CHƯƠNG i kỹ THUẬT và PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN HÌNH OXY

CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY B KĨ THUẬT THAM SỐ HÓA Một số kiến thức cần nhớ Điểm Điểm Điểm hoặc Điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, ta có thể giả sử Điểm M là trung điểm của đoạ[.]

B KĨ THUẬT THAM SỐ HÓA.

 Điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, ta có thể giả sử M x y 0; 0

 Điểm M là trung điểm của đoạn AB thì 2

2

x y

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C  1; 2  Đường trung tuyến kẻ từ A

và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình 5xy 90 và x3y 50 Tìm tọa độ các đỉnhA,B

Định hướng:

-Viết phương trình AC, tìm  A ACAM

-Tham số hóa theo b tọa độ B M Từ MAM , giải tìm b B

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với C2;3, phương trình đường thẳng

AB x y  , phương trình trung tuyến AM: 3x4y10 Tìm tọa độ các đỉnh A, B

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm A, A ACAM

-Tham số hóa tọa độ điểm B theo b Suy ra trung điểm M của AB

-Do MAM , giải tìm nghiệm b từ đó có B

-Tham số hóa tọa độ điểm B theo b , suy ra A

-Do AAC, giải tìm nghiệm b Từ đó suy ra tọa độ ,A B

-Viết phương trình HC  C ACCH

Lời giải.

Đường thẳng BH đi qua các điểm K, H nên có phương trình 2xy 20

Đường thẳng AC đi qua K và vuông góc với BH nên có phương trình

x y 

Giả sử B b ;2 2 b, từ M là trung điểm của AB suy ra A6 b b;2 

Từ AAC 6 b 2 2 2  b4 0 b2 Từ đó ta tìm được B2; 2 ,  A4;4

Đường thẳng CH đi qua H và nhận véc tơ AB làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x3y10

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 3 1 0  2;1

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A 4; 4 , B 2;-2 ,C -2;1     

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A1;6 Các đường trung tuyến kẻ từhai đỉnh B và C lần lượt có phương trình x 2y 1 0 và 3x y 20 Xác định tọa độ B, C. Định hướng :

-Tìm tọa độ trọng tâm G

-Tham số hóa tọa độ điểm ,B C

-Sử dụng tính chất G là trọng tâm của tam giác ABC , giải nghiệm tìm được ,B C

Định hướng:

-Tham số hóa trung điểm NNB B

-Tham số hóa điểm CCN M

Giả sử trung điểm của AB là N n n ;3  9 B2n 3; 6n 22 

Do CCN C c ;3c 9 suy ra tọa độ trung điểm M của cạnh BC là

d xy  Phương trình các đường trung tuyến AM và đường cao BH lần lượt có phương trình

5xy 60 và x y40 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm E3;1nằmtrên cạnh BC.

Định hướng:

-Tham số hóa điểm ,B C Suy ra trung điểm M của BC

-Giải hệ từ điều kiện MAM và , ,B C E thẳng hàng

Định hướng :

-Giả sử B a b ; , do M là trung điểm AB nên Aa 6; b

-Thiết lập hệ phương trình từ hệ điều kiện . 0

2;33

a

b a

B b

-Tham số hóa tọa độ ,B C

-Thiết lập hệ điều kiện AB AC. 0

Vậy tọa độ các điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán là B 3;-1 ,C 5; 3    hoặc B 5; 3 ,C 3; -1   

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng :x y 40 và d: 2x y 20.Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại điểm Mthỏa mãn OM ON  8

Định hướng :

-Tham số hóa điểm M N,

-Thiết lập hệ điều kiện ,O M N, thẳng hàng và OM ON  8

-Viết phương trình AH , tìm tọa độ điểm H

-Tham số hóa tọa độ điểm B Từ diện tích tam giác ABC , tính được BH Từ đó tìm được B C

Lời giải.

Đường cao AH đi qua A và vuông góc với  nên có phương trình xy3

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 4 7; 1

-Viết phương trình BD Tìm  I BDAC Suy ra D

-Tham số hóa tọa độ điểm A ,từ diện tích hình thoi tính được IA Suy ra A C

+) Với a2 A2; 1 ,  C0;1

Vậy A 0;1 ,C -2;- 1 , D 1; -2      hoặc A -2;- 1 ,C 0;1 , D 1;-2     

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x:  2y 60 và hình thoi ABCD ngoạitiếp đường tròn   2 2

-Tham số hóa tọa độ điểm A C Từ COy Suy ra tọa độ điểm ,A C

-Dựa vào bán kính đường tròn nội tiếp kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông tính IB

-Tham số hóa tọa độ điểm B , từ độ dài IB , giải tìm B D

-Tham số hóa tọa độ điểm ,B C Suy ra trung điểm E của BC

- Thiết lập hệ điều kiện BC u. 0

-Từ BAC 135 HAHB Viết phương trình đường tròn tâm H , bán kính HB

-Suy ra tọa độ điểm A là giao của đường tròn và AC

Đường thẳng AC qua C và vuông góc với BH nên có phương trình 3x y4

Tọa độ chân đường cao H kẻ từ B là nghiệm của hệ 3 4 3;5

qua A và đường thẳng CE , viết phương trình BC đi qua H và C Gọi tọa độ điểm B theo tham số suy ra tọa độtrung điểm của AB theo tham số, ràng buộc điều kiện trung điểm thuộc CE Suy ra tọa dộ điểm B.

Có thể giải tọa độ điểm A bằng cách sử dung AM  HM và A nằm trên d

Với a 2 suy ra A2;3 , C6; 1  (thỏa mãn)

Đường thẳng BC đi qua H và C nên có phương trình 0 3 3 9 0

Định hướng:

Ba đỉnh của tam giác đều thuộc hai đường đã có phương trình nên ta có thể biểu diễn tọa độ của các điểm theo tham số để giải quyết Ta không thể dùng yếu tố đường cao để giải quyết vì hai đường có phương trình đã vuông góc với nhau, vì vậy ta chỉ có thể dùng yếu tố trọng tâm và diện tích để giải quyết

Lời giải

Vì A thuộc d, các điểm B và C cùng thuộc d’ nên A a a ;2 1 , B1 2 ; b b C, 1 2 ; c c (b khác c)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có

1

13

13

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1; 6), các điểm M(2; 2),N(1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Biết hoành độ điểm Cnhỏ hơn 4

Định hướng:

Nhận thấy CH đi qua H và vuông góc với MN nên ta viết được phương trình của CH Biểu diễn tọa độ của C theo tham số, kết hợp với M, N ta suy ra tọa độ của A và B theo tham số của C Vận dụng quan hệ vuông góc của hai vectơ  AH BH,

ta xác định được tham số Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh A, B, C

Vì AH vuông góc với CN nên

3

4( )2

A thuộc AH nên A(3 – 2a ; a) Vì M là trung điểm của AB nên B(-3 + 2a ; 2 - a)

B thuộc BC nên 2( - 3+2a) – (2 - a) - 7 = 0 <=> a = 3 Suy ra A(- 3 ; 3)

Gọi N(m ; n) là điểm đối xứng với N qua phân giác AD Khi đó N thuộc AC, MN( ;m n 1)

53

2

m

N n

AC đi qua A và N nên có phương trình 0 5 2 3 15 0

Định hướng:

Vận dụng tính vuông góc của AB và MI ta viết được phương trình đường thẳng AB Vì tam giác AHB vuông tại H, có tọa độ trung điểm M của AB và tọa độ điểm H nên ta viết được đường tròn đường kính AB Khi đó tọa độ các điểm A, B là giao của đường thẳng AB và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH

Viết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính bằng IA Viết đường thẳng AC đi qua A và H

Bài 01 Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC với trọng tâm G Biết C(4;0), phương trình đường trung tuyến AG, BG

lần lượt là 5x + y – 13 = 0, x – 4y + 3 = 0 Tìm toạ độ hai đỉnh A và B

Định hướng:

Vì hai đường trung tuyến đã biết phương trình nên ta xác định ngay được tọa độ trong tâm Tiếp theo ta biểu diễn tọa độ các điểm A, B theo tham số rồi vận dụng biểu thức tọa độ trọng tâm ta lấy được tham số Từ đó kếtluân tọa độ của A và B

Lời giải: Toạ độ trọng tâm G là nghiệm của hệ

Vì A thuộc AG, B thuộc BG nên A(a;13 – 5a), B(4b – 3;b)

Do G là trọng tâm ABC nên

Các điểm B, C thuộc các đường thẳng đã biết phương

trình nên ta thu gọn tọa độ mổi điểm theo một ẩn

Kết hợp với biểu thức tọa độ trọng tâm ta giải ra tọa độ các

điểm B, C

Lời giải.

Vì B trên d1 và C trên d2nên B(b ; - b - 5), C( - 2c + 7 ; c)

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có hệ phương trình

Bài 03 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3) Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2

Vì B, C lần lượt thuộc d1 và d2 nên B(b; – 2b – 5), C(1 + 2c; –1 – 3c)

Do G là trọng tâm ABC nên

3 10

13

11 2 3

33

GA

Định hướng:

B thuộc BC và thuộc Ox nên xác định ngay được tọa độ của B Lấy tọa độ của A theo tham số, biểu diễn tọa

độ của C theo tham số của A Tính được các cạnh và diện tích của tam giác ABC theo tham số Kết hợp với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta tìm được tham số Từ đó suy ra tọa độ trọng tâm G

Lời giải: Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

00

x

x y

B y

Chu vi tam giác ABC là 2pABACBC3 3 a 1

 Bài 20 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x –

3y – 7 = 0 và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x + y +1 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh B và C

Dựa vào yếu tố AC vuông góc với đường cao BH và biết tọa độ của A ta sẽ viết được phương trình của AC Kết hợp với trung tuyến kẻ từ C ta xác dịnh được tọa độ điểm C Điểm B thuộc đường cao BH nên ta có thể biểu diễn tọa độ điểm B theo 1 tham số Lấy tọa độ trung điểm M của AB theo tọa độ điểm B và tọa độ điểm

A Kết hợp với M thuộc trung tuyến CM ta xác định được tham số Suy ra tọa độ điểm B

Lời giải.

Gọi H và M lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và trung điểm của AB

AC đi qua A(2 ;1) và vuông góc với BH : x – 3y – 7 = 0 nên có phương trình

Xác định ngay được tọa độ của H là giao của HK và BC

Vận dụng tính chất trung tuyến của tam giác vuông bằng

nữa cạnh huyền xác định được tọa độ các đỉnh C và K

Vận dụng tính chất trung điểm suy ra tọa độ của A Tiếp theo

viết phương trình của AB qua A và K Lấy tọa độ của B là giao

Các tam giác AKC, AHC là các tam giác vuông có M là trung điểm của cạnh huyền AC nên ta có

MCMHMK

K thuộc KH , C thuộc BC nên K(k; 4 – 4k), C(c; 2c + 4)

Các tam giác AKC, AHC là các tam giác vuông có M là trung điểm của cạnh huyền AC nên ta có

M là trung điểm của AC nên A(8;0) AB đi qua A và K nên AB y : 0

Vì BABBCnên tọa độ của B là nghiệm của hệ 2 4 0  2;0

0

x y

B y

x + 2y – 5 = 0, trọng tâm G(3; 2) Viết phương trình đường thẳng BC

Định hướng:

Xác định được tọa độ của A là giao của AB và AC

Ta đã biết phương trình các đường thẳng AB, AC nên ta biểu diễn được tọa độ của B và C theo tham số Kết hợp với biểu thức tọa độ trọng tâm ta xác định được các tham số Từ đó xác định tọa độ của B và C Suy ra phương trình của BC

Vì B thuộc AB, C thuộc AC nên B(b ; b - 2), C(5 – 2c ; c)

cao qua A lần lượt có phương trình 7x – 2y – 3 = 0, 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC

Định hướng:

Hai đường thẳng qua A đã biết phương trình nên ta xác định được tọa độ điểm A Tọa độ trung điểm M của

Khi đó ta xác định được tọa độ trung điểm N của BC là giao của BC và trung tuyến kẻ từ A Tiếp theo viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và song song với đường trung bình MN

Lời giải.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC, N là trung điểm của BC

Ta có A là giao của AH và AN nên tọa độ của A là nghiệm của hệ 7 2 3 0 1 (1;2)

Đường thẳng BC qua B và nhận vectơ chỉ phương u (1;6)

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình1(x 3) 6( y2) 0 x6y90

N là giao của BC và AN nên tọa độ của N là nghiệm của hệ

M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN // AC

Đường thẳng AC đi qua A và nhận 2; 3

2) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

CC’ lân lượt là x + y – 6 = 0, 2x – y + 3 = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

+ Đường thẳng AB đi qua A và có vectơ chỉ phương 34; 2

Biết đường thẳng BG có phương trình: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng CG: x – 1 = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Định hướng:

Trước hết ta xác định ngay được tọa độ điểm G

Vì các đường đi qua các đỉnh của tam giác đã biết phương trình nên ta nghĩ đến việc biểu diễn tọa độ các đỉnh theo tham số Sử dụng biểu thức tọa độ trọng tâm ta sẻ có hai phương trình, kết hợp với quan hệ vuông góc của

AH và BC ta có thêm một phương trình nữa Ta sẽ giải được tham số Từ đó lấy tọa độ các đỉnh và viết được phương trình các cạnh của tam giác ABC

Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có G(-2; 0) và phương trình các đường thẳng AB, AC lần lượt

là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y – 2 = 0 Viết phương trình BC

Định hướng:

A là giao của hai đường thẳng đã có phương trình nên ta xác định ngay được tọa độ của A

Vì AB, AC đã biết phương trình nên ta có thể biễu diễn tọa độ của B và C theo tham số Kết hợp với biểu thức tọa độ trọng tâm ta xác định được tham số Từ đó viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và C

Vì B, C lần lượt thuộc AB và AC nên B(b ; -4b - 14), C( 1 – 5c;2c)

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên