8 GT12 c2 b6 BPT LOGARIT 2022

Bất phương trình lôgarit cơ bản: cho Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ③.. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit Đưa về cùng cơ số... Bất phươn

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

② Bất phương trình lôgarit cơ bản: cho

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

③ Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

Đưa về cùng cơ số

①. Xét bất phương trình logarit cơ bản có dạng

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Giải bất phương trình :

x>

Lời giải Chọn A

 Casio: Calc, table

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình

1 2

 Casio: Calc, table

Câu 4: Bất phương trình log 33( x+ <1) log3(x+7)

có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

22

x

x x

Điều kiện

53

x>

Vì cơ số

115

C (−∞ − ∪; 3) (0;+ ∞)

.D [− − ∪4; 3) (0;1]

Lời giải Chọn D

x x x

− ≤ < −



⇔  < ≤

.Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [− − ∪4; 3) (0;1]

>



⇔ < ⇔ < <

.Vậy, tập nghiệm là S=( )1;9

7 Bất phương trình log0,5(2x− ≥1) 0

có tập nghiệm là

A

1

;2

nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 2020.

10 Bất phương trình

x

.Vậy Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=( )1;2

13 Tập tất cả các nghiệm của bất phương trình

1 2

* TXĐ: D= −∞( ;0) (∪ +∞1; )

* Ta có:

2 1 2

x x

mức 7+

15 Tìm tập nghiệm của bất phương trình

1 2

x

.Với điều kiện trên, bất phương trình trở thành:

+

−

1 2

2 1

1

x x

2 1

2 01

x x x x

x x x

Điều kiện :

10

x

x x

ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( )1;2

Bất phương trình

x x

≤



⇔  >



mức 7+

Vì 3 7

x x

.Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm nguyên

3 Tìm tập nghiệm của bất phương trình log(x+ +2) log(x+ >5) 1

Để bất phương trình có nghĩa

Điều kiện:

8 0

x x

 − >

 >

.Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

.Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )3;9

mức 7+

5 Giải bất phương trình log2(x+ −1) 2 log 54( − < −x) 1 log2(x−2)

C

113;

?

Lời giải Chọn C

Xét bất phương trình

2

5log 2 log 2x + x <

( )1

Điều kiện

01

x x

bất phương trình ( )1 2

và x∈¢

, ta được x∈{ }2,3

.Vậy có 2số nguyên xnghiệm đúng bất phương trình đã cho

9 Bất phương trình

10 Bất phương trình log4(x+ >7) log2(x+1)

có tập nghiệm là

Û í

ï ïî

11 Bất phương trình log4(x+ >7) log2(x+1)

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

x x

−

+

301

x x

−

+

31

x x

2

7 01

x x

Điều kiện:

32

Đối chiếu điều kiện bất phương trình có tập nghiệm

5

;2

ĐK:

2

1 0

11

01

x

x x

* Kết hợp điều kiện ta đượC x∈ −∞ −( ; 5  ∪ 5;+ ∞)

Điều kiện:

9 5 0

3 1 0

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

≥ −



⇔  ≤ −

.Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= −[ 1;1) (∪ +∞1; )

Khi đó a=1, b=2

.Vậy

x= là một nghiệm của bất phương trình loga(x2− − >x 2) loga(− +x2 2x+3)

(*).Khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là

A

51;

Khi

94

x= thì

216

x= là một nghiệm củabất phương trình (*) nên ta suy ra nhận xét về cơ số a là 0< <a 1

2

; 1 2;

x x

x≤

3691

x≥

D x≤1

Lời giải Chọn B

và logx+logy+ ≥1 log(x y+ )

Giá trị nhỏnhất của biểu thức S = +x 3y

thuộc tập hợp nào dưới đây?

3

 

 

 

Lời giải Chọn D

Điều kiện

00

x y

( )

31

0 10 1 3 10 1

33

➀ -Phương pháp:

Bất phương trình cĩ dạng : Đặt Bất phương trình trở thành Giải bất phương trình tìm t suy ra x thỏa ĐK

➁ -Casio: Table, Calc

Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ.

▣

Dạng ②

; 10

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

mức 7+

ê³ê

Giao với Đk t>0

ta được:

22

ê

= -ê +¥ ÷÷øë

bằng

A

433

B

83

Vậy bất phương trình có nghiệm là:

12

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho 9

23

6 13 6 0

32

bằng

A

433

83

Lời giải Chọn C

Điều kiện: x>0

Bất phương trình biến đổi thành:

1 log+ x + ≤1 5log x⇔log x−3log x+ ≤ ⇔ ≤2 0 1 log x≤ ⇔ ≤ ≤2 2 x 4

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình là [2; 4]

Câu 14:Tập nghiệm của bất phương trình

Điều kiện: x>0.

Ta có

2 2

00

02

log 1 0

x x

,t≠0, t ≠1

mức 7+

Bất phương trình trở thành:

Điều kiện của bất phương trình là x>0

Khi đó

2 2

21

t t t

2

x x x

Câu 18:Tập nghiệm của bất phương trình

thuộc khoảng nào dưới đây?

A

1

;12

-Phương pháp:

Sử dung PP giải BPT logarit kết hợp cơng thức, tính chất của mũ, lũy thừa, logarit Khai thác điều kiện bài tốn

Xử lý bài tốn và chọn giá trị m thỏa ĐK bài tốn

Bất PT logarit chứa tham số

▣

Dạng ③

+ Khi đó

1 125

1216

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là:

10; 16;

 _Bài tập minh họa:

1 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham sớ mđể hàm sớ

ta có bất phương trình:

2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

, khi x∈(1;64)

thì t∈( )0;6

.Khi đó, ta có

t + + ≥t m ⇔ ≥ − −m t2 t ( )*

.Xét hàm số f t( ) = − −t2 t

với t∈( )0;6

Ta có f t′( ) = − − < ∀ ∈2 1 0,t t ( )0;6

Ta có bảng biến thiên:

Bất phương trình đã cho đúng với mọi x∈(1;64)

khi và chỉ khi bất phương trình

( )*

đúng với mọi t∈( )0;6 ⇔ ≥m 0

mức 7+

3 Cho bất phương trình

2

log10x+log x+ ≥3 mlog100x

với m là tham số thực Có baonhiêu giá trị của m nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc [1;+ ∞)

?

Lời giải Chọn D

t t m

t

+ +

≤+

.Để bất phương trình ban đầu có nghiệm [1;+ ∞)

thì bất phương trình ( )2

cónghiệm [0;+ ∞)

4 22

( )

2 6 tm0

Bất phương trình ( )2

mức 7+

Vậy có 1 giá trị nguyên dương thõa mãn.

Để bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x∈¡

điều kiện là cả ( )1

và ( )2

đều

thỏa mãn với mọi x∈¡

Điều kiện là ( )

BPT tương đương với

Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương với ( )1

có tập nghiệm chứa khoảng (1;+∞)

mức 7+

TH1: ∆ <′ 0 ⇔ − − <4 m 1 0⇔ <3 m

.TH2: Nghiệm “lớn” của tam thức bé hơn 1

Tương đương với 2+ 3− <m 1

(vô nghiệm)

Cách 2: ( )1 ⇔ + >m 1 4x x− 2 = f x( )

, x>1

.ĐK: ( )

Mà m∈¢

nên m∈ − −{ 11; 10; ;22}

Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

4 Bất phương trình ln 2( x2+ >3) (ln x2+ax+1)

nghiệm đúng với mọi số thực x khi:



⇔ ∆ ≤



ax + + ≤bx c

, ∀ ∈x ¡

00

a<



⇔ ∆ ≤



a>



⇔ ∆ <



ax + + <bx c

, ∀ ∈x ¡

00

a<



⇔ ∆ <

.(Để ý của ∆

)

Cách 2:

BPT có tập nghiệm ¡ ⇔

( ) ( )

x m

x

−

>

+ Xét hàm số

41

Ta có

( )

2 2 2

4 4

01

YCBT ⇔ m>2 ( )3

mức 7+

Từ ( )2 ⇔

2 2

Ta có

( )

2 2 2

4 4

01

Đặt

loga b x=

, x>0

.Suy ra

Dựa vào BBT ta thấy m< f x( ) ⇔ <m 2 lna

.Vì lna> ∀ >0, a 1

nguyên nên có 200số nguyên mthỏa yêu cầu bài toán

7 Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

log log 3x+1 >log m

có nghiệm với mọi x∈ −∞( ;0)

Ta có: log0,02(log 32( x+1) ) >log0,02m⇔log 32( x+ <1) m

Xét hàm số f x( ) =log 32( x+1 , ) ∀ ∈ −∞x ( ;0)

có ( ) (33 ln 31 ln 2) 0, ( ;0)

x x

f x′ = > ∀ ∈ −∞x

+

mức 7+

Bảng biến thiên f x( )

Khi đó với yêu cầu bài toán thì m≥1.

8 Cho bất phương trình: ( 2 ) ( 2 ) ( )

m∈ −

Lời giải Chọn A

mức 7+

t − mt− <

có nghiệm

1( ; )2

Đặt

t= x + ax+

, t≥0

có nghiệm duy nhất suy ra ( )2

có nghiệm duy nhất

Vế trái của ( )2

là một hàm số liên tuc theo biến t trên nửa khoảng [0;+ ∞)

.Điều kiện cần để ( )2

có nghiệm duy nhất là phương trình

log 4 log 2

, t≥0

Dễ thấy hàm f t( )

đồng biến trên nửa khoảng [0;+∞)

và f( )3 =1

.Suy ra phương trình ( )3

có nghiệm duy nhất t=3

a=

Thử lại với

23

a= bất phương trình ( )1

u= x + x+ u≥

.Khi đó ( ) ( ) ( 2 ) ( )

3 ⇔log u+4 log u + ≤2 log 11 6||

mức 7+

log x+log x − ≥3 m log x −3

có nghiệm duy nhất thuộc [32;+ ∞)

Lời giải Chọn C

Điều kiện xác định:

2

0log 2log 3 0

28

x x

+

=

− trên [5;+ ∞)

có

( )

43

khi và chỉ bất phương trình m2 ≤ f t( )

có nghiệm duynhất trên [5;+ ∞)

mức 7+

Khi đó:

Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn

13 Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2− + +x 2 aln(x2− + ≥x 1) 0

nghiệmđúng với mọi x∈¡

Mệnh đề nào sau đây đúng?

t a −

− ≤ ≤

.Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là a∈(6;7]

t≥

Bất phương trình thành t a t+ ln + ≥1 0

,

34

t≥

Cần tìm amax để f t( ) = +t a tln + ≥1 0

,

34

t≥

3

;4

4ln4

a −

mức 7+

Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là a∈(6;7]

14 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[0;10]

để tập nghiệm của bất phươngtrình

0

x x x

x x x

2128

x x

t

t t

nên m∈{3; 4; ;10}

mức 7+

Vậy có 8giá trị nguyên của tham số mthỏa mãn yêu cầu bài toán.

15 Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị của tham số mđể bất phương trình

Dựa vào bảng biến thiên ta có: