CHƯƠNG i kỹ THUẬT và PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN HÌNH OXY

CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY G SỬ DỤNG TÍNH VUÔNG GÓC Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông ABCD Gọi là trung điểm c[.]

AN AC Xác định tọa độ các đỉnh của hìnhvuông ABCD, biết D nằm trên đường thẳng x y 30

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm F là trung

điểm đoạn DI Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực

tâm tam giác NDC nên CFDN Mà CF/ /MN nên DN MN

AC Biết điểm    

Suy ra tọa độ điểm H A Từ đó tìm được D

-Phát hiện và chứng minh BM DM Viết phương trình BM, suy ra B

-Gọi I là giao điểm của AC và BD

Gọi E là trung điểm đoạn DH Khi đó tứ giác ABME là hình

bình hành  MEAD nên E là trực tâm tam giác ADM

Phương trình đường thẳng AC x: 2y10; Phương trình đường thẳng DH: 2x y2

Suy ra tọa độ điểm    

Lời giải:

Gọi ,N I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các đường

thẳng CD và CA

Do tam giác IBC vuông tại B và ABAC A là trung điểm của đoạn IC , suy ra D là trọng tâm tam

-Viết phương trình đường thẳng HM M

-Viết phương trình đường thẳng CH

-Gọi N là trung điểm AD, từ NCH N n ;6 2n Lại có AN MN  0 n N  D

Phương trình đường thẳng HM: 4x 3y20 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Do CH / /AM nên phương trình đường thẳng CH: 2xy6

Gọi N là trung điểm AD, từ NCH N n ;6 2n

d x y và A 4;8 Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của

B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N5; 4  

Định hướng:

Phát hiện và chứng minhANCN Viết phương trình đường thẳng CN Suy ra tọa độ điểm C

-Do tứ giác ADMC là hình bình hành, nên AC/ / DM mà

BN DM BN AC Viết phương trình đường thẳng BN Suy ra

điểm B là giao điểm của BN với đường tròn tâm I bán kính R IA

Lời giải

Do tứ giác DBCN nội tiếp, nên , mà (do tứ

giác ABCD là hình chữ nhật) Suy ra  tứ giác ABCN

Điểm B là giao điểm của BN với đường tròn tâm bán kính  5 10

-Phát hiện và chứng minh AHMH Viết phương trình

đường thẳng MH , suy ra tọa độ điểm M

-Viết phương trình đường thẳng DC

Tứ giác BDHM nội tiếp nên

Tứ giác ABMD là hình chữ nhật nên Suy ra hay tứ giác AHMB nội tiếp, mà

Định hướng:

-Phát hiện và chứng minh DGIE

-Viết phương trình đường thẳng DC ,tham số hóa tọa độ điểm

D, từ DN DI  DN DI  0 D

-Viết phương trình đường thẳng AB,AI

Suy ra tọa độ điểm A Từ D là trung điểm AB suy ra B

-Viết phương trình đường thẳng BC Suy ra tọa độ trung điểm

H của BC , suy ra C

Lời giải:

Do DK là đường trung bình tam giác ABC, nên DK//BC

Gọi G là giao điểm của AI và CD, lúc đó AI BC AIDK  AIDE

3

Từ đó suy ra G là trực tâm tam giác DEI hay DGIE

Đường thẳng DC qua M và vuông góc với IE nên có phương trình 3.x

Đường thẳng AI qua I và vuông góc với DE nên có phương trình x y2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ      



7;52

A

Từ D là trung điểm AB suy ra B 1;1

Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AI nên có phương trình  0x y Tọa độ trung điểm H của BC là

Định hướng:

-Phát hiện và chứng minh OAMN

-Viết phương trình đường thẳng OA A

-Viết phương trình đường thẳng AC C

-Tìm tọa độ điểm M, viết phương trình đường thẳng BM B

Lời giải:

Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BM, CN với đường tròn  C

Do tứ giác BCMN nội tiếp nên  MBCCNM , lại có  CJIIBC

(cùng chắn cung IC) do đó CJICNM  MN/ /IJ

A y

-Tứ giác ABEC là hình bình hành, suy ra AC/ /BE

Viết phương trình đường thẳng NE Tham số hóa tọa độ B, ta

Tứ giác ABEC là hình bình hành, suy ra AC/ /BE

Đường thẳng NE qua N và song song với AC nên có phương trình  y 2 0

ABDDCB BAE  ABE ABE tại E hay AI  BD.

Đường thẳng AI qua I và nhận vectơ chỉ phương u BD(1; 5)

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

AH có phương trình 2x – y + 1 = 0 Đường thẳng d đi qua H cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại

P và Q (khác điểm A) thỏa mãn HP = HQ Biết phương trình của d 2x – 3y + 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh

A và B

Định hướng:

Xác định ngay được tọa độ của H là giao của AH và d.

Viết được đường thẳng BC qua C và vuông góc với AH

Dự đoán và chứng minh PQ  HM(Với M là trung điểm của BC) Từ đó viết phương trình đường thẳn MH vàxác định tọa độ của M là giao của BC và HM Suy ra tọa độ của B, và viết đường thẳng AB qua B và vuông góc với HC Xác định tọa độ của A là giao của AH và AB

Đường thẳng BC qua C và nhận vectơ chỉ phương u AH (1;2)

của AH làm vectơ páp tuyến nên có phương trình là x + 2y – 6 = 0

Qua C kẻ đương thẳng song song với d cắt AB

tai N và cắt AH tại K, do HP = HQ nên KC = KN

Gọi M là trung điểm BC  KM // NB  KM  CH

Mà CM  HK  M là trực tâm của tam giác CHK

 HM  CK  HM  d.

Đường thẳng HM qua H và nhận vectơ chỉ phương u  d (3;2)

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 3x + 2y – 9 = 0

M là giao của BC và HM nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A với A(1;2) Gọi H là trung điểm

của BC và D là hình chiếu vuông góc của H lên AC, biết trung điểm của HD là điểm

M  xy  và phương trình đường thẳng BD: xy10 Tìm toạ độ của B, C

Định hướng:

Dự đoán và chứng minh BD vuông góc với AM Khi đó ta viết phương trình của AM qua A và vuông góc với

BD Từ đó xác định tọa độ điểm M Xác định tọa độ của D nhờ tam giác ADM vuông tại D và D thuộc BD Vận dụng tính chất trung điểm ta xác định tọa độ điểm H Tiếp theo ta viết phương trình của BC qua H và vuông góc với AH Lấy tọa độ các điểm B là giao của hai đường BC và BD; tọa độ của C là giao của hai đương BC và AC

Lời giải.

Trước hết ta chứng minh BDAM Thật vậy: Gọi K là trung điểm của CD

Ta có HK là đường trung bình của tam giác CBD nên HK // BD

MK là đường trung bình của tam giác DHC nên MK // HC Mà HC  AH (do tam giác ABC cân tại A) nên

MK AH Kết hợp với HM AK suy ra M là trực tâm của tam giác AHK suy ra AM HK suy ra AM 

BD

Đường thẳng AM qua A và nhận vectơ chỉ phương u BD (1; 1)

của BD làm vectơ pháp tuyến nên có phươngtrình 1(x 1) 1( y 2) 0 x y 1 0

M là giao của AM và  nên tọa độ của M là nghiệm của hệ 1 0 1

TH2: D(-1;2) Vì M là trung điểm của HD suy ra H(-1;-2 ) và AH ( 2; 4)



.Đường thẳng BC đi qua H và có vectơ pháp tuyến là AH ( 2; 4)



nên có phương trình -2( x + 1) – 4(y + 2) = 0

<=> x+2y+ 5=0

B là giao của BD và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ 2 5 0 7

Định hướng:

Từ trực quan hình vẽ ta dự đoán và chứng minh AK vuông góc với AD Xác định tọa độ điểm A là hình chiếucủa A trên phân giác AD Viết được phương trình đường thẳng AB đi qua A và M Dựa vào tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm N đối xứng với M qua AD, khi đó AC đi qua A và C nên ta lập được phương trình của AC Lấy tọa độ của C là giao của AC và d’ Tiếp theo ta xác định được tọa độ điểm F, viết được phương trình đường BF qua F và K Cuối cùng ta xác định tọa độ điểm B là giao của BF và AB

EB

D

đường phân giác trong nên ta có AB BE

AC CF (3) Từ (1), (2) và (3) ta suy ra KB AE

KF AF Suy ra AK // BE Suy

ra AK AD

Đường thẳng AK đi qua K và nhận vectơ chỉ phương của u (0;1)

của AD làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y – 5 = 0

A là giao của AK và AD nên A(1 ; 5)

Đường thẳng AB đi qua A và M nên có phương trình 2 1 2 3 0

CF đi qua C và song song với AK nên có phương trình y + 3 = 0

F là giao của AD và CF nên F(1 ; -3) Suy ra : 3 5 2 1 0

Định hướng:

Dự đoán và chứng minh DEAC Khi đó ta viết AC qua P vuông góc với DE Xác định tọa độ của A và C

là giao của (T) và đường thẳng AC Vận D thuộc DE và tam giác ACD vuông tại D ta xác định được tọa độ của D Từ đó viết phương trình đường thẳng BC qua C và D Xác địn tọa độ của B là giao của BC và (T)

EAK IAC  AIC   ABCBAD (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra EBK BED  BK // DE suy ra DE  AC

Đường thẳng AC qua P(9; 2) và nhận vectơ chỉ phương u DE (1; 2)

của DE làm vectơ pháp tuyên nên có phương trình 1(x 9) 2( y 2) 0 x 2y 50

A, C là giao của (T) và AC nên có tọa độ là ngiệm của hệ

D thuộc DE nên D(t; -1 -2t) suy ra AD(t 7; 2 2 ),  t CD (t1;2 2 ) t

Tam giác ACD vuông tại D nên

Đường thẳng BC đi qua C và D nên có phương trình x + 1 = 0

B là giao của BC và (T) nên tọa độ của B thỏa mãn hệ

D thuộc DE nên D(t; -1 -2t) suy ra AD(t1;2 2 ), t CD (t 7; 2 2 )  t

Tam giác ACD vuông tại D nên

Đường thẳng BC đi qua C và D nên có phương trình x + 1 = 0

B là giao của BC và (T) nên tọa độ của B thỏa mãn hệ

Khi đó AB = 8 < AC = 4 5 (thỏa mãn).

Vậy B(-1;5), C(7; 1)

Bài 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H là hình chiếu vuông góc của A trên BD Biết

M(6; 3), N(5; 0) thứ tự là trung điểm của BH , CD Điểm A thuộc đường thẳng d: 4x- y +5 =0 Xác định toạ độcác đỉnh A, B, C, D

Định hướng

Dự đoán và chứng minh AMMN

Suy ra AM x: 3y150, kết hợp với A thuộc d suy ra A(0;5) Gọi tọa độ điểm B là (a; b) Sử dụng NA =

NB và BH vuông góc với AH ta tìm được B(10; 5)

EM là đường trung bình của tam giác ABH

nên EM // AH Suy ra tam giác EMD vuông tại M

Vậy A(0; 5), B(10; 5), C(10;0), D(0;0).

Bài 44 Cho tam giác ABC với D và E lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các

cạnh AB và AC Biết DE và AB lần lượt có phương trình x 7y 350 và 4x 3y 650 và trung điểm cạnh

BC là điểm (11;11)

2

M Tìm tọa độ các điểm B, C biết hoành độ điểm B lớn hơn 12

Định hướng:

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và HDEBI Dự đoán và chứng minh tam giác BHC

vuông tại H và MH song song với AB Khi đó ta viết phương trình MH qua M và song song với AB, xác định tọa độ của H là giao của DE và MH Biểu diễn tọa độ của B theo tham số và sử dụng MH = MB ta suy ra tọa

độ của B, vận dung M là trung điểm của BC ta lấy tọa độ của C

Lời giải.

M I

  nên tứ giác IEHC nội tiếp  IHC IEC900

Và BHMMBH HBA nên MH//AB ( Nếu điểm H thuộc đoạn DE chứng minh tương tự )

MH đi qua M song song AB nên MH có phương trình 4 3 55 0

2

x y 

Ta có H DEMH nên tọa độ của H là nghiệm của hệ

755

Do hoành độ điểm B lớn hơn 12 nên B(23;9).

Vì M là trung điểm BC nên C(-1;2)

Vậy B(23;9) và C(-1;2)

Bài 48 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (T) có phương trình x2 + y2 – 2x – 4y– 20 = 0 Các điểm K(-1;1), H(2;5) lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnhcủa tam giác ABC, biết rằng đỉnh C có hoành độ dương

loai y

loai y

Đường thẳng BC qua C và K nên có phương trình 1 1

loai y

Bài 56 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có H(1; 1) là chân đường cao kẻ từ A, M(3; 0) là trung điểm của

BC Biết BAH HAM MAC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Dự đoán và chứng minh PD, PK là hai tiếp tuyến của (T)(tức là tam giác IKP vuông tại K, tam giác IPD vuôngtại D) Từ đó ta tìm được toạ độ hai điểm D, K Vấn đề còn lại của bài toán sẻ dễ dàng.

Lời giải:

Đường tròn (T) có tâm I(2;0) và bán kính r = 5 Vì BDH BKH 90o  (T) có đường kính BH => I là trung điểm của BH

Vì H là trực tâm của tam giác nhọn ABC nên IBK PCK 90o (1)

Tam giác AKC vuông tại K , P là trung điểm của AC nên PK PCPA PCK PKC (2)

Lại có IBK IKB (3)

Từ (1), (2) và (3) =>IKB PKC90o  IKP90o =>PK  IP2 IK2  (7 2) 2(5 0) 2 53 5

Đường tròn (S) đường kính AC có tâm P và bán kính PK nên có phương trình (x 7)2(y 5)245

D và K là giao của (T) và (S) nên có tọa độ thỏa mãn hệ

Mà P là trung điểm của AC nên A(13; 2)

AC đi qua D và A nên có phương trình là 4 1 3 7 0

Bài 58 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I M là một điểm nằm

trên đường tròn (I) không trùng với A, B, C Biết (1;4), 2 11;

Bài toán này lấp tính chất ‘đường thẳng Sim Sơn’: Hình chiếu của M trên BC thuộc đường thẳng HK.

Lời giải:

Gọi P là giao điểm của HK và BC

Do các điểm A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn nên HAMBCM (1)

Do các điểm A, H, M, K cùng thuộc một đường tròn nên HAMHKM (2)

Từ (1), (2) suy ra HKM BCM suy ra 4 điểm K, P, C, M cùng thuộc một đường tròn Do

PM

C

A y

Bài toán 5) ( Chế) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có D(1;8) Gọi E là trung điểm của AB.

Đường thẳng qua E vuông góc với BD cắt BC tại F Tìm tọa độ các điểm B, C biết rằng phương trình đường thẳng

AF là 5x+7y-36=0 và điểm E thuộc đường thẳng

 : x+y+3=0, hoành độ điểm A âm ( Trích đề thi HSG Quỳ Hợp 2)

Khi đó DE qua D(1;8) và vuông góc với AF nên DE có PT là :

-7x+5y-33=0 Nên E(-4;1)

Với t=-4 thì A(-4;8) E là trung điểm của AB nên B(-4;-6)

Viết PT đường thẳng CD, BC từ đó suy ra điểm C(1;-6)