Bài tập Microsoft Word BAI TAP A2 DTVT doc 112 BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Baøi 1 1 Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau a) 1 3 6 5 0 0 2 3 2 11 5 7 3 2 − b) ( )4 1 3 2 2 1 0 5.
Trang 1BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài 1.1 Thực hiện các phép toán sau
a)
1 3
6 5
0 0
2 3
2 11 5
7 3 2
−
b) (4 1 3 2)
2 1 0 5
5 3 2 1
1 4 9 3
1 2 1
4 2 0
1 2
−
e)
=
−
−
=
=
1 2
3
; 2 2 3
0 1 2
; 4 1
0
1 1
2
C B
f) A =
; f(x) = 3x2 + 2x - 4 Tính f(A) g) a R
n a
∈
, 1 0
1
và n ∈ N
−
• Tính A - 2B + (3C – D)T
• Tính (ATB)T – (2C)DT– 3I3
Bài 1.2
a) Tính AB - BA biết A =
− 1 4
2 1
−
− 1 4
3 2
b) Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A =
1 0
1 2
Bài 1.3 Cho các ma trận A =
5 2 2
2 2 1
3 1 1
, B =
2 2 2
3 2
−1
, C = 2
−1 −2
a) Tính 5A -BC, (AB)C , (BC)TAT
b) Tính f(A) biết f(x) = 2x2 + 3x + 5
Bài 1.4 Cho ma trận A =
2 1 2
3 2 6
1 7
−1
Tìm ma trận nghịch đảo A-1 bằng phương pháp Gauss- Jordan (phươmg pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận)
Trang 2Bài 1.5 Cho ma trận A =
3
−4
−3
−5 −1
Tìm ma trận nghịch đảo A-1 bằng phương pháp phần bù đại số
Bài 1.6 Tìm ma trận X trong các trường hợp sau
a) 1 2
3 4
3 0
7 2
=
X ; b) X. 3 2
2 1
1 2
1 1
= −
−
;
c) 2 1 4 5 3 2 5 3 1 2 3 4 = X d) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − = − X X. e) 1 2 2 2 5 4 2 4 5 X - 3 5 7 6 2 1 =3 1 5 2 2 1 −2 f) X 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 3 4 3 2 1 2 5 − − = − −
g) X 1 4 4 1 3 7 4 14 23 2 7 13 −3 −5 −15 −7 = 1 2 3 4 1 1 −2 −3 Bài 1.7 Tính các định thức sau a) 7 6 5 1 2 3 2 −1 −2 ; b) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ; c) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 4 4 1 2 3 ;
d) 2 3 5 4 5 3 1 3 3 2 1 4 4 1 5 2 − − − − ; e) 0 0 0 0 x y z x z y y y x z z x ; f) x xy xz xy y yz xz yz z 2 2 2 1 1 1 + + + ;
g) 1 1 1 1 a a a a b b b b ab a b ab a b ' ' ' ' ' ' ' ' h) 1 1 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 3 2 2 3 3 2 x x x x x x x x x x x x i) a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a
Trang 3
n n n n n n n n − − − − k) n n n n n n n n n n n n n n n n
1
1 1 1
1
3 3 3 1
3 2 2 1
3 2 1 − − − − − − − Bài 1.8 Cho A ; B ; C ; D − − − = = = − = − − − 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 a Tính det([(A – B)T + (C – 2D)]A) b Tính det((ATB) + (3C)DT – I3) Bài 1.9 Giải các phương trình, bất phương trình sau a) 1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 2 3 x x x =0; b) x x x x x x x x x + + + + + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8 =0 ; c) 2 2 1 1 1 2 5 3 x x + − − − > 0 Bài 1.10 Chứng minh rằng a) Nếu A, B là các ma trận vuông khả nghịch cấp n và AB = BA thì A-1B-1 = B-1A-1 b) Nếu A1, A2,…, Ak là các ma trận vuông khả nghịch cấp n thì (A1 A2 …….Ak)-1 = 1 1 1 2 1 1 1 − − − − − A A A Ak k Bài 1.11 Tìm hạng các ma trận sau a) − − − − 1 9 7 7 7 1 1 5 4 3 1 2 1 5 3 1 b) − − − − 2 8 1 1 2 7 1 5 2 4 4 2 3 1 2 c) − − − − 0 3 2 10 5 0 7 1 3 5 4 1 4 2 0 d) − − − − − − 5 4 4 7 1 1 3 1 1 0 2 4 1 2 1 0 1 3 4 2
Bài 1.12 Tìm hạng các ma trận sau (biện luận theo m)
a)
10 m 12
b)
−1
−3
−7
−2
c)
3 1 1 4
2 2 4 3
4 10 1
1 7 17 3 m
d)
−
−
−
Bài 1.13
Trang 4a) Cho ma trận A =
1 1 4
m m m
Tìm các giá trị của m để r(A) = 2
b) Cho ma trận A =
m
m
1 1 1
Tìm các giá trị m để r(A) < 3
c) Cho ma trận A =
0 1 1
−1
−1
m Tìm các giá trị m để r(A) = 3
Bài 2.1 Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Gauss
a)
+2 +3 = −1
1 9
−3 +4 =
1
1
;
c)
+2 +3 =
11
+3 +4 =
14
;
e)
= +
+ +
= + +
+
= +
+ +
= +
+ +
2 3
4 3
3 6
5
1 9
2 5
2
1 4
2 3
4 3
2
1
4 3 2
1
4 3
2
1
4 3
2
1
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x x
x
x
; f)
= +
+
=
− + +
= + + +
=
− + +
1 2
5 5
2 3
2
1 3
2
1 2
3
z y x
t z y x
t z y x
t z y x
Bài 2.2 Giải các hệ phương trình sau, chỉ rõ nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản (nếu cĩ)
a)
= + +
+
=
−
−
−
= + +
+
0 8 7 2
3
0 3
7
4
0 5
3
4 3 2
1
4 3 2
1
4 3 2
1
x x x
x
x x x
x
x x x
x
=
−
−
=
− +
= +
−
0 2 5
0 3 2 4
0 3
z y x
z y x
z y x
c)
Bài 2.3 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer
a)
+2 +3 =
11
b)
14
Trang 5c)
1 1 1 1
Bài 2.4 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m
a)
1
2
; b)
2
c)
1
2
; d)
;
e)
1
4
g)
2
; h)
1
3 2
;
i)
2 2
6 5
; j)
2
2 1
2
Bài 2.5 Tìm điều kiện của tham số m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm
a)
2 (1 ) (1 ) 1 1 ; b)
1
Bài 2.6 Cho hệ phương trình
3 3 với a, b là các tham số
a) Xác định a, b để hệ trên là hệ Cramer, khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b b) Tìm a, b để hệ trên vô nghiệm
c) Tìm a, b để hệ trên có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ
Bài 2.7 Tìm các đa thức bậc ba f(x) biết
a) f(1) = 2; f(-1) = -4; f(2) = 8; f(-2) = -28
b) Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua các điểm: (1;4), (3;32), (-3;-4), (2;11)
Trang 6Bài 3.1
a) Chứng minh tập hợp sau là không gian vectơ con của R-kgvt Mat(2x2)
(2 2) 0
a b
c d
b) Chứng minh tập hợp sau là không gian vectơ con của R-kgvt R3[x]
[ ]
V = a +a x+a x +a x ∈R x : a +a +a +a =
Bài 3.2 Trong các trường hợp sau đây, xét xem W có là không gian vectơ con của R-kgvt
Rn không
a) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0}
b) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 + 2x2 = x3}
c) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 + x2 + + xn = 0}
d) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 + x2 + + xn = 1}
Bài 3.3
a) Hãy biểu diễn x=(7;−2 15; ) thành tổ hợp tuyến tính của
u= ; ; ,v= ; ; ,w= ;− ;
−
2 6
f x = + x thành tổ hợp tuyến tính của
u x = +x+ x ,v x = − −x x ,w x = + x+ x
Bài 3.4 Trong các trường hợp sau đây, hãy xác định tham số m để véctơ x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w
a) Trong R3: u = (3, 4, 2), v = (6, 8, 7), w = (5, 6, m), x = (1,3, 5)
b) Trong R3: u = (1, -3, 2), v = (2, -1, 1), w = (3, -4, 3), x = (1, m, 5)
c) Trong R4: u = (1, 2, -3, 2), v = (4, 1, 3, -2), w = (16, 9, 1, -3), x =(m, 4, -7, 7)
d) Trong R2[t]: u(t) = 2 + 2t + 4t2, v(t) = 1 - t - 3t2, w(t) = 3 +3t + 6t2, x(t) = m+9t+5t2
Bài 3.5 Xét tính độc lập tuyến tính , phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau
1) M = {(1, 2, 3), ( 3, 6, 7)} trong R3
2) M = {(2, -3, m), ( 3,-2, 5), ( 1, -4, 3)} trong R3
3) M = {(4, -5, 2, 6), (2, -2, 1, 3), ( 6, -3, 3, 9), ( 4, -1, 5, 6)} trong R4
4) M = {x2 + x + 1, 2x2 + x + 2, 3x2 + mx + 3} trong R2[x]
Bài 3.6 Tìm hạng của các hệ vectơ sau
a) S = {u1 = (1, 2, -1), u2 = (0, 1, 1), u3 =(2, 3, -3)}
Trang 7b) T = {u1 = (1, 2, -1 ), u2 =(1, 1, -2), u3 =(0, 3, 3), u4 =(2, 3, -3)}
c) H = {u1 = (1, -1, 0, 0 ), u2 =(0, 1, -1, 0), u3 =(0, 0, 1, -1), u4 =(-1, 0, 0, 1)}
K A − ,B ,C − ,D
( )
4
I
Bài 3.7 Gọi W là không gian vectơ con của R4 sinh ra bởi hệ vectơ {u1 = (2,-1,3,2); u2 = (-1,1,1,-3); u3 = (1, 1, 9, -5)} Hỏi vectơ u = (3, -1, 0, -1) có thuộc không gian vectơ con W không? Tại sao?
Bài 3.8 Trong R3, cho tập M = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (-1, 0, 1), u3 =(1, 2, m)} Với giá trị nào của m thì M là tập sinh của R3
Bài 3.9 Trong các tập vectơ sau, xét xem tập nào là cơ sở của R3
a) M = {u1 =(1, 2, 3), u2 = (1, 1, 1), u3 = (3,4,2), u4 = (7, 2,1)}
b) M = {u1 = (1, 1, 2), u2 =(1,2,1), u3 =(3 , 2, 2)}
c) M = {u1 =(1, 2, 3), u2 =(2, 3, 4), u3 =(3, 4, 5)}
Bài 3.10
a) Chứng minh tập hợp sau là một cơ sở của R-kgvt Mat(2x2)
b) Chứng minh tập hợp sau là một cơ sở của R-kgvt R3[x]
T = α x = x+x +x ,α x = +x +x ,α x = +x+x ,α x = +x+x
Bài 3.11 Trong không gian R4 cho các tập hợp W1={(x1, x2, x3, x4)∈R4: x1+ x2 =2x3, x1 - x2
= 2x4}, W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = x2 = x3}
a) Chứng minh rằng W1, W2 là các không gian vectơ con của R4
b) Tìm một cơ sở của W1, một cơ sở của W2
Bài 3.12 Trong không gian R4, cho hệ vectơ U ={u1 = (1, -1, -4, 0), u2 = (1, 1, 2, 4), u3
= (2, 1, 1, 6), u4 =(2, -1, -5, 2)} Đặt W = span(U)
a) Tìm hạng của U
b) Tìm số chiều và một cơ sở của W
c) Vectơ u = (6, 2, 0, 16) có thuộc W không? Nếu u thuộc W thì tìm tọa độ vectơ u đối với
cơ sở vừa tìm được ở câu b)
Bài 3.13 Cho B = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R- không gian vