CHƯƠNG 1 kỹ THUẬT và PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN HÌNH OXY

CHƯƠNG 1 KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY A Chủ đề 1 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM Phương trình đường thẳng Véctơ được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳ[.]

A Chủ đề 1 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM.

 Phương trình đường thẳng.

 Véctơ n   0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của véctơ n vuông góc với 

 Véctơ u  0

  được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của véctơ u

 song song hoặctrùng với 

 Đường thẳng  đi qua M x y 0; 0 nhận véctơ n A B  ; 

làmvéctơ pháp tuyến có phương trình : AxByAx0By0 gọi là

phương trình tổng quát của đường thẳng 

 Đường thẳng  đi qua M x y 0; 0 nhận véctơ u a b  ; 

 Cho hai đường thẳng 1: a1xb y1 c1 0 và

2:a2 b y2 c2 0

    Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1

và 2 là nghiệm của hệ phương trình 1 1 1  

 Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất x y0; 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A x y 0; 0

 Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau

 Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau

 Phương trình đường tròn.

 Đường tròn  C tâm I a ; b bán kính R 0 có phương trình

x a2y b 2 R2

 Cho đường thẳng :AxBy C 0 và đường tròn

  C : x a2y b 2R2 Tọa độ giao điểm của  và  C là

nghiệm của hệ phương trình  2  2 2  

20

 Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì  tiếp xúc với (C)

 Nếu hệ (2) vô nghiệm thì  không cắt  C

1 Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm.

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3;0

2

M 

  là trung điểm đoạn

AC Phương trình các đường cao AH BK, lần lượt là 2x y20 và 3x 4y130 Xácđịnh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x3y6

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 4 3 6 0;2

  là trung điểm AC suy ra C3; 2 

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x2y 1 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 1  3;1

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A4; 1  phương trìnhđường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x 3y120 và 2x3y0 Xác định tọa

độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

Định hướng:

- Tọa độ điểm  B BHBM

- Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH

Suy ra tọa độ M ACBM C

Lời giải.

Gọi BH BM, lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 3 12 0  3;2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0 6; 4

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M2;0là trung điểm của

AB Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x 2y 30 và

6x y 40 Viết phương trình đường thẳng AC

Gọi AN AH, lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ A

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn 7 2 3 0 1;2

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 7 2 3 0 0; 3

Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C  3; 1 

Khi đó phương trình ta có phương trình đường thẳng AC: 3x 4y50

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phươngtrình xy 40, điểm M  1;1 là trung điểm của đoạn AD Xác định tọa độ các đỉnh củahình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm E  1;1

Đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x y20

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 1;3

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 2  2;0

Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là

Đường thẳng DC đi qua D và vuông góc với BC nên có phương trình x y 20

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 4 3;1

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A  1;2 và tâm

;02

I 

  Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC đi quađiểm M4; 3  

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I

-Viết phương trình BC đi qua C M,

-Viết phương trình AB đi qua A và vuông góc BC

-Suy ra  B ABBC D

Lời giải.

Từ I là trung điểm AC  tọa độ điểm C2; 2 

Phương trình đường thẳng BC x: 2y20

Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BC nên AB: 2x y40

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 0  2;0

-Viết phương trình đường thẳng AB, BC

-Suy ra tọa độ điểm B

Do N là trung điểm DC, suy ra D  1; 4 

M là trung điểm AD, suy ra A  2;1

Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x y3

Đường thẳng BC qua C vuông góc với DC nên có phương trình xy1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3  1;2

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD tâm O Biết phương trìnhđường thẳng AB x:  y50 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng x3y 60,xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AB nên có phương trình xy 30.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 5 0  1;4

Từ M là trung điểm BC  tọa độ điểm C4; 1 

Từ O là trung điểm BC  tọa độ các điểm A4;1 , D1; 4  

-Viết phương trình đường thẳng MN Suy ra  N CNMN

-Viết phương trình đường thẳng AB  B BDAB A

-Viết phương trình đường thẳng BC Suy ra tọa độ điểm

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 7 3 2 0 1; 3

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 6 0  2;4

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trọng tâm 4 1;

3 3

G 

 .Phương trình đường thẳng BC là x 2y 40, phương trình đường thẳng BG là

7x 4y 80 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm B Nhận xét BMBC

-Viết phương trình MN , tìm  N BHMN

-Suy ra C , viết phương trình BC Tìm I

-Viết phương trình AI AC, , suy ra A

Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình :xy 30.

