SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc n...

SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc[.]

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 3

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan 3

2.3.2.Một số bài tập vận dụng ……… 3

2.3.3 Hệ thống bài tập tự luyện………18

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 20

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 21

3.1 Kết luận 21

3.2 Kiến nghị 21

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện

để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp dạy học môn Toán

Từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT Quốc Gia của môn Toán đã có sự thay đổi ( chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm), bước đầu làm cho giáo viên và học sinh thấy bỡ ngỡ Không những vậy,năm học 2018 – 2019 tới đây trong đề thi THPT Quốc gia sẽ có cả phần kiến thức lớp 10, và trong đề thi sẽ có phần BPT vô tỷ, ngoài ra trong đề thi HSG môn Toán của tỉnh Thanh Hóa những năm gần đây cũng có phần này Trước kì thi THPT Quốc gia năm học 2018 – 2019 đến gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa bài thi của mình, từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc nghiệm’’ Hi vọng nó sẽ là tài liệu

tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài

toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất

Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để

học sinh có thể giải gianh, giải chính xác đối với những bài toán có liên quan bất phương trình vô tỷ

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức về BPT vô tỷ

- Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, vectơ…

- Học sinh lớp 10A, 12A năm học 2018 – 2019 trường THPT Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Bất phương trình vô tỷ cơ bản

 

 

 

  2 

0 0 0

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

  



















   

 

 

 

  2 

0 0 0

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

  







  













 

 

  2 

0 0

f x

f x g x





   

 

 

  2 

0 0

f x

f x g x





2.1.2.Tìm tham số để bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Định lý: Cho hàm số y  f x  liên tục trên tập D.

Giả sử trên D tồn tại min  , maxf , nếu không ta cần lập bảng biến

thiên và đưa ra kết luận( m là tham số)

a/ Bất phương trình f x   g m có nghiệm min    

D

b/ Bất phương trình f x   g m có nghiệm maxf   

D

c/ Bất phương trình f x    g m nghiệm đúng max    

D

d/ Bất phương trình f x   g m nghiệm đúng min    

D

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “ Giải một số bài tập bất phương trình

vô tỷ theo hình thức trắc nghiệm” là rất cần thiết vì các lí do sau:

Thứ nhất: Môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thứ tự luận sang

trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất

có thể để tiết kiệm thời gian

Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập phần bất phương trình

vô tỷ thì học sinh cần nắm vững kiến thức về hàm số, vectơ … và nhiều kiến thức có liên quan khác

Trong bài viết này, tôi đưa ra một số bài toán tìm tham số bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc miền cho trước , thấy kết quả đạt tốt và phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan

Biểu thức có biểu thức liên hợp là

Biểu thức có biểu thức liên hợp là

Với hai vectơ bất kì thì , đẳng thức xảy ra khi cùng hướng

 a br r,

Cho hàm số đơn điệu trên miền D

+ Nếu f t  đồng biến trên D thì bất phương trình f u  f v  u v

+ Nếu f t  nghịch biến trên D thì bất phương trình f u  f v  u v

2.3.2 Một số bài tập vận dụng

+) Phương pháp biến đổi tương đương

Với phương pháp biến đổi tương đương, tôi đưa ra một số bài tập ở mức độ thông hiểu và vận dụng để học sinh làm quen và rèn luyện kĩ năng làm bài Cụ

thể:

Bài tập 1 2 : Nghiệm của bất phương trình  

 3

2

1 1

x x





 

Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

Có dạng x a ba b c, ,  Tính

c



 

A 9 B 12 C 17 D 18

Lời giải: Đk: x0

Khi x0 ta có  3

x  x 

2

Kết hợp với điều kiện, ta được 1 5 Chọn đáp án C

2



Bài tập 2 2: Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x 1 3 6x 1 3 2x1

A B C D

1

; 2

2

1

; 2

S    

Lời giải:

Bpt đã cho  3 2x 1 3 2x 1 3 6x1

  2 3 (23 x1) 2 x1 3 2x 1 3 2x 1 6x1

 3 (2x1) 2 x1 3 2x 1 3 2x 1 2x 1 0

3 3  2    3 2

3

2 1 0 1

2

Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;

2

S    

Chọn đáp án D

Từ bất phương trình đã cho, học sinh sẽ đặt điều kiện xác định của bất phương trình(nếu có), sau đó sử dụng các phép biến đổi tương đương để giải bất phương trình Kết hợp với điều kiện ta sẽ suy ra được tập nghiệm của bất phương trình.

+) Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp

Đới với phương pháp này, học sinh cần có kiến thức về biểu thức liên hợp Đồng thời khi nhân và chia với biểu thức liên hợp thì phải tìm điều kiện cho biểu thức liên hợp.

Bài tập 1 5: Tập nghiệm của bất phương trình

2

2

6

x

x

 

A 1;1 B C D

2

 

  4 5 ;  104 5 ;  104 5 ;  Lời giải: Điều kiện: x1 1 

Với  1 , bpt    2

2

2

4

x

 

      2 1 3 0

2

x   1 1 0

2

x    x 1

 

2

2 2

10 4 5 2

10 4 5

20 20 0

10 4 5

x x

x x

x

              





   

Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5

Từ    1 , 2 suy ra: x104 5

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là S 104 5 ;  Chọn đáp án D

Học sinh cần phát hiện ra biểu thức liên hợp của bất phương trình đã cho,sau

khi thực hiện nhân và chia với biểu thức liên hợp ta đưa bất phương trình đã cho

về bất phương trình vô tỷ cơ bản để giải và tìm tập nghiệm của nó.

x    x x x 

là  a b; Tính tích a.b

A 4 B C 2 D.3

3

3 4 Lời giải: Điều kiện: 2 

1 3

x

x

        

 

3

x

5 1 3

2

x

  







3 2

2 3 2

x

  

Nên       x 2 0 x 2 2 

Từ    1 , 2 suy ra: 2

2

3  x

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là 2; 2

3

  

Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5

Chọn đáp án A

Qua bài tập trên ta thấy, sau khi thức hiện liên hợp thì bất phương trình đã cho

có dạng xa f x     0 x a, ( f x  luôn dương trên tập xác định của bất phương trình) Bài tập sau đây kết hợp cả hai phương pháp miền giá trị và phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp để giải bất phương trình.

Bài tập 3 5 : Số nghiệm nguyên của bất phương trình   (*)

2

4

x

x

A 6 B 7 C 8 D 9 Lời giải: Đk: x 1

TH1: Nếu x  1;4 (1), *  luôn đúng

TH2: Nếu x4,thì bpt  2

2

2

x x

 

             

Từ (1) và (2) suy ra: 1  x 8

Chọn đáp án D

4x 1 6x 4 2x 2x3(*)

là  a b; Tính a2 b2

A 1 B 4 C 6 D 2 Lời giải:

4

x 

2

2

2

Tập nghiệm của bpt là S 0;2

Chọn đáp án B

Các bài tập 1, 2, 3 thì biểu thức liên hợp có sẵn trong bất phương trình nhưng ở

bài tập 4 thì ta tìm ra hai nghiệm đẹp đó là x 0,x2sau đó để tìm biểu thức liên hợp của biểu thức 4x1, ta đặt 4x 1 axb và thay hai nghiệm

Bài tập 3, bài tập 4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5

0, 2

tự.

+) Phương pháp miền giá trị

Với phương pháp này, học sinh phải biết cách chia tập xác định của bất phương trình thành các miền nhỏ, sau đó giải bất phương trình trên từng miền và kết hợp nghiệm trên từng miền ta sẽ được tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bài tập 1 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3 1 (*)

3

x x

x



 



A 5 B 4 C 3 D 6

Lời giải:

ĐK: 0 ≤ � ≠ 3

TH1: Nếu 0≤ � < 3 thì 3‒ � > 0 nên (*) �(3 ‒ �) + 3 + � < 3 ‒ �

 x3 x 2x 0 (vô nghiệm) TH2: Nếu x 3 thì 3‒ � < 0 nên (*) �(3 ‒ �) + 3 + � > 3 ‒ �

 

2

10 9 0 1 9

     

      

Kết hợp với điều kiện ta được: 3  x 9

Chọn đáp án A

Bài tập 2 3:Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 2 2x 8 x (*) có

   

dạng a b;    c Tính a b c

A  1 5 B  1 5 C 2 D 0

Lời giải: ĐK: 2  x 0;x2

Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

TH1: Nếu   2 x 0 thì (*) luôn đúngTH2: Nếu x2( vì x2, (*) vô nghiệm) thì (*) x2 2  2x4x x

2

2

1 5( / )

1 5( )

  

 



Tập nghiệm của bất phương trình là S   2;0  1 5

Chọn đáp án A

Bài tập 3 4: Tập nghiệm của bất phương trình

có dạng Tính

x  x  x  x  x a b;  c cb

A B 0 1 C D

3 2 Lời giải: Đk:

1 1

2

x







 Nếu x 1, (*) có dạng: 00(luôn đúng)  x 1 là một nghiệm của (*)

Nếu x2,  *  x 2 2x 1 x1 (vô nghiệm)

Nếu 1,

2

x  *  2x1x  1x1 2 x x 1

2 x 1 2x 1 x 2 x 1 x 1 2x

            

(luôn đúng với )

3 2x 2 x 3x 2 1 2x x 3x 2 1 0

2

x

 

Bài tập 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

Vậy: Tập nghiệm 1  Chọn đáp án B

2

Bài tập 4 4: Tập nghiệm của bất phương trình 1 1 

* 2

x

x

Có dạng a b;   c d;  Tính a  b c d

A 2 B 3 C 1 D 0

Lời giải: ĐK: 1 3

1

x x

  



 



2

TH1: Nếu 1 x 3(1)

 

3

2

x

        

              

Kết hợp với (1) ta được 1 2 7

2

  TH2: Nếu 1  x 1(2)

 

3

2

Kết hợp với (2) ta được:

1

2

3 2

x

x

  









1

2

  

Bài tập 4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;2 7 1;2 7

Chọn đáp án A

Sử dụng phương pháp miền giá trị để giải bất phương trình vô tỷ làm cho lời giải của bài toán rất tự nhiên, có những bài toán trên 1 miền xác định nào đó ta đánh giá được bất phương trình luôn đúng với x , khi đó trên các miền còn lại

ta sẽ xử lý bất phương trình một cách đơn giản rất nhiều.

+) Phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với phương pháp nay, học sinh cần nhận biết được khi nào đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình đa thức, khi nào đặt ẩn phụ để đưa về bpt hai ẩn, hoặc đưa bất phương trình về hệ Chú ý khi đặt ẩn phụ cần có điều kiện của ẩn phụ.

Bài tập 1 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

3 2

3 4 4 1 0

x  x  x x 

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải: ĐK: x 1

3 2

3 1 4 1 0 *

x  x x  x 

TH1: Nếu x 1, (*) trở thành  1 0( luôn đúng)

Vậy x 1 là một nghiệm của bất phương trình (*)

TH2: Nếu x    1 x 1 0,(*) trở thành

      

     

Đặt , bất phương trình có dạng :

1

x

t

x





3 4 0 1 4 4 0

t  t    t t  t  1 1

2

t

t t





     

Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

Với

2

1 0

1 5 0

2

1 0

x x

x x

  





 

         

  





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;1 5

2

Chọn đáp án C

Bài toán trên ta đã kết hợp cả hai phương pháp: miền giá trị và đặt ẩn phụ để giải bất phương trình, từ đó cho ta lời giải rất tự nhiên và ngắn gọn Bài toán sau đây ta sẽ đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình hai biến, cụ thể như sau:

Bài tập 2 3: Tập nghiệm của bất phương trình 2

x  x  x  x

Có dạng   a b;  c d;  Tính b.c

A 1 B 0 C 4 D 2

Lời giải: ĐK: 2 0

4 1 0

x







  



2

2

 





Bất phương trình trở thành: 3 2 2 2 2  

Nếu b     0 a 0 x 1(loại)

b

 

1 0

1

5

4

x

x

  







 Vậy tập nghiệm của bpt là 1  

4

Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

Chọn đáp án A

Bài tập 3 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 4 3 2 3 2 2 1

x



A 2 B 1 C 3 D 5

Lời giải: ĐK: x0

2

* ( ) 1 1 1

1 1

x

x x

Đặt , 0, bất phương trình (*) trở thành

1





 



( Vì a2 ab b 2 a b2 2   0, a 0)

2

0 1

0 1

1

2

3 1 0

x x

x x

 



 





      

Vậy tập nghiệm của bpt là 0;3 5 Chọn đáp án A

2

Qua các ví dụ trên ta thấy, sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ làm cho bất phương trình trở nên đơn giản hơn nhiều,và lời giải cũng ngắn gọn hơn.

+) Phương pháp hàm số

Tôi đưa ra một số bài toán cơ bản vận dụng tính đơn điệu của hàm số, ngoài ra

để học sinh thấy được rằng một bài toán có thể xử lí bằng nhiều cách khác

nhau.Cụ thể:

Bài tập 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5

Bài tập 1 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 4 3 2 3 2 2 1

x



A 2 B 1 C 3 D 5 Lời giải:

ĐK: x0

2

* ( ) 1 1 1

1 1

x

x x

Xét hàm số đặc trương   2 3 trên khoảng

1

t

f t

t



 

4 2 /

2 2

3

1

t



2

f x  f x  x     x x 

Vậy tập nghiệm của bpt là 0;3 5 Chọn đáp án A

2

Bài toán này ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải, và ta cũng đã sử dụng phương pháp hàm số để xử lý bài toán Chúng ta thấy sử dụng phương pháp hàm số lời giải ngắn gọn và rất đơn giản.

Bài tập 2 5: Tập nghiệm của bất phương trình

có dạng Tính

x  x  x  x   x x a b;  a2 b2

A 5 B 10 C 11 D 13

Lời giải: Đk: 1 x 3

         

Xét hàm số đặc trương   2 trên đoạn

2

f t  t   t  0;2

Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5

2

1

2 2

t

t t

Mà: (*) có dạng f x  1 f 3x     x 1 3 x x 2

Kếthợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bpt là S 2;3 Chọn đáp án D

+) Phương pháp vectơ

Đối với phương pháp này, vấn đề mấu chốt là học sinh phải biết chọn tọa độ của hai vectơ và áp dụng tính chất của tích vô hướng của hai vectơ vào bài toán cụ thể

1 3 2 10 16

x x   x  x

của bất phương trình là một số tự nhiên a Khi đó 2 có giá trị bằng

1

A 10 B 15 C 21 D 23

Lời giải:

Đk: x1

       

Xét các vectơ ar x3; x1 ,br  1;1

a br r   x x a br r  x  x

Khi đó bpt a br r  a br r a br r  a br r hai vectơ cùng hướng

5

x

Kết hợp với Đk, bất phương trình có nghiệm duy nhất x5

Chọn đáp án C

Bài tập 2 2: Cho bất phương trình

Biết nghiệm của bất phương

3x x 1 52x  40 34 x10x x

trình là một số tự nhiên b Khi đó, b chia hết cho

Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2