CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY H SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG I SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài 1 Trong[.]
Trang 1H SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG.
I SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG.
Một số kiến thức cần nhớ.
Bài tập vận dụng.
Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A2;3, tâm đường tròn ngoại tiếp I(6;6), tâm đường tròn nội tiếp là K(4;5) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC
Định hướng:
-Phát hiện và chứng minh Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp ta có
DBDCDK nên điểm B C, thuộc đường tròn tâm D bán kính
50
-Viết phương trình đường phân giác trong góc A ,phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra tọa độ D
-Viết phương trình đường tròn tâm D , bán kính DK
Suy ra tọa độ B C, là giao của hai đường tròn
Lời giải.
Từ giả thiết ta suy ra phương trình đường phân giác trong góc A là: AK x: y 1 0
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 2 2
(x 6) (y 6) 25 Gọi D là giao điểm của phân giác trong với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì tọa độ điểm D phải thỏa mãn hệ phương trình: 21 0 2 (9;10)
x y
D
Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp ta có DBDCDK nên điểm B C, thuộc đường tròn tâm D bán kính DK 50
Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm B C, phải thỏa mãn hệ:
;
Hay B2;9 , C10;3 hoặc B10;3 , C2;9
Trang 2M là trung điểm của AB Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng BC là ( 1 8; )
5 5
Tìm tọa độ các đỉnh B C,
Định hướng:
-Phát hiện và chứng minh KHKA
- Gọi H x y( ; ) Ta có AH KH. 0 H B
- Viết phương trình BC, AC Từ đó suy ra tọa độ điểm C
Lời giải:
Từ giả thiết ta suy ra tam giác AMC vuông cân tại A Mặt khác tứ giác
AMKC nội tiếp, ta suy ra 0
45
ACMAKM Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của A lên BC thì 0
45
HAK AKM nên tam giác AHK vuông cân tại H
Gọi ( ; ) ( 3; ), ( 1; 8)
H x y AH x y KH x y
Ta có
3
AH KH
+ Nếu 3; 4
H
thì ( 1;4)B
Khi đó phương trình đường thẳng BC là 3xy 10 ; phương trình đường thẳng AC là x y 30
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 3 1 1; 2
3 0
x y
C
x y
+ Nếu 11 12;
5 5
H
tương tự ta tìm được 13 4; , 17 14;
B C
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phương trình đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng chứa cạnh BC lần lượt là 3x5y 20 và x y 20 Đường thẳng qua A, vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D2; 2 Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đỉnh B có tung độ âm
Định hướng :
-Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của
BC và AD, E là giao điểm của AC và BH, viết phương trình AD Tìm tọa
độ A, K, M
Trang 3-Chứng minh K là trung điểm của HD, suy ra H.
-Tham số hóa tọa độ điểm B C
, Từ
HBAC HB AC B
Lời giải :
Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của AC
và BH
Ta có phương trình đường thẳng AD: x+y=0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 3 5 2 0 1;1
0
A
x y
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 0 1; 1
2 0
x y
K
x y
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 3 5 2 0 3; 1
2 0
M
x y
Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK KCE, KCEBDA BHK BDK K là trung điểm HD, từ đó suy
ra H0;0
Từ BB C Bb;b 2, M là trung điểm BC suy ra C3 b;1 b
0
1
lo¹i
Vậy A1;1 , B0; 2 , C3;1
Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, BM là đường trung tuyến Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại E2;1, trọng tâm tam giác ABC là
2;2
G Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Định hướng:
- Phát hiện và chứng minh HG = GE nên G là trung điểm HE suy ra H
-Viết phương trình đường thẳng HE, AB
-Tham số hóa tọa độ A, từ HG HA 0 A
-Viết phương trình AF, BC.Suy ra tọa độ điểm B
Tham số hóa C, từ AB AC. 0 C
Lời giải.