Tọa độ giao điểm NBH  là nghiệm của hệ 3 0 8 1;

Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với BC nên có phương trình x 2y 10

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 2 1 0 1;0

Từ đó suy ra tọa độ điểm C2; 2  và phương trình đường thẳng AC : x - y - 4 = 0

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD AB / /CD Biết tọa độ cácđiểm A8;2 , B4;6 , D6; 8   Xác định tọa độ đỉnh C

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình EF

-Viết phương trình CD , suy ra  F CD EF

Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với AB nên có phương trình xy20

Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình 2 0 0; 2

Từ F là trung điểm CD, suy ra tọa độ điểm C 6; 4 

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Điểm N3;2 là trung điểmcạnh BC, các điểm M  2;2 và P2; 1 lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AMCP.Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

 tứ giác AMCP là hình bình hành Gọi

IMPAC suy ra I là trung điểm của MP 0;1

2

I 

  

 Phương trình đường thẳng AB qua M và song song với NI nên

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 2 4 4;0

Định hướng:

Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC Xác định được tọa độ của A

là giao của AC và d Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ của C Vận dung quan hệ song song giữa d và BC ta viết được phương trình của BC Từ đó xác định được tọa độ đỉnh B là giao của BH

và BC Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đi qua hai điểm đã biết tọa độ

Lời giải.

+ AC đi qua M và vuông góc với BH nên nhận vectơ chỉ phương u BH(1; 1)

của BH làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1(x1) 1( y 1) 0 x y0

A là giao của AC và d nên tọa độ của A là nghiệm của hệ

B là giao của BH và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ 3 0 4 ( 4;1)

2 Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài toán tìm tọa độ điểm.

 Bài 2.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh

 3;2

A  và C3;0 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD

Định hướng:

-Tìm tọa độ trung điểm I của AC

-Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính 1

2

R AC -Viết phương trình đường thẳng BD Suy ra tọa độ B D, là giao điểm của BD và đường tròn

Lời giải.

Trung điểm I của đường chéo AC là I0;1 Đường thẳng

BDđi qua I và nhận véc-tơ AC6; 2 

làm véc-tơ pháp tuyếnnên có phương trình 3x y 1 0

Phương trình đường tròn tâm I, bán kính 10

 Bài 2.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  5;2, chân đường cao

kẻ từ A là điểm H  2; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp 1 1;

3 3

I 

  Tìm tọa độ các đỉnh B và C

Định hướng:

-Viết phương trình đường thẳng BC

-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

-Suy ra tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn

Lời giải.

Đường thẳng BC đi qua H và nhận véc-tơ AH3; 3 

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

 Bài 2.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A  3;0 và

 1; 3

B   Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết đỉnh D có tung độ dương

Định hướng:

-Viết phương trình đường thẳng AD

-Viết phương trình đường tròn tâm A ,bán kính RAB

-Tìm tọa độ điểm D là giao của AD và đường tròn

-Viết phương trình BC CD, Suy ra  C BCCD

Lời giải.

Đường thẳng AD đi qua A và nhận véc-tơ AB2; 3 

làm véc-tơpháp tuyến nên có phương trình 2x 3y60

Đường tròn tâm A bán kính RAB 13 có phương trình

Phương trình đường thẳng DC: 3x2y 40 và phương trình đường thẳng BC: 2x 3y 70

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 3 2 4 0 2; 1

 Bài 2.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của đoạn BC là

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Do M là trung điểm BC, suy ra tọa độ điểm C6; 3 

Đường thẳng AB đi qua B,H nên có phương trình 2x y50

Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK nên có phương trình 6x7y150

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 5 0  1;3

 Bài 2.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  1;3, trung điểm củađoạn BC là 3; 2

2

M  

 , phương trình đường thẳng đi qua chân các đường cao kẻ từ đỉnh B C, là

22x 31y750 Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hoành độ âm và BC  85

Định hướng:

-Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính 1

2

R BC

-Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường tròn

-Viết phương trình AB B là giao của AB và đường tròn Suy ra

R   ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K H, lần lượt là hình chiếu

của B trên AC và của C trên AB) có phương trình  

+) Với H  2;1 phương trình đường thẳng AB: 2x y50.

 Bài 2.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm

I Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K là hình chiếu vuông góc của B trên AI Giả sử

-Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK

-Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácABC:x12y 22 10

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

 

2 2

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

- Tìm tọa độ điểm B H, là giao của BH và đường tròn  C

- Tâm I là trung điểm của AB A

Tâm 5 1;

2 2

I 

  là trung điểm của BC Suy ra A  2;2

Đường thẳng AC đi qua H và vuông góc với BH nên có phương trình xy0

Đường thẳng CD đi qua M và song song với AB nên có phương trình 3x y 40.

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 0 1; 1

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm A là giao của AH AM,

-Gọi M là trung điểm của BC , viết phương trình IM , tìm tọa độ điểm M

-Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 2xy11

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính RIA 85 nên có phương trình

 Bài 2.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm

-Từ diện tích hình chữ nhật suy ra độ dài AD

-Viết phương trình đường tròn đường kính AD

-Tìm tọa độ điểm A D, là giao của đường thẳng AD và đường tròn Suy ra B C,

Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là  2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1         

 Bài 2.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A  1;4, phương trìnhđường thẳng BC x:  y 40 Xác định tọa độ các đỉnh B C, biết tam giác ABC có diện tích bằng

18

Định hướng :

- Viết phương trình AH Suy ra  H AHBC

- Từ diện tích tam giác ABC BC

- Viết phương trình đường tròn tâm H , bán kính 1

x y

Định hướng :

-Nhận xét rằng B   , suy ra AC 

-Viết phương trình BD, tìm  I ACBD Suy ra D

-Từ diện tích hình thoi, suy ra độ dài AC

-Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính RIA

-Tìm tọa độ giao điểm A C,

Lời giải.

Dễ thấy B  AC: 3xy 70 Gọi  I ACBD

Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với AC nên có phương trình x 3y9

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình 3 9 3; 2

Đường tròn tâm I bán kính RIA 10 có phương trình x 32y22 10

Tọa độ các điểm A,C là nghiệm của hệ phương trình

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I2;1 và AC2BD Xácđịnh tọa độ đỉnh B, biết phương trình đường thẳng AB: 4x3y10 và điểm A có hoành độ âm

Định hướng:

-Dựa vào tính chất tam giác vuông IAB và AC2BD , tính IA IB,

-Viết phương trình đường tròn tâm I, đường kính AC

-Tìm tọa độ điểm A là giao của AB và đường tròn đường kính AC

x 22y12 20

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0 1; 1

 Bài 2.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCvuông cân ở A Điểm M1; 1  làtrung điểm của cạnh BC Xác định tọa độ các đỉnh tam giácABC, biết trọng tâm tam giác ABC là2

-Từ tính chất trọng tâm tam giác , suy ra A

-Viết phương trình đường thẳng BC

-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

-Tìm tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Lời giải.

Từ tính chất G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra AG 2GM A0;2

Đường thẳng BC đi qua M, nhận véc-tơ AM1; 3 

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

3 4 0

x y 

Do tam giác ABC vuông cân ở A, nên MBMCMA 10.

Đường tròn tâm M bán kính RMA 10 có phương trình x12y12 10

Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình

 Bài 2.13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn

-Viết phương trình AB Tìm tọa độ A, B là giao của AB và đường tròn (C)

-Viết phương trình BC Tìm tọa độ điểm C là giao của BC và đường tròn (C)

Đường thẳng BC đi qua B và nhận véc-tơ IA làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x  1 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 5 5, tâm 0;1

2

I 

 , trung điểm của đoạn AD là 1; 3