CHƯƠNG 1 kỹ THUẬT và PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN HÌNH OXY

CHƯƠNG 1 KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY Phương trình đường tròn có tâm bán kính R là Phương trình đường tròn có thể được viết dưới dạng , trong đó Ngược lại phương trình là phương trìn[.]

 Phương trình đường tròn có tâm I a b ;  bán kính R là x a y b  R2

 Phương trình đường tròn x a2y b 2 R2 có thể được viết dưới dạng

x     c , trong đó ca 2 b2 R2 Ngược lại phương trình

x     c là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a 2 b2 c0

 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M x y 0; 0:

x0 a x x0  y0 b y y00

 Thí dụ 3.1 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng  : x + 3y - 1 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2 10

Lời giải Gọi H là trung điểm của EF Ta có IH  EF vì vậy tam giác IEH vuông tại H

2

EF

 , Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  là d(I, ) = 10

Bán kính của đường tròn R = IE =

Phương trình đường tròn là : (x – 2)2 + (y – 3)2 = 20

 Bài tập tương tự

1) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0 , đi qua điểm M(1;- 3) và cắt đường thẳng : x + y + 4 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2

ĐS

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M6;2 và đường tròn   C : x12y  22 5 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  10.

ĐS x 3y0; x3y 120

 Thí dụ 3.2 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x +

y + 1 = 0 , đi qua điểm M(3; 0) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 13 = 0

Lời giải Gọi tâm đường tròn là I(a; - a – 1)  d Ta có

IM = d(I; )  (a – 3)2 + (- a – 1)2 = |3 1 13|

10

a a

    

 a= 2 v a = - 3

Với a = 2 ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10

Phương trình đường tròn là : (x – 2)2 + (y + 3)2 = 10

Với a = - 3 ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85

Phương trình đường tròn là : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 85

 Bài tập tương tự

1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 =

0 và tiếp xúc với đường thẳng : 3x – 4y – 15 – 0 tại điểm M(1; - 3)

ĐS x 22y– 12 25 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 2 =

0 và tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y – 13 = 0, 2: x + 2y – 7 = 0

ĐS x– 12y– 12 20

 Thí dụ 3.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2 2

4 :

C x y  và các điểm 1; 8 ,

3

A  

  B3;0 Tìm tọa độ điểm M thuộc  C sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 20

3

Lời giải Giả sử M x y 0; 0, ta có   2 2  

M C  x y 

2

MAB

S  d M AB AB , trong đó 10, : 4 3 12 0

3

Suy ra dM,A B 4 4x 0 3y0 12 20  2

Từ (1) và (2) ta có hệ

4

3 12

y x







 

 



Giải hệ trên ta tìm được M  2;0 và 14 48;

25 75

M 

 Bài tập tương tự

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x 12y12 8 và đường thẳng

4 :x 2y  0

   Xác định tọa độ điểm M trên đường tròn (C), biết khoảng cách từ M đến đường thẳng  bằng 5

ĐS M3; 1  và 9 7;

5 5

M 

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x1 y2 5 và hai điểm A  2;0 , B2; 6   Xác định tọa độ điểm M thuộc đường tròn (C), biết diện tích tam giác MAB bằng 13

ĐS M3; 1  và 11 29;

13 13

M 

 

 Thí dụ 3.4 Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn

  C : x42y124 qua đường thẳng :x y 1 0

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I  4;1, bán kính R=2

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), suy ra I’ đối xứng I qua 

Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với  là d x: y30

Giao điểm của  và d là J2; 1  I' 0; 3  

Hay phương trình đường tròn (C’) là

  2  2

 Bài tập tương tự

1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường

tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C): x2 + y2 –

8x + 2y – 8 = 0 qua trục Ox

ĐS x– 42y– 12 25

2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 qua gốc toạ độ O

ĐS x 32y 22 16

 Thí dụ 3.5 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn   C : x 22y 32 2 và

C' : x 12y 22 8 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’)

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I2;3 , bán kính R  2 và đường tròn (C’) có tâm I' 1;2  bán kính ' 2 2

R  nên II' 2R R'  (C) và (C’) tiếp xúc trong tại điểm M là nghiệm của hệ

3;4

2 8

M









Suy ra tuyeetp tuyến chung của hai đường tròn (C) và (C’) qua M và nhận véctơ II  ' 1; 1 

làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình xy 70

 Bài tập tương tự

1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

C x y  y  và   2 2

ĐS x 20; 3x 4y140; 3x 4y 60; 7x24y740

2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

C x y  y  và   2 2

ĐS 2xy 2 3 5 0;y20; 4x 3y 90

 Thí dụ 3.6 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình

x 22y12 8 và điểm A thuộc đường thẳng d x:  2y30 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết rằng BD 2AC và hoành độ điểm A không nhỏ hơn 2

Lời giải

Trong tam giác IAB có

8 4

IA IB IH  IA 

10

2 10

IA IB

 



 





Giả sử A2a3;a từ 10 2

2

A

IA

a x







 



 hay A1;2 Suy ra C3; 4 

Phương trình đường thẳng BD: x-3y-5=0 Kết hợp với IBID2 10 Tọa độ các điểm B, D là

nghiệm của hệ phương trình

 2  2

4; 3

  





 

 Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là A1;2 , B8;1 , C3; 4 ,  D4; 3  hoặc

1;2 ,  4; 3 , 3; 4 , 8;1

 Bài tập tương tự

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn

  C : x 22y  32 10 Xác định tọa độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm M  3; 2  và điểm A có hoành độ dương

ĐS A6;1 , C  2;5 

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x 12y12 2 và hai điểm A0; 4 , 

4;0 

B Tìm tọa độ hai điểm C và D sao cho đường tròn (C) nội tiếp hình thang ABCD có đáy là

AB và CD

ĐS 1 1; , 1; 1

C  D  

 Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C1 : x12y 22 9 và

C2 : x22y102 4 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm A thuộc

C1, điểm C thuộc C2 và các đỉnh ,B D thuộc đường thẳng x y60

Lời giải.

Gọi C'1 đối xứng với C1 qua đường thẳng

d Do AC1 CC'1

Phương trình đường thẳng qua I11;2 và

vuông góc với d là d1:xy 30

2 2

Ed d E 

  , suy ra tâm đường tròn C1 là I1'4;7 Hay phương

trình đường tròn C'1 : x42y 72 9

Từ đó suy ra tọa độ điểm 5;10

2

C 

  và 19 7;

10 2

A 

  Giả sử B b b ; 6 , D d d ; 6, suy ra trung điểm I của BD là ; 12

b d b d

I    

Lại do d

I

D













10; , ;

; ,D 10;

B

 



 



2

: 4

C x y  

điểm A2;3 , B6;6  Gọi M, N là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn  C sao cho các

đường thẳng AM và BN cắt nhau tại ,H AN và BM cắt nhau tại C Tìm tọa độ điểm C, biết tọa độ điểm 4;5

2

H 

 

Lời giải.

Nhận thấy A B,  C và 5

2

ABR nên AB là đường kính của đường tròn  C , từ đó suy ra











 H là trực tâm tam giác ABC

Vậy bài toán có thể phát biểu lại là “Cho tam giác ABC có

2;3 , 6;6

2

H 

  Xác định tọa độ đỉnh C” Khi

đó ta có:

+) Phương trình đường thẳng AC: 4x7y 290

+) Phương trình đường thẳng BC: -4x+y+18=0

Vậy tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình

4 7 29 0 155 11

;

32 8

C

x y





 Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x12y 12 5 và điểm A4;5 Từ A

kẻ cát tuyến ABC, tiếp tuyến tại B, C cắt nhau ở K Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với IA (I là tâm đường tròn) cắt (C) tại E, F Xác định tọa độ các điểm E, F

Lời giải.

Giả sử K a b ; , suy ra phương trình đường thẳng

EF : 3x4y 3a 4b0 và IK a  1;b1

Giả sử B x y 0; 0, do B C  x012y012 5 1 

Lại có IB x0 a y; 0 b

và

 0 1  0   0 1  0   

IK IB  x  x   y  y  b 

 

Từ (1) và (2) cho ta a 1x0b 1y0 a b  30 hay

phương trình đường thẳng BC là

a1xb1y a b  30

Mà A4;5BC 3a4b12 hay phương trình đường thẳng EF là 3x4y 120

Từ đó suy ra tọa độ các điểm E, F là nghiệm của hệ phương trình









Vậy 16 3; , 0;3

5 5

E  F

  hoặc 0;3 , 16 3;

5 5

 Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn   C : x 2 y3 4 và hai

điểm A2; 1 ,  B2; 5  Một đường kính MN thay đổi sao cho các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ, biết điểm H nằm trên đường thẳng d x: y30

Lời giải.

Nhận thấy AB là đường kính của đường tròn  C

Gọi H' là hình chiếu của H trên PQ, K là hình chiếu của P trên

MQ

Trong tam giác PHQ có HH’ và QK là đường cao  M là

trực tâm

Mặt khác MN là đường kính nên PA vuông góc với AQ, suy ra

AHQ

Xét tam giác NHM có AI song song với MN, I là trung điểm

AI HM AB

Suy ra BA MH

Do M C nên H thuộc đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua

phép tịnh tiến theo véctơ BA 0; 4 

Dễ dàng tìm được

C' : x 22y724

Từ đó suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ  22  72 4

3 0

x y







  



2;

2; 5 5

x

H y









4

4; 7 7

x

H y











giác ABC nội tiếp đường tròn  C và có đường phân giác trong góc A nằm trên đường thẳng

d xy Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng BC đi qua M3; 4 

và điểm A có hoành độ âm

Lời giải

Gọi  T :x2y2 4x2y 200

Tọa độ giao điểm của d và (T) là nghiệm của hệ phương trình 2 2

4 2 20

x y

x

x y

 

  









5

x

y











Vì A là một giao điểm của d và (T) đồng thời A có hoành độ âm, nên A  2;2

Gọi I2; 1  là tâm đường tròn (T)

Gọi D5; 5  là giao điểm thứ hai của d và (T)

Do AD là phân giác trong góc A nên ta có DBDC Suy ra ID

là đường trung trực của BC

Đường thẳng BC qua M3; 4  và nhận ID 3; 4 

làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình 3x 3 4y40 hay

3x 4y 250

Tọa độ các điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình

3 4 25 0

4 2 20 0









7 1

x y





 



3 5 29 5

x y









 

 Vậy 7; 1 , 3; 29

5 5

B  C  

  hoặc 3; 29 , 7; 1 

5 5

B   C 

2

5

: x

C  y  và hai đường thẳng 1:x y0,2:x 7y0 Xác định tọa độ tâm K đường tròn C' tiếp xúc với các đường thẳng  1; 2 và tâm K thuộc đường tròn  C

Lời giải.

Ta có 12O0;0 Gọi A, B lần lượt là hai tiếp

điểm của (C’) với  1, 2

Ta có tam giác OAB cân tại O và K thuộc đường phân giác

của góc AOB

Mặt khác phương trình đường phân giác của góc AOB là

7

2 0

x y

 





Vì K C nên tọa độ điểm K là nghiệm của các hệ

phương trình

 2 2

4 2

5

x y

 









(Vô nghiệm) ;

và

 2 2

8

2 0

5 4

4 2

5

5

y





Vậy 8 4;

5 5

K 

 

Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với  tại A, cắt  tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC

vuông tại B Viết phương trình của đường tròn (T), biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 3

2

và điểm A có hoành độ dương

Lời giải.

Giả sử I là tâm đường tròn (T) Do tam giác ABC vuông tại

2

AC

RAI 

Ta nhận thấy    1 2 O và   0

2

1

4 R  4  R

Giả sử A t ; 3 ,t t 0 Ta có

1

; 1

3

A  

+) Đường thẳng  qua A và vuông góc với 1 có phương trình 3x 3y 40

Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

2

; 3

2

2 3

x

x y

I



  



Do đó phương trình đường tròn (T) là

1 1

3 2











Bài tập tự luyện có đáp số.

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x 42y 12 20 và điểm M3; 1  Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 8 (I là tâm đường tròn)

ĐS :y 1 0 hoặc 4x3y 90

2. (Thi ĐH khối A năm 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đường tròn  C : x2y2– 4 – 2x y0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB

có diện tích bằng 10

ĐS M2; 4  hoặc M  3;1

3. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AO Gọi  C là đường tròn tâm A, đường kính OD Tiếp tuyến tại D cắt CA tại E  8;8 Đường thẳng vuông góc với ED tại

E và đường thẳng đi qua A, vuông góc với EB cắt nhau tại M  8; 2  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết đường thẳng BE có phương trình 4x3y80

ĐS x 32y2 25

4. (Thi thử ĐH năm 2013 – THPT Đặng Thúc Hứa, Nghệ An)Trong mặt phẳng Oxy, cho hình

chữ nhật ABCD có các cạnh AB, DA tiếp xúc với đường tròn   C : x22y 324, đường chéo AC cắt  C tại các điểm 16 23;

5 5

M 

  và N thuộc trục Oy Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm A có hoành độ âm, điểm D có hoành độ dương và diện tích tam giác AND bằng 10

ĐS A4;5 , B4;0 , C6;0 , D6;5 

5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn    2  2 25

2

C x  y  Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông, biết các cạnh của hình vuông tiếp xúc với đường tròn

 C tại trung điểm mỗi cạnh và một đỉnh hình vuông thuộc đường thẳng d: 3x4y200.

ĐS 7xy300;x 7y 100;x 7y400;7xy 200

6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2y2 2x4y 200 và hai đường thẳng

d xy  d2: 2xy0 Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc với ( )C tại ,A cắt

1,

d d2 lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC

ĐS : 3x4y 200 và  :x 6  0.

7. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1:xy10,d2:x y 1 0 Lập phương trình đường tròn  C cắt d1 tại A và d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC là tam giác đều và có diện tích bằng 24 3

ĐS x 22y12 32 hoặc x22y 3232

8. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có B3;4, đỉnh C thuộc đường thẳng :xy50 Gọi (T) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC và BC lần lượt tại E, F và D Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC, biết K2; 3  là giao điểm của BI và EF

ĐS x 62y2 25

9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn   T : x 22y 22 4 và

T' : x 62y 22 20 Gọi A là giao điểm của hai đường tròn có tung độ dương Viết phương trình dường thẳng  đi qua A cắt đường tròn   T , T' theo hai dây cung phân biệt có

độ dài bằng nhau

ĐS :x y 20

10.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I1;2, bán kính R 5 Chân đường cao kẻ từ B và C lần lượt là H3;3 và K0; 1  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết điểm A có tung độ dương

ĐS 7  32 25.

2

 

 

 

các đường thẳng d1: 2x y 20,d2: 2xy 20 Viết phương trình đường tròn  C có tâm I sao cho

 C cắt d1 tại ,A B và cắt d2 tại ,C D thỏa mãn AB2CD2165AB CD

Định hướng:

Yêu cầu bài toán viết phương trình đường tròn đã có tọa độ tâm I Công việc còn lại xác định bán kính Giả thiết bài toán cho biết phương trình đường thẳng và hệ thức độ dài đoạn thẳng Nên ta cần thiết lập phương trình liên hệ giữa độ dài dây cung và khoảng cách từ tâm I đến các đường thẳng đường thẳng

Lời giải:

Gọi hình chiếu của I trên d d1, 2 lần lượt là ,E F Khi đó  ; 1  ;d2

;

Gọi R là bán kính của đường tròn  C cần tìm với 6

5

5

5

2R 4 5R 4 5R 36 21R 184R 128 0 R 8

2 2

R

 

Vậy phương trình đường tròn ( )C cần tìm là ( ) : (C x 2)2(y 4)2 8

  2 2

C x y  x y  Tìm tọa độ điểm Md sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA MB,

thỏa mãn khoảng cách từ 0;1

2

N 

  đến đường thẳng AB là lớn nhất

Định hướng: