Ôn Tập NGUYÊN HÀM pdf

Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản

u là hàm số theo biến x, tức là uu x( )

*Trường hợp đặc biệt uax b a , 0

*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

dx x C

k dxk x C

 , k là hằng số k du k u C 

1

1

x













1 1

u













1

1

ax b

a















1

ln

(ax b )dxa ax b C



x

  

u u

dx  C

 1

2

a



*Nguyên hàm của hàm số mũ

C

e dxe 

a



C

e dx e 



, 0 1

x

a

x

a dx



u u

a du

a



m

mx n a

mx n





*Nguyên hàm của hàm số lượng giác

cos x dxsinxC

a



sin x dx cosx C

a



1

tan 2

cos

x

2 cos u

du u C

2

a

ax b





1

cot 2

sin

x

2 sin

u

2

a

ax b





Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

1

k

kx dx kx C

2

1 cos 2 x dx sin 2x C k



1

k

kx dx  kx C

1

C k

1

1

ax b

a















2 1

.(

1 (2 1)











ln (ax b)dx a ax b C



3x 1dx x C





.2

a

3x5du x C x C



1

a



1

m

mx n a

mx n



2

1

ln 5

x



1 cos(ax b dx) sin(ax b) C

a

1 sin(ax b dx) cos(ax b) C

a

2

a

ax b



2 cos (2 1)

x





2

a

ax b



2 sin (3 1)

x





*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt uax b du.?.dxdx.?.du

cos(ax b dx) sin(ax b) C a



Giải: Đặt ( b dx) ' a dx. dx 1.du

a

uax b du ax   

cos(ax b dx) cos u du cos u du sinu C sin(ax b) C

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất

A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số

Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất

10

9

) ( ) 2 - kq: ( )=

x

2 3

) ( ) 3 1 kq: ( )

ln 3 2

x

2

) ( ) +3 kq: ( ) 2ln 3

) ( ) 2sin kq: ( ) 2cos

cos

) ( )

3

x

x

e f x

3

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số

a f(x) = x2 – 3x +

x

1

ĐS F(x) =

3 3 2

ln

C

  

b f(x) =

4

2

x

x



ĐS F(x) = C

x

x



 3 3

2 3

c f(x) = 1

2

x

x



ĐS F(x) = ln x 1

xC

d f(x) =

2

x

x



ĐS F(x) =

2 3

x

x

e f(x) = x3x4x ĐS F(x) =

4

3

C

f f(x) = 1 2

3

x  x ĐS F(x) = 2 x33 2x C

g f(x) =

2 ( x 1)

x



ĐS F(x) = x4 xln x C

h f(x) = 1

3

x

x



ĐS F(x) =

x x C

2

6

) ( ) 3 4 : ( ) 4

6

) ( ) 5 2 1 : ( )

3

x

x

kq F x   x  x x  x C

* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a b )2 a22ab b 2

Bài 3 : Tìm

) ( 2)( 4) kq: ( ) 8

3

) ( 3)( 1) kq: ( ) 3

2

) 3( 3)







 kq: ( ) 3 9 2 27

) kq: ( ) 5

2

)

x

x







1 4

2

) kq: ( ) 5

2

2

2

( 4)

)

2

x

x x

x

x

x

x











 kq: ( ) 8 ln x 16

x

Bài 4 Tìm

4

) ( 5) kq: ( ) 2 5

7

) ( 2 4 1) kq: ( ) 2

2 2 ) ( 2 )( 1)

x x







kq: ( ) 2

3

) (2 1)(1 ) kq: ( ) ln

x

x

x





Bài 5:

Tìm

) (2.3 4 ) kq: ( )

ln 3 ln 4

) (2 5 ) kq: ( )

ln ln 5 1

) (3 5sin )

a

a x

x





) (2 ) kq: ( ) 2 tan

2 os ) 2 3 kq:

x

x e

x x





ln 3 90 2

) 2 3 5 kq: ( )

ln 90 ) (2 ) kq: 2

)

2

x

x

x

e

h x dx







 kq:

(1 ln 2)2

x

C

x 



Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số

1 2

) sin kq: ( ) ( sin )

2

2

1 2

) cos kq: ( ) ( sin )

2

2

2

x

x

x

x















2 2

) (1 tan ) kq: ( ) tan

2

) (1 cot ) kq: ( ) cot

2

) tan kq:

x









2

) cot kq: ( ) cot

2 ) (tan cot ) kq: ( ) tan cot 4

) (2 tan cot







2 ) kq: ( ) 4 tan cot

1

) kq: ( ) tan cot

sin os

os2

) k

sin os

x c x

x c x







Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng

2 ) '( ) 2 1; (1) 5 kq: f ( ) 3

3 7

2 ) '( ) 2 ; (2) kq: f ( ) 2 1

1 ) '( ) 2; (1) 2 kq: f ( )

2

x

x

x

2

2

) '( ) 4 ; (4) 0 kq: f ( )

3 3

) '( ) 1; (1) 2 kq:

x x

x x x

3 3

f ( )

3 ) '( ) ( 1)( 1) 1; (0) 1 kq: f ( ) 1

3

x

x

Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng

) '( ) ; ( 1) 2, (1) 4 kq: f ( )

3

) '( ) ; (1) 4, (4) 9 kq: f ( )

x x

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đổi biến số

Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)dt u'(x)dx

I =  f[u(x)].u'(x)dx f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ( 5x  dx1 ) 2   5

) 2 3

dx

3  5  2x dx 4  2x dx 1

5 ( 2x2  1 )7xdx 6 (x3 5 )4x2dx 7  x2  1 xdx 8   dx

x

x

5

2

9 



dx x

x

3

2

2

5

3

) 1

x

dx

11 dx

x

x



3

ln

12 x.e x21dx

13 sin4x cos xdx 14  dx

x

x

5

cos

sin

15 cotgxdx 16  tgxdx2 x

cos

17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20  dx

x

e x

21 

 3

x

x

e

dx

e

22  dx

x

e tgx

2

cos 23  1 x 2 dx 24 

 2

dx

25 x2 1 x2.dx 26   2

dx

27 

 2

2

dx x

28  2 1

x x dx

29 cos3xsin2xdx 30 x x 1 dx 31  x  1

e

dx

32 x3 x2  1 dx

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v'(x)dxu(x).v(x)v(x).u'(x)dx

1 x sin xdx 2 x cos xdx 3 (x25)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdx

5 xsin 2xdx 6 xcos 2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx

9 x ln xdx 10 ln2x dx 11 lnxdx x 12 e x dx

x

x

2

cos 14 xtg2xdx 15 sin x dx 16 ln(x2 dx1 )

17 e x cosxdx 18 x3e x2dx 19 xln( 1 x2)dx 20 2x xdx

21 x lg xdx 22 2xln(1x)dx 23   dx

x

x

2

) 1 ln(

24 x2cos2xdx