Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các câu hỏi thực tế trong đề toán trắc nghiệm lớp 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
CÁC CÂU HỎI THỰC TẾ TRONG ĐỀ TOÁN
TRẮC NGHIỆM LỚP 12
Người thực hiện : Lê Nguyên Huấn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HÓA NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
Danh mục viết tắt trong sáng kiến kinh nghiệm 2
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 5
2.3 Các giải pháp sử dụng giải quyết vấn đề 5
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
19
Trang 3DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Kí hiệu viết tắt Ý nghĩa
SGK THPT Sách giáo khoa trung học phổ thông
THPT QG Trung học phổ thông quốc gia
Trang 41 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Thực hiện chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước, nghị quyết TW4 khoá VII Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2018-2019
Với xu thế thi trắc nghiệm THPT Quốc gia và sử dụng kiến thức liên môn vào bài học Những câu hỏi ứng dụng liên môn trong đề thi đã làm cho HS lúng túng, hay
bỏ qua hoặc đánh xác suất dẫn đến kết quả không cao
Trong chương trình toán THPT, các kiến thức ứng dụng liên môn thực tế trong bài dạy, bài học còn hạn chế, tài liệu tham khảo ít đề cập đến Câu hỏi dạng này đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng ngoài toán học còn có kiến thức vật
lí, sinh học, hóa học…để giải quyết Đó cũng là khâu khó khăn khi mà các em chưa thể phối hợp đồng bộ liên môn để giải nhanh hoặc vận dụng tìm ra kết quả Những bài toán ứng dụng thực tế cũng là những bài tập vận dụng thấp hoặc vận dụng cao trong đề thi Đặc biệt là thi THPT Quốc gia Trong thực tế các bài toán
về dạng này rất phong phú và đa dạng Các em sẽ gặp một lớp các bài toán về bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, bài toán về lãi xuất ngân hàng, bài toán về vật lí chuyển động, phản ứng hạt nhân, chu kỳ bán rã Bài toán về xác suất trong sinh học Bài toán về tỉ lệ tăng dân số trong địa lí… Đòi hỏi sử dụng phương pháp đạo hàm, công thức liên môn để giải Chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa được gọn gàng, thậm chí còn không có hướng giải quyết Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK THPT hiện hành kiến thức này chỉ giới thiệu, không đi sâu vào bài tâp, bài dạy Khác xa với đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục Ngoài ứng dụng đạo hàm, tích phân, công thức hình học, còn sử dụng nhiều công thức của bộ môn khác như vât lí, hóa, sinh…
Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng, trong quá trình dạy, giáo viên luôn trình bày những kiến thức cơ bản và dần hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh
Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phân môn của toán học phổ thông, trong đó vấn đề giải quyết các câu hỏi ứng dụng thực tế trong đề thi THPT QG cũng là vấn đề nổi cộm của thầy trò trong những năm đầu thi trắc nghiệm toán
Xuất phát từ thực tế trên, tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các câu hỏi thực tế trong đề toán trắc nghiệm lớp 12”
Trang 51.2 Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các dạng toán ứng dụng liên môn, cách giải trong đề thi trắc nghiệm THPT QG
Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất có liên quan
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập nhiều khi đã nhớ công thức vận dụng, công thức liên môn
Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinh giỏi, THPTQG để tuyển sinh đại học cao đẳng
Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở các dạng toán khác có liên quan như giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, ứng dụng vật
lí, hóa, sinh…
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện hướng giải quyết Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một
số các bài toán ứng dụng thực tế dựa vào tổng hợp kiến thức liên môn
Mục đích: Trang bị đầy đủ hơn cho phương pháp giải quyết một lớp các bài toán ứng dụng thực tế
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Thực hiện trên tất cả đối tượng học sinh khối 12
Giải quyết một số các bài toán ứng dụng thực tế trong đề thi, đặc biệt là đề thi trung học phổ thông Quốc gia
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý luận chung
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm hàng năm
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy
- Phương pháp: Học sinh cần nắm vững lý thuyết đạo hàm, nguyên hàm, hình học một số bất đẳng thức, công thức về lãi xuất, công thức chu kỳ bán rã, phản ứng hạt nhân Xác suất…
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học từ 2010 đến 2019
Trang 62 PHẦN NỘI DUNG:
2.1 Cơ sở lí luận:
Khi gặp những bài toán ứng dụng thực tế học sinh phải nắm được các kiến thức liên môn Đó cũng là những hạn chế của HS và GV, vì đôi khi HS học qua loa, GV không khắc sâu Khi gặp câu hỏi dạng này rất lúng túng sợ mất thời gian
và bỏ qua hoặc chọn bừa một đáp án, dẫn đến kết quả không cao Việc nắm vững các kiến thức liên môn để giải quyết bài toán ứng dụng thực tế là rất cần thiết để các em HS có được điểm cao trong thi trắc nghiệm Vì các câu hỏi này chủ yếu là kiến thức ở mức độ vận dụng thấp hoặc vận dụng cao
Muốn làm tốt dạng toán này các em phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết liên môn linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học
và nghiên cứu môn một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán ứng dụng thực tế trong đề thi, đặc biệt là đề thi THPT QG
2.2 Thực trạng vấn đề.
Trong thực tế, học sinh thường rất ngại giải quyết các bài toán ứng dụng thực
tế, các em rất khó trong việc chọn hướng giải quyết vấn đề vì bài toán thường đề dài, nhiều giả thiết, khác với các dạng toán đơn thuần, thời gian ngắn các em lo không đủ để làm bài, chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, các kỳ thi thử THPT QG, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc một số rất ít học sinh làm được bài tập phần này
Nội dung bài học dạng này với thời lượng ít và những dạng đơn giản Đề thi thì lại khó khăn Nếu không có được phương pháp, đường lối thì HS sẽ không thể giải quyết vấn đề dạng bài tập này được
2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Ứng dụng đạo hàm:
2.3.1.1 Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 (a;b)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
0
0
0 0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0
Ký hiệu:
0
0 0
0
'( ) lim
x x
f x f x
x x
f x
2.3.1.2 Định nghĩa đạo hàm một phía
Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0),
Trang 7được định nghĩa : 0
0
x
y
f x
x
Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0),
được định nghĩa : 0
0
x
y
f x
x
2.3.1.3 Ý nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đồ thị (C) Tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0;y0) có hệ số góc k = f’(x0)
PTTT tại M(x0;y0): y = f’(x0)(x-x0) + y0
2.3.1.4.Các quy tắc tính đạo hàm
i Giả sử u,v là các hàm số của biến x, có đạo hàm tại x khi đó:
'
2
( ) ' ' '.
( ) ' '
u v u v v u
v
k u k u
ii Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm theo x là u’=g’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u là y’ = f’(u), thì hàm số hợp y = h(x) = f[g(x)] có đạo hàm theo x là h(x) = f’(u).g’(x) hay y’ = yu’.ux’
2.3.1.5 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp: ( u = u(x))
c c const
u
u
u
2.3.1.6 Đạo hàm cấp cao
Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ =f’(x) Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, thì gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai và kí hiệu y” hay f”(x)
Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 2,3,4
Một cách tổng quát đạo hàm cấp n ( n>1) của hàm số y=f(x), kí hiệu y(n) hay
f(n)(x), được định nghĩa: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’
2.3.1.7 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định nghĩa:Cho hàm số y=f(x) xác định trên K Với mọi x1 < x2 thuộc K
Nếu f(x1) < f(x2) thì hàm số f(x) đồng biến trên K
Nếu f(x1) > f(x2) thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
Trang 8Định lí:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f’(x) > 0 với mọi x trên K thì hàm số f(x) đồng biến trên K
Nếu f’(x) < 0 với mọi x trên K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
Chú ý:
i.Giả sử f(x) có đạo hàm trên K Nếu f’(x) ≥0 (f’(x) ≤ 0) và f’(x) = 0 chỉ tại một
số điểm hữu hạn thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
ii.Trong một số trường hợp khi không biết dấu của đạo hàm cấp 1, ta xét dấu đạo hàm cấp 2, từ đó suy ra dấu đạo hàm cấp 1
2.3.1.8 Cực đại và cực tiểu của hàm số
Định nghĩa:Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a;b)
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x0 (x0-h ;x0+h) và x≠x0 thì ta
nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x0 (x0-h ;x0+h) và x≠x0 thì
ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
Định lý: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0-h; x0+h) và có đạo hàm trên khoảng K hoặc trên K\ x0 , với h>0
Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0-h ; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0+h) thì
x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0-h ; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0 ; x0+h) thì
x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
2.3.1.9 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xac định trên D
i Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f x M x D x D f x M
ii Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f x m x D x D f x m
2.3.1.10 Bất đẳng thức CauChy
, 0 : 2
, , 0 : n
a b a b ab
a a a a a a n a a a
Chú ý:Ta luôn sử dụng bất đẳng thức Cau Chy hai chiều
2.3.2 Bài toán về diện tích thể tích:
Ví dụ 1
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có
chiều dài bằng 12 cm và chiều rộng
bằng 10 cm Người ta cắt ở bốn góc
của tấm nhôm đó bốn hình vuông
bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh
bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại
như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được
có thể tích lớn nhất 1
Trang 9A 10 2 7 B C D
3
3
3
3
x
Hướng dẫn giải:
TXĐ: D=(0;5) ;V=x(12-2x)(10-2x)
Xét
C x
L x
x
f
x x
x
f
x x
x x
f
3
31 11
) ( 3
31 11 0
)
(
'
120 88
12
)
(
'
120 44
4
)
(
2
2 3
Ví dụ 2 Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất
khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng 1
A 6cm B 6 6cm C.2 6cm D 8 6cm Hướng dẫn giải:
r
M N
I
S
Gọi x (x > 0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2
2
x
Chiều cao của hình nón tính theo định lý Pitago là: h = 2 2 2 2
2
4
x
Thể tích của khối nón:
2
1
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
Trang 102
R
Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 2
2
R
2
3
Ví dụ 3.Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100(cm2 ) Hỏi mỗi kích thước của
nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất? 1
A.10cm 10cm B.20cm cm 5 C.25cm 4cm D 15cm 4cm.
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x(cm) và y (cm) Chu vi hình chữ nhật là: P = 2(x+y) = 2x + 2y
Theo đề bài thì: xy = 100 hay y = 100 Do đó: P= 2x + 2y + với x > 0
x
200
x
Đạo hàm: P’(x) = 2 2002 2x2 2200. Cho y’ = 0 x = 10
Lập bảng biến thiên ta được: Pmin=40 khi x = 10
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là 10 x 10(là hình vuông).
Ví dụ 4 Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800( )m Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn
nhất? 2
A 200mx200m B.300mx100m C.250mx150m D.300mx300m
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x(m) và y(m) (x, y>0) Diện tích miếng đất: S= x.y
Theo đề bài thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 - x Do đó: S= x(400-x) = -x2 + 400x với x > 0 Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400 Cho S’(x) = 0 x = 200
Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 4000 khi x =200, y = 200 Đáp án A
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là 200 200 ´ (là hình vuông)
Ví dụ 5 Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo
thành một khối trụ có đường kính 50cm Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ
và in tranh cổ động, phần còn lại một khối trụ có đường kính 45cm Hỏi phần
đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? 4
Hướng dẫn giải:
Bề dày của tấm đề can là a 50 45 0,01 cm
2.250
Gọi d là chiều dài đã trải và h là chiều rộng của tấm đề can.Khi đó ta có
Đáp án A
Ví dụ 6 Có một tấm nhôm hình vuông cạnh 12(cm) Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
Trang 11x(cm) rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 1
Hướng dẫn giải:
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 – 2x Diện tích đáy của cái hộp: (12 – 2x)2 Thể tích cái hộp là: V=(12 – 2x)2.x = 4x3 – 48x2 +144x với x 0;6
Ta có: V’(x) = 12x3 – 96x2 +144x Cho V’ = 0 , giải và chọn nghiệm x = 2
Lập bảng biến thiên ta được Vmax = 128 khi x= 2 Đáp án C.
Ví dụ 7 3 Kim tự tháp Kêốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao
147 m, cạnh đáy dài 230 m Thế tích của nó là: 3
A 7776300 m3 B 3888150 m3 C 2592100 m3. D 2592100 m2
Hướng dẫn giải: 1 2 3 Đáp án C.
.230 147 2592100 3
2.3.3 Ứng dụng vật lí
Định luật phóng xạ:
Trong quá trình phân
rã, số hạt nhân phóng
xạ giảm theo thời
gian
Trong quá trình phân
rã, khối lượng hạt nhân
phóng xạ giảm theo thời gian
- Đại lượng đặc trưng cho tính phóng xạ mạnh hay yếu của chất phóng xạ
- Số phân rã trong một
giây:H =
-t
N
N(t) = N0.2 = NT t 0.e
t
M(t) = m0.2 = mT t 0 e
t
H(t) = H0.2 = HT t 0.e
t
: số hạt nhân
0
N
phóng xạ ở thời điểm
ban đầu
: số hạt nhân
( )t
N
phóng xạ còn lại sau
thời gian t
: khối lượng phóng
0
m
xạ ở thời điểm ban đầu
: khối lượng
( )t m
phóng xạ còn lại sau thời gian t
: độ phóng xạ ở thời
0
H
điểm ban đầu
:độ phóng xạ còn lại
( )t H
sau thời gian t
H = N = N0 T
t
2 = N0e-t
Ví dụ 1 Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm
số mũ m trong đó là khối lượng ban đầu của chất phóng
0
ln 2
T
xạ (tại thời điểm t 0 , ) m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 6 trong mẫu gỗ đó đã
14 C
mất 45% so với lượng 6 ban đầu của nó Hỏi công trình kiến trúc đó có niên
14 C
đại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết biết chu kỳ bán rã của 6 là khoảng 5730
14 C
năm 4