CD30 TÍNH đơn điệu của HS

Chuyên đề ㉚TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐCÓ THAM SỐ Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN ①.. Hàm đa thức.. Lý luận: Hàm số đồng biến trên ㉚.. Lập bảng biến thiên của hàm số trên , từ

Chuyên đề ㉚

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ(CÓ THAM SỐ)

Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

① Hàm đa thức Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

㉚ Nếu trên , và dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì đồng biến trên

㉚ Nếu trên , và dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì nghịch biến trên

㉚.Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức Ta có:

㉚ ㉚

㉚.Xét bài toán: “Tìm để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên ” Ta thường thực hiện theo các bước sau:

㉚ Tính đạo hàm

㉚ Lý luận: Hàm số đồng biến trên

㉚ Lập bảng biến thiên của hàm số trên , từ đó suy ra giá trị cần tìm của m

㉚ Hàm số bậc 3:

㉚ Hàm số đồng biến trên

㉚ Hàm số nghịch biến trên ¡ ⇔y ' 0, x≤ ∀ ∈ ⇔ ¡

. Chú ý: Xét hệ số khi nó có chứa tham số

② Hàm phân thức hữu tỷ:

㉚- Xét tính đơn điệu trên tập xác định: Tập xác định ;

㉚ Nếu y/ > 0, suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và

㉚ Nếu y/ < 0 , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng;

㉚- Xét tính đơn điệu trên khoảng (a; b) thuộc tập xác định D:

㉚ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì

㉚ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì

Câu 1: Cho hàm số

y= − −x mx + m+ x+

với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; )

?

Lời giải

Ta có:

2

y′ = − x − mx+ m+

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞ ⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ +∞; ) y′ 0; x ( ; )

2

′

⇔ ∆ = + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

Vì m nguyên nên m∈ − − − − − − −{ 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3}

Vậy có 7 giá trị nguyên của m

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

1

3

y= x − mx + −x

đồng biến trên ¡

A − ≤ ≤1 m 1

B − < <1 m 1

C 0≤ ≤m 1

D 0< <m 1

Lời giải

TXĐ: D=¡

Ta có,

y′ = −x mx+

1 0

4 4.1.4 0

a

m

= >



′

∆ = − − ≤



¡

Câu 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y x= −mx + −x

đồng biến trên R

là

A (−3;3)

B [−3;3]

3 3

;

2 2

3 3

;

2 2

Lời giải

Tập xác định của hàm số:D=R

2

y′ = x − mx+

Hàm số đồng biến trên R

khi và chỉ khi y′ ≥ ∀ ∈0 x R

3 0

m

⇔  >

Câu 4: Hàm số

3

3

x

y= − + −x mx+

nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

khi và chỉ khi

A m∈ +∞[1; )

B m∈ +∞(1; )

C m∈[0;+∞)

D m∈(0;+∞)

Lời giải

Hàm số

3

3

x

y= − +x −mx+

nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

khi và chỉ khi

y′ ≤ ∀ ∈x +∞

x x m x

2 2 , 0;

m x x x

Xét g x( ) = − +x2 2x

trên khoảng (0;+∞) ( )

( )

g x x

g x x

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m g x≥ ( ) ,∀ ∈x (0;+∞) ⇔ ≥m 1

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

y= x − m+ x + mx

đồng biến trên khoảng (3;+∞)

A m≤3

D 2< <m 3

Lời giải

y= x − m+ x + mx

, y′ =6x2−6(m+2)x+12m =6(x2−(m+2)x+2m) Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞) ⇔ ≥y′ 0

với mọi x∈ +∞(3; )

( )

x m x m

với mọi x∈ +∞(3; )

, Với x∈ +∞(3; )

, x2−(m+2)x+2m≥0 ⇔x2−2x m x≥ ( −2) ⇔ ≥x m

Vậy với m≤3

hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞)

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y x= − x +mx+

đồng biến trên ¡

?

A m≥3

B m>3

C m<3

Lời giải

2

y′ = x − +x m

y′

là hàm số bậc hai và

3 0

a= >

nên hàm số đã cho đồng biến trên¡ ⇔ ≥ ∀ ∈y′ 0, x ¡

0

′

Câu 7: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

3 4

x y

+

= + nghịch biến trên khoảng (2;+¥ )

Lời giải

Điều kiện: x¹ - 4m

Để hàm số xác định trên

(2;+¥ )

thì

1

2

-Ta có:

( )2

'

4

m y

x m

-= +

Để hàm số nghịch biến thì

4 4

m

x m

+

Vậy

- £ <

nên có 1 số nguyên m=0 thỏa mãn

Câu 8: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1

x m y

x

−

= +

đồng biến trên các khoảng xác định của nó

A m∈ − +∞[ 1; )

B m∈ −∞ −( ; 1)

C m∈ − +∞( 1; )

D m∈ −∞ −( ; 1]

Lời giải

Tập xác định: D=¡ \ 1{ }−

Ta có: ( )2

1 1

m y

x

+

′ = +

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi y′ > ∀ ∈0, x D ( )2

1

0 1

m x

+

+

; ∀ ∈x D

⇔ + > ⇔ > −

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

9

mx y

x m

+

= +

nghịch biến trên khoảng

(1;+∞)

?

Lời giải

Tập xác định: D=¡ \{ }−m

Ta có: ( )

2 2

9

m y

x m

−

′ = +

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;+∞) (1; )

0

m

y′



⇔ − ∉ +∞<



1

m m

 − <

⇔ − ≤



1

m

m m

− < <



⇔ ≥ − ⇔ − ≤ <

Vì m∈ ⇒ ∈ −¢ m { 1;0;1;2}

Câu 10: Điều kiện cần và đủ của m để hàm số

1 1

mx y x

+

= +

đồng biến trên từng khoảng xác định là

A m≥ −1

B m> −1

C m>1

Lời giải

Tập xác định D=¡ \ 1{ }−

( )2

1 1

m y

x

−

′ =

+

Hàm số

1 1

mx y x

+

= +

đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y′ > ∀ ∈0 x ¡ \{ }−1

( )2

1

1

m

x

−

+

Câu 11: Cho hàm số

3x 1

y

x m

+

=

−

với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞)

?

Lời giải

Tập xác định: D=¡ \{ }m

Ta có ( )2

y

x m

′ =

−

Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) ( )

4

m

′ <





Vậy có 5 giá trị nguyên của m là 0;1; 2;3; 4 thì hàm số nghịch biến trên (4;+∞)

Câu 12: Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số

y

+ −

=

− +

đồng biến trên khoảng

(−∞ −; 14)

Tính tổng T của các phần tử trong S

A T = −6

C T = −9

D T = −10

Lời giải

Tập xác định:

\ 3 2

D=¡ m−

m y

x m

′ =

Yêu cầu bài toán ⇔ > ∀ ∈ −∞ −y′ 0, x ( ; 14)

m

− + >





{ 4; 3; 2; 1;0}

m∈ ⇒ ∈ − − − −¢ m

Vậy T = − − − − + = −4 3 2 1 0 10

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

3 4

x y

x m

+

= +

nghịch biến trên khoảng (2;+∞)

?

Lời giải

Tập xác định: D=¡ \{−4m}

( )2

4

m y

x m

−

′ =

+

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;+∞)

khi và chỉ khi:

3

2

m m

m m

m

 <



− <

 ⇔ ⇔ − ≤ <

− ≤ 



Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m=0

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

1 2

x y

+

= +

đồng biến trên (−∞ −; 3)

Lời giải

Tập xác định D=¡ \{−2m}

Ta có ( )2

2

m y

x m

−

′ = +

Hàm số

1 2

x y

x m

+

= +

đồng biến trên (−∞ −; 3) ( )

1 1

2

2

m

m





, Vậy có một giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể hàm số

2

4

x m y

x

+

= +

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Lời giải

Tập xác định: D=¡ \ 4{ }−

2 2

4 4

m y

x

−

′ = +

Hàm số

2

4

x m y

x

+

= +

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

⇔ > ∀ ≠ −

⇔ − > ⇔ < ⇔ ∈ −

Mà m∈ ⇒ = −¢ m 1;0;1

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

9 1

x m y

mx

+

= +

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Lời giải

2 2

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

2

Vì m nguyên nên m∈ − −{ 2; 1;0;1;2}

Có 5 giá trị nguyên của m

Câu 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

1

3

đồng biến trên

¡

?

Lời giải

Tập xác định: D=¡

1

3

y x mx x y x mx

Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔y' 0,≥ ∀ ∈x ¡

' 0

>



⇔x − mx+ ∀ ∈ ⇔x ¡ ∆ ≤a ⇔ m − ≤ ⇔ − ≤ ≤m

Đồng thời m∈¢

nên m∈ −{ 1;0;1}

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu của đề.

Câu 18: Cho hàm số y=(m−1)x3+(m−1)x2−2x+5

với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; )?

Lời giải

Với m=1:

hàm số trở thành

y= − + →x

với m=1

hàm số luôn nghịch biến trên khoảng

(−∞ +∞; )

Với

1:

m≠

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; ) ⇔ ≤ ∀ ∈y' 0 x ¡

( ) ( ) ⇔m− <1 0⇔m<1 .

Do m nguyên dương nên ∃m

thỏa mãn

Kết hợp hai trường hợp suy ra chỉ có m=1

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 19: Giá trị nhỏ nhất của số thực m để hàm số

1 3

y= x +mx −mx m−

đồng biến trên ¡

A m= −2

Lời giải

Ta có

2

y = +x mx m−

,

2

∆ = +

Để hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ ∆ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 0 1 m 0

Vậy m= −1

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

y mx= +mx +m m− x+

đồng biến trên ¡ .

A

4 3

m≤

4

3

m≤ m≠

C m=0

,

4 3

m≥

4 3

m≥

Lời giải

Ta có: y′ =3mx2+2mx m m+ ( −1)

Hàm số đồng biến trên ¡

khi y′ ≥ ∀ ∈0 x ¡

TH1: m= ⇒ =0 y′ 0

TH2: m≠0

Để hàm đồng biến trên ¡

a

m

>

Câu 21: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số

1

3

y= − x −mx + m− x m− +

nghịch biến trên

¡

?

A − ≤ ≤3 m 1

3 1

m m

≤ −



 ≥



D − < <3 m 1

Lời giải

Tập xác định: D=¡

Ta có:

y′ = − −x mx+ m−

Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ ⇔ y′ ≤0,∀ ∈x ¡ ⇔ − −x2 2mx+2m− ≤ ∀ ∈3 0, x ¡

′

∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤

⇔

Vậy các giá trị cần tìm của m là − ≤ ≤3 m 1

Câu 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m dể hàm số

1

3

y= x −mx + x+

đồng biến trên tập xác định của nó?

Lời giải

Tập xác định: D=¡

y′ = −x mx+

Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó khi y′ ≥ ∀ ∈0, x ¡

⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ⇔ − ≤ ≤

Các giá trị nguyên của m∈ − −{ 2; 1;0;1;2}