.Đường thẳng y k cắt đồ thị hàm số y x33x tại các điểm có hoành độ x  b x,  a x, c

(hình vẽ)

Do đó x  b x,  a x, c là nghiệm của phương trình x33x k  *

Theo Vi – et ta có tổng các nghiệm của  * là 0