Trang 4Gọi AF là đường trung tuyến góc A AF BE
Xét tam giác ABE có BM AE G
là trực tâm tam giác ABE
Ta lại có
90 90
o
o
là trung điểm HE suy ra H2;3
+) Phương trình đường thẳng HE: x-2=0
+) Phương trình đường thẳng AB: y-3=0
Giả sử A a ;3, từ HG HA 0 a 3 A3;3
+) Phương trình đường thẳng AF:x-y=0
+) Phương trình đường thẳng BC: x+y-3=0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 3 0 0;3
3 0
y
B
x y
Giả sử C3 c c; , từ AB AC 0 c 0 C3;0
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A3;3 , B0;3 , C3;0
Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và CB=CD Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE AB Phương trình cạnh BC x: 3y130; phương trình đường chéo AC x: y 10 Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hoành độ nhỏ hơn 3 và E14;1
Định hướng:
-Phát hiện và chứng minh CA = CE
-Tham số hóa tọa độ điểm A, từ CA=CE Suy ra A
-Nhận xét CE vuông góc AC từ đó suy ra AE vuông góc AB
-Viết phương trình AB, suy ra tọa độ điểm B
Lời giải.
- Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 3 13 8;7
1
C
x y
Trang 5- Ta có ABCEDC CACE.
Giả sử A a a ; 1, từ 82 36 2 2;1
14 3
a
a
- Lại có CE 6; 6 , u AC1;1 CE u AC 0 CEAC
Từ ABCEDC ACBDCE nên DCBACE900 EAB900 AE AB
- Đường thẳng AB qua A và nhận véc-tơ AE12;0
làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 20
- Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 2;5
x
B
Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm A1;3 Biết điểm
6;4
M thuộc cạnh BC và 17 9;
2 2
N
thuộc đường thẳng DC Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD
Định hướng :
-Viết phương trình AE, tham số hóa tọa độ điểm E
-Phát hiện và chứng minh AE = AM Từ đó suy ra E
- Viết phương trình đường thẳng DC,AD Suy ra D
- Viết phương trình đường thẳng BC Suy ra C
-Viết phương trình đường thẳng AB Suy ra B
Lời giải.
Qua A dựng đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại E, ta có:
- Phương trình đường thẳng AE: 5xy8
- Giả sử E e ;8 5 e ABMADE g c g AEAM
2
e
e
+) Với e 0 E0;8
- Phương trình đường thẳng DC: 7x17y136
- Phương trình đường thẳng AD: 17x 7y4
Trang 6Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 7 17 136 34 90;
13 13
D
- Phương trình đường thẳng BC: 17x 7y74
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 7 17 136 85 69;
13 13
C
- Phương trình đường thẳng AB: 7x17y58
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 7 17 58 64 18;
13 13
B
+) Với e 2 E2; 2
- Phương trình đường thẳng DC: x y4; phương trình đường thẳng AD: xy4
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 4 4;0
4
x y
D
x y
- Phương trình đường thẳng BC: xy10 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 10 7;3
4
x y
C
x y
- Phương trình đường thẳng AB: x y2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4;6
10
x y
B
x y
Cả hai trường hợp trên ta đều kiểm tra được rằng CB kCM k, 0
nghĩa là M nằm trên cạnh BC
Vậy 64 18; ; 85 69; ; 34 90;
B C D
hoặc B4;6 ; C7;3 ; D4;0
Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi E là trung điểm của AD, hình chiếu vuông góc của B lên CE là 11; 2 ;
H
M
là trung điểm của BH Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm A có hoành độ âm
Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm B Chứng minh AM vuông góc BH, viết phương trình AM
- Tham số hóa tọa độ điểm A, tính được độ dài BA, suy ra A
-Viết phương trình BC, suy ra F C D
Lời giải
Do M là trung điểm của BH nên B 1; 2
Trang 7Gọi F là trung điểm của BC, ta có / /
/ /
A, M, F thẳng hàng và AMBH do BH CE Đường thẳng AM qua M và nhận véc-tơ HM làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình AM: 2xy0
Xét tam giác vuông ABF với đường cao BM, ta có 1 2 12 12 52 BA 5BM 4
1
5
a
a
Đường thẳng BC qua B và nhận véc-tơ AB0; 4
làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình y 2 0 Tọa
độ điểm F là nghiệm của hệ 2 1; 2
y
F
x y
Suy ra C3; 2 và D3;2
Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD3BC và hai đường chéo vuông góc với nhau Đường thẳng BD có phương trình x2y 60, trực tâm của tam giác ABD là
3;2
H Xác định tọa độ các đỉnh C và D
Định hướng:
-Gọi I là giao điểm của BD và AC Viết phương trình đường thẳng AC Suy ra tọa độ điểm I
-Chứng minh I trung điểm của HC và H là trung điểm của AC Từ đó suy ra C, A
-Tính độ dài IH Suy ra điểm B là giao điểm của BD và đường tròn tâm I bán kính IH.
Lời giải.
Gọi I là giao điểm của BD và AC
Đường thẳng AC qua H và vuông góc với BD nên có phương
trình 2x y8
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 2 8 2;4
x y
I
ABCD
là hình thang cân IBIC HBC vuông cân
I
là trung điểm của HC (1)
Gọi E là giao điểm của BH và AD, ta có
/ /
tứ giác ABCE là hình bình hành H là trung điểm của AC (2)
Trang 8Từ (1) và (2) suy ra C1;6 , A5; 2 Điểm B là giao điểm của BD và đường tròn tâm I bán kính
5
IH , nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
2 2
;
Lại có AD 3BC nên khi B4;5 D4;1 và khi B0;3 D8;7
Bài 06 Trong mặt phẳng Oxy, Cho hình thoi ABCD có A(1;5) Gọi R và r lần lượt là bán kính của đường tròn
ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC, biết 12 12 4
25
R r và phương trình một đường chéo là x 2y40 Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết B có hoành độ dương
Lời giải.
Ta thấy A không nằm trên đường thẳng có phương trình x 2y40nên BD: x 2y40
I là hình chiểu của A lên BD nên I(2;3) suy ra C(3;1)
Gọi a là cạnh của hình thoi Trước hết ta chứng minh 12 12 42
R r a Đường trung trực của AB cắt AC tại P và BD tại Q Khi đó P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ABC Gọi H là trung điểm AB và K là điểm đối xứng với P qua AB Ta có KB/ /AC KBABAI
Do BAIABI900 KBAABI900 KBQ900
Xét tam giác KBQ ta có 12 12 1 2 12 12 42
BK BQ BH R r a suy ra a 5
5
t
t
Với t 1 B( 2;1) (loại)
Với t 5 B(6;5) và I(2;3) là trung điểm BD nên D(-2;1)
Vậy B(6;5), C(3;1), D(-2;1)
Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC với AK, CD là hai đường cao ( DAB K, BC ) và H là trực tâm tam giác ABC Biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK: (x 2)2y2 5, trung điểm của AC là M(7;5) Tìm toạ độ các điểm A, B, C biết BC đi qua điểm Q(1;4) và hoành độ điểm D lớn hơn 3
Trang 9Định hướng:
Giả sử I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH
Dự đoán và dễ dàng chứng minh được các tam giác DMI, KMI là các tam giác vuông Từ đó tính được MH,
MK Viết đường tròn tâm M bán kính MD Xác định tọa độ các đỉnh D và K là giao của hai đường tròn đã biết phương trình Tiếp theo ta viết đường thẳng BC đi qua Q và K Xác định được tọa độ của B, C là giao của
đường thẳng và đường tròn, sử dụng tính chất trung điểm ta suy ra tọa độ của A
Lời giải.
Ta có ADCAKC90o suy ra các điểm A, D, K, C thuộc đường tròn (T) đường kính AC
Gọi I là trung điểm của BH Ta có BDHBKH 90o suy ra các điểm B, D, H, K thuộc đường tròn đường kính AC Suy ra I(2; 0) và DK = 5
Vì BH vuông góc với AC nên IBD DAM90o, kết hợp với
IBD IDB
suy ra IDBADM90o
suy ra IDM90o MD2 IM2 IK2(7 2) 2(5 0) 2 545 MD3 5
Đường tròn tâm (T) có tâm M và bán kính MD nên có phương trình (x 7)2(y 5)245
D và K thuộc các đường tròn (T) và đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK nên có tọa độ là nghiệm của hệ
Kết hợp với D có hoành độ lớn hơn 3 ta được D(4; -1), K(1; 2)
BC đi qua K và có vectơ chỉ phương là KQ (0;2)
nên có phương trình x – 1 = 0
Vì M là trung điểm của AC nên A(13; 2)
Vậy A(13; 2), B(1; - 2), C(1; 8)
Bài 40 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(6;6), trên tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm
N sao cho BM=CN; Biết đường trung trực của MN là d: x 90 và phân giác trong AD của góc A có phương trình là x y 1 0 và Q(14;0)BC Xác định tọa độ các điểm A, B, C, biết x B 4
Định hướng:
Trang 10Xác định ngay được tọa độ giao điểm P của AD và d Dự đoán và chứng minh P là điểm chính của cung BC Khi đó viết phương trình của đường thẳng BC qua Q và vuông góc với IP Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IP Từ đó xác định được tọa độ của A, B, C
Lời giải.
Gọi P là giao của AD và d Tọa độ của P là nghiệm của hệ 9 0 9 (9;10)
P
Kẻ PH AB tại H, PK AC tại K
Vì AP là phân giác của góc BAC nên PH = PK Kết hợp với PM = PN (do d là trung trực của MN) ta suy ra các tam giác vuông HPM và KPN bằng nhau HPM KPNvà HMPKNP hay BMPCNP Kết hợp với MB = CN, PM = PN suy ra BMPCNP(c- g - c) Suy ra PB = PC vàBPM CPN BPHCPK
Mà AHPACP90o90o 180o tứ giác HACP nội tiếp HAKHPK 180o
suy ra tứ giác ABPC nội tiếp
Kết hợp với PB = PC suy ra P là điểm chính giữa của cung BC
Đường tròn (T) ngoại tiếp tứ giác ABPC có tâm I(6; 6) và bán kính IP (9 6) 2(10 6) 2 5 nên có
phương trình (x 6)2(y 6)225
A thuộc (T) và AD nên tọa độ của A thỏa mãn hệ
1 0
x y
Đường thẳng BC đi qua Q và có vectơ pháp tuyến IP (3;4)
nên có phương trình 3(x 14) 4( y 0) 0 3x4y 420
B, C là giao của BC và (T) nên có tọa độ thỏa mãn hệ 3 42 42 02 2, 9
Mà x B 4
nên B(2;9), C(10;3)
Vậy A(2;3), B(2;9), C(10;3)
Bài 53 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH, trung tuyến AM lần lượt là x –
2y – 13 = 0, 13x – 6y – 9 = 0 Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(- 5; 1) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Định hướng:
Trang 11Vì hai đường thẳng qua A đã biết phương trình nên ta xác định ngay được tọa độ của A Ta nhận thấy IM qua
M và song song với AH nên viết ngay được phương trình của IM Xác định tọa độ của M là giao cuar AM và
IM Lúc này ta viết phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH Tiếp theo tìm tọa độ điểm
B và C dựa vào yếu tố độ dài các đoạn IA, IB, IC bằng nhau
Lời giải.
A là giao của AH và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 13 0 3 ( 3; 8)
A
Đường thẳng IM qua I và song song vơi AH nên có phương trình 1(x5) 2( y1) 0 x 2y70
M là giao của Am và IM nên tọa độ của M là nghiệm của hệ 2 7 0 3 (3;5)
M
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình
2(x3) 1( y 5) 0 2xy 110
B thuộc BC nên B(b; 11 – 2b)
4 (4;3), (2;7)
Vậy A(-3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A(-3; -8), B(4; 3), C(2;7)
Bài 54 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;5) Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác lần lượt là I(2;2) và K 5;3
2
Tìm toạ độ các đỉnh B và C của tam giác
Định hướng:
Ta xác định ngay được tọa độ điểm D là giao điểm thứ hai của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Dự đoán và chứng minh DB = DI =DI Từ đó viết phương trình đường tròn tâm D bán kính DI Tiếp theo xác định tọa độ của B và C là giao của hai đường tròn
Lờigiải: Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm K 5;3
2
, bán kính R = AK = 5
2 là
2
2
3
Phân giác AI có phương trình là 3x + y – 8 = 0
Gọi D = AI Ç (K) toạ độ điểm D là thỏa mãn hệ