Cong thuc toan hoc Ôn tập toán 10 – 11 12 CÔNG THỨC TOÁN HỌC ( 10 – 11 – 12) Tam thức bậc 2 1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1 1 Tính chất 1 (tính chất bắc cầu) a > b và b > c a > c 1 2 Tính c.
Trang 21 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
Trang 3Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắctrừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.4 Tính chất 4:
a > b a.c > b.c nếu c > 0hoặc a > b c.c < b.c nếu c < 0
Định lí: Nếu và thì Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Trang 4Từ định nghĩa suy ra: với mọi ta có:
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0
|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 =
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 =
Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0
5 Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:
a Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu
b Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì với điểm O bất kì ta có:
6 Trọng tâm tam giác:
nếu x 0nếu x < 0
Trang 57.2 Định lí sin trong tam giác:
Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:
7.3 Công thức độ dài đường trung tuyến:
7.4 Công thức tính diện tích tam giác:
Trang 68 Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:
Trang 710 Công thức biến đổi tổng thành tích:
11.Công thức nhân đôi:
12 Công thức nhân ba:
13 Công thức hạ bậc:
Trang 916 Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc hoặc :
16.1 Hai góc bù nhau:
16.2 Hai góc phụ nhau:
16.3 Hai góc đối nhau:
Trang 1016.4 Hai góc hơn kém nhau :
16.5 Hai góc hơn kém nhau :
16.6 Một số công thức đặc biệt:
17 Phương trình lượng giác:
1 Phương trình cơ bản:
Trang 112 Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
Các phương trình lượng giác
* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1)
* asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2)
* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3)
gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx
Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về ương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình này
ph-3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0
Có ba cách giải loại phương trình này :
Trang 12Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1)
- Do , chia hai vế của phương trình cho :
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1
4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số)Giải phương trình (1) bằng cách đặt :
sinx + cosx = t ,
Đưa (1) về phương trình
Giải phương trình (2) với .
5 Hệ phương trình lượng giác:
1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :
Trang 13Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình tổng tích
18 Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:
18.1 Hoán vị:
+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử
có mặt đúng một lần Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là P n
Trang 14+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương) Một tổ hợp chập k của n phần tử ( ) là một tập con của a gồm k phần tử Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là
+ Công thức:
+ Tính chất:
18.4 Công thức Newton:
Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)n :
19 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:
19.1 Trong mặt phẳng:
Trang 1512.2 Trong không gian:
20 Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:
20.1 Đường thẳng trong mặt phẳng:
a Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0
b Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
Trang 16(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
c Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):
(góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )
e Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):
Trang 17b Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:
là phương trình mặt phẳng có dạng:
22.Cấp số cộng:
+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số
không đổi khác 0 gọi là công sai
+ Tính chất của cấp số cộng :
+ Số hạng tổng quát:
+ Tổng n số hạng đầu:
Trang 18+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng
đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội
Trang 22a (u + v)’ = u’ + v’
b (u – v)’ = u’ – v’
c (u.v)’ = u’.v + u.v’
d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
e
II Nguyên hàm:
1 Bảng các nguyên hàm cơ bản:
STT Hàm số & Nguyên hàm1
2
3
4
5
6
78
9
2 Một số nguyên hàm khác:
Trang 23x-* Hàm Ta có các trường hợp sau :
+ Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và giả sử x1 < x2 Ta có :
= Ta có thể viết như sau :
Trang 24Vậy nguyên hàm là :
Trang 26Vì nên
+ Đặt tiếp : du = costdt .Do đó :
4 Các trường hợp tổng quát cần chú ý :
a Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx
b Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx
c Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :
R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)
d Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx
e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt