2 CUC TRI của hàm SO DH 2122

◈- Ghi nhớ ① Nếu hàm số đạt cực đại cực tiểu tại điểm thì được gọi là điểm cực đại điểm cực tiểu của hàm số; được gọi là giá trị cực đại giá trị cực tiểu của hàm số, ký hiệu là , còn đi

◈- Ghi nhớ ①

Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là , còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì

◈- Ghi nhớ ③

Định lý 2: Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng với Khi đó:

Nếu là điểm cực tiểu

Nếu là điểm cực đại

Chú ý: Nếu và thì chưa thể khẳng định được là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số

◈- Ghi nhớ ⑤

WORD XINH

Phân dạng tốn cơ bản:

▣

Ⓑ

◈-Phương pháp:

◈-Phương pháp: Quan sát BBT nhìn sự đổi dấu của y’

Khi qua đổi dấu từ thì đây là cực đại

Khi qua đổi dấu từ thì đây là cực tiểu

Cho BBT, bảng dấu của hàm số y=f(x)

▣ Dạng ①

WORD XINH

 _Bài tập minh họa:

Câu 1 Cho hàm số cĩ bảng biến thiên như hình vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 Quan sát đổi dấu khi qua

Câu 2 Cho hàm số cĩ bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm

WORD XINH

Lời giải

Chọn D

 Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực

đại tại điểm

 PP nhanh trắc nghiệm

 Quan sát đổi dấu khi qua

Câu 3 Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Câu 4 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại:

Lời giải

Chọn B

 Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực

đại tại điểm

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa theo BBT, ta thấy phương án B sai

Câu 3: Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y= f x( )

đạt cực đại tại điểm x=0

có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

WORD XINH

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 B Hàm số có giá trị cực đại bằng 0

C Hàm số có 2 điểm cực tiểu D Hàm số có ba điểm cực trị

có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

B Hàm số đã cho không có cực trị

C Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

D Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

WORD XINH

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 B Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số có hai điểm cực tiểu

Lời giải

Giá trị cực đại của hàm số bằng 3 nên câu A sai.

Câu 11:Cho hàm số y= f x( )có bảng biến thiên như hình vẽ bên Khẳng định nào sau

đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x=- 2. B Hàm số đạt cực đại tại x=2.

C Hàm số đạt cực đại tại x=4. D Hàm số đạt cực tiểu tại x=3.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y= f x( )

đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=1

WORD XINH

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=3

, giá trị cực tiểu bằng 1

Câu 15:Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡

và có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây sai?

A x0 =1

là điểm cực tiểu của hàm số

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0)

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

có bảng biến thiên sau

Giá trị cực tiểu của hàm số là?

◈-Phương pháp: Quan sát dáng của đồ thị

Nếu đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là cực đại Nếu đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là cực tiểu.

Đề cho đồ thị của hàm số y=f(x) cĩ hình vẽ sẵn

▣ Dạng ②

 _Bài tập minh họa:

Câu 1 Cho hàm số xác định, liên tục trên đoạn và cĩ đồ thị là

đường cong trong hình vẽ bên Hàm số đạt cực đại tại điểm

nào dưới đây ?

 Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại

 PP nhanh trắc nghiệm

 Ta thấy nhánh ngồi cùng bên trái

“đi lên” rồi “đi xuống” khi đĩ hàm số đạt cực đại tại đĩ.

Câu 3 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 4 Cho hàm số (, , ) có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm

số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

WORD XINH

Dựa vào đồ thị, ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 điểm cực trị

đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

.

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng ( )a b;

◈-Phương pháp:

_ Lập BBT

_ Dựa vào BBT quan sát sự đổi dấu cảu y’ và kết luận cực trị

- Casio: INEQ, d/dx, table.

- Cĩ thể sử dụng nhanh dấu của y’ hoặc các điều kiện nhanh về hệ số để kết luận nhanh về số điểm cực trị của hàm số

Đề cho hàm số y=f(x) tường minh

▣ Dạng ③

 _Bài tập minh họa:

Câu 1 Tìm giá trị cực đại của hàm số

 Ta có phương trình có hai nghiệm và (là nghiệm

kì trong khoảng cần xét thế vào (CALC).

Câu 3 Cho có đạo hàm , Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Lời giải Chọn A

x y

Suy ra, hàm số đạt cực đại tại

=

x

WORD XINH

1 22

x y

x y

x

é =ê

= Û

ê ë

¢=- + Þ ¢= Û - + = Û

=-êêê

ê =ê

.Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên cho thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại

4 3 2 1

y=x - x +

có

A một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

B một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại

C một điểm cực đại duy nhất

D một điểm cực tiểu duy nhất

¢= Û - = Û ê=

êêê

ê ê

=-.Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đã cho có hai điểu cực tiểu và một điểm cực đại

x

é =ê

¢= Þ ê

ê =ê

.Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có số cực trị của hàm số là 1

4 4 2 1

y=x + x +

có đúng một điểm cực trị

WORD XINH

Hai phương án A,B hàm số có nhiều hơn 1 điểm cực trị

Phương án D, hàm số không có điểm cực trị

WORD XINH

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra điểm cực tiểu của hàm số là

CT

13

x=

Vậy hàm sô có 1 điểm cực trị là

12

là nghiệm bội chẵn nên f x′( )

không đổi dấu khi đi qua

1

x=

2 51

x y x

−

=+

có bao nhiêu điểm cực trị?

x

′ = > ∀ ∈+

.Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên đồ thị không có điểm cực trị

nằm phía trên trục hoành.

 PP nhanh trắc nghiệm

 Đồ thị hàm số không cắt trục hoành nên không có cực trị

là đường cong ở hình bên Hỏi hàm số( )

Câu 2: Cho hàm số y= f x( )

xác định trên ¡ và hàm số y= f x′( )

có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y= f x( 2−3)

.

Ⓒ 5. Ⓓ 4.

Từ đồ thị y= f x′( )

ta có

( )

200

13

x x

f x

x x

x x x

Mệnh đề nào sau đây đúng?

WORD XINH

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,x=3

.Hàm số đạt cực đại tại x=2

Câu 6: Cho hàm số y= f x( )

có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ thị của hàm số y= f x′( )

làđường cong ở hình bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,x=3

hình bên Hỏi hàm số y= f x( )

có bao nhiêu điểm cực trị?

y O

là

Lời giải Chọn A.

Từ đồ thị của y= f x′( )

ta chọn f x′( ) (= +x 1) (x−1) (x−3)

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0

Dấu đạo hàm sai y′

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình f x′( ) =5

có nghiệm duy nhất và đó là nghiệm đơn

như hình vẽ Xác định điểm cực tiểu của hàm số

( ) ( )

g x = f x +x

Dựa vào đồ thị thấy g x′( )

đổi dấu từ “-” sang “+” qua điểm x=1

là nghiệm kép nên f x( )

không đổi dấu qua x=1

nhưng f x'( )vẫn đổi dấu qua đó Còn tất cả nghiệm còn lại đều là nghiệm đơn nên

◈-Phương pháp: Đối với hàm số đa thức bậc 3.

Định tham số để hàm số f đạt cực trị tại điểm x0.

▣ Dạng ⑤

WORD XINH

Số điểm cực trị của hàm số y= f ( x ) là

Lời giải

Từ đồ thị hàm sốy= f '( x−2) suy ra bảng xét dấu của f '( x−2)

Từ bảng xét dấu của f '( x−2) suy ra hàm số y= f ( x−2)cĩ hai điểm cực trị

Mà số điểm cực trị của hàm số y= f ( x ) bằng số cực trị của hàm y= f ( x−2)nên

số điểm cực trị của hàm số y= f ( x ) bằng 2

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

1

13

y= x −mx + m − −m x

đạt cực đại tại1

x=

.

Ⓐ m=0. Ⓑ m=3. Ⓒ m∈∅. Ⓓ m=2.

WORD XINH

Lời giải  Chọn B

1 01

1 0

y x

y= x −mx + m − +m x+

đạt cực đại tại1

m y

.

 Cách hỏi hàm bậc 3 có cực trị hoặc có hai điểm cực

trị, đều như nhau.

Tính

( 1)

y −.

WORD XINH

Lời giải Chọn D

m m

=



⇔  =

x y

A −1

C 3 D Đáp số khác

Lời giải Chọn C.

Ta có: y′ = −x2 2(m+1)x m+ +2

.Hàm số đạt cực trị tại x=1 ⇒y′( )1 =0 ⇔ − + =m 1 0 ⇔ =m 1

Với m=1

ta có:

3 2

x x

=



⇔  =

.Suy ra điểm cực trị còn lại là x=3

y= x −mx + m − +m x+

đạt cực đạitại điểm x=1

Ta có y′=x2−2mx+(m2− +m 1 ;) y′′=2x−2m

WORD XINH

Điều kiện

( ) ( )

m y

WORD XINH

( ) ( )

3 0

3 0

y y

m m m

m m

=



⇔  =

.Với m=2

, ta có f′′( )1 = − <6 0

nên hàm số đạt cực đại tại x0 =1

.Với m=0

, ta có f′′( )1 = >6 0

nên hàm số đạt cực tiểu tại x0 =1

WORD XINH

Vậy m=2

là giá trị cần tìm

là điểm cực đại của đồ thị hàm số f x( ) = +x3 ax2+ +bx a2

• Tại m=1

thì y′′( )3 =2.3 2.1 4 0− = >

, hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=3

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x=3

34

34

.Thử lại: với m=0

y= x −mx + m − −m x

đạt cực đạitại x=1

Tập xác định D=¡

m m

=



⇔  =

.Với m=0

y= x −mx + m − −m x

đạt cực đạitại x=1

m m

=



⇔  =

.Với m=0

m=

32

1 1

00

y y

m m

WORD XINH

Theo yêu cầu bài toán:

( ) ( )

1 0

1 0

y y

m m

3 2 2 2 1

y x= − mx +m x+

đạt cực tiểutại x=1

m m

=



⇔  =

.Thử lại:

Tập xác định: D=¡

Ta có: y ′ = − x2 ( m2+ 1 ) x + ( 3 m − 2 )

.Nếu hàm số đạt cực đại tại x=1

m m

=



⇔  =

.Thử lại:

m=

32

m= −

C m=0

D m= −1

1 1

00

y y

_Cho Biện luận m để thỏa điều kiện.

Hoặc xét hệ số

Hàm trùng phương có:

3 điểm cực trị 1 điểm cực trị

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền

a b

ì <

ïï

Û íï £ïî.

a b

ì >

ïï

Û íï ³ïî.

 Casio: Dò tìm giá trị nguyên của m trên miền

WORD XINH

Lời giải Chọn C.

x y

có hai nghiệm phân biệt khác 0

Ta có

( ) 2 ( )1

2

3 4.4 2 9 32 04.0 3.0 2 0

∆ = − − = + >



+ − ≠



m

9320

x= ⇒ =y m

; x= ± 2m⇒ =y 0

.Giả sử ( )C :y ax= 2+ +bx c

Theo giả thiết ( )C

đi qua 4 điểm M(0;m2)

2 2

2 2 2

0

000

2

a

a b

b a

x y

Trường hợp

2 1 0

m − = ⇔ = ±m 1

, hàm số đã cho trở thành hàm số bậc hai Để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực đại và không có cực tiểu thì m<0

a ab

thì đồ thị hàm số đã cho chỉ có một điểm cực đại mà không cóđiểm cực tiểu

x y

m m

m

m m

12

Tập xác định: D=¡

.3

y′ = x − mx

.Hàm số đạt cực tiểu tại x= −1⇒ y′( )− =1 0 ⇔ − +4 4m= ⇔ =0 m 1

.Với m=1

hàm số có dạng:

4 2 2 2

y x= − x −

.3

x x x

WORD XINH

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x= −1

.Vậy m=1

Ta có y′ =4x3−4(m+1)x

Giải phương trình y′ =0 ⇔4x3−4(m+1)x=0 2 ( )

01

0 0

0 0

y y

x m x

x m x

TXĐ: D=¡

a b

a b c c

a b

a b c c

a b c

x y

có hai nghiệm phân biệt khác 0

WORD XINH

Ta có

( ) 2 ( )1

2

3 4.4 2 9 32 04.0 3.0 2 0

∆ = − − = + >



+ − ≠



m

9320

0

x= ⇒ =y m

; x= ± 2m⇒ =y 0

.Giả sử ( )C :y ax= 2+ +bx c

Theo giả thiết ( )C

đi qua 4 điểm M(0;m2)

2 2

2 2 2

000

x y

Trường hợp

2 1 0

m − = ⇔ = ±m 1

, hàm số đã cho trở thành hàm số bậc hai Để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực đại và không có cực tiểu thì m<0

, do đó m= −1

thỏa mãn,

a ab

thì đồ thị hàm số đã cho chỉ có một điểm cực đại mà không cóđiểm cực tiểu

Thấy ngay hàm số y x= 4−2(m2+1)x2+2

luôn có ba điểm cực trị

Đề kiểm tra ôn tập:

1

x y

WORD XINH

4 3 2 2

y x= − x +

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 B Hàm số có hai điểm cực tiểu

C Hàm số có 3 điểm cực trị D Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2

Lời giải

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị nằm trên phải trục Oy qua Oy ta được đồ thị hàm( )

C Hàm số chỉ có đúng ba điểm cực trị D Hàm số không cócực trị.

Lời giải

Ta có: y' 4= x3−4x=4x x( 2−1)

0' 0

1

x y

đổi dấu ba lần nên hàm số có đúng 3 điểm cực trị

2' 3 0

y = x −

;

2

33

33

WORD XINH

3 2' 4 2

y = x + x

, y' 0= ⇔ =x 0

.Tại x=0

, y' đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0

có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số y= f x( )

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt cực đại tại x= −1

và giá trị cực đại của hàm số là y=4

Câu 13:Cho hàm số y= f x( )

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:

WORD XINH

TXD: D=¡

.2' 3 3

y = x −

2' 0 3 3 0

y = ⇔ x − =

11

x x

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại

23

x=

15

− ≤ ≤m

1

15

D

1

15

m m

WORD XINH

Do phương trình y′ = ⇔ −0 x2 (2m+3)x m+ 2+3m+ =4 0

có ∆ =25 0>

nên phươngtrình y′ =0

có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số đạt cực tiểu tại x= −1

thì

( ) ( )

Ba điểm A B C, , lập thành tam giác cân tai A Do đó ∆ABC

vuông khi uuur uuurAB AC. =0

m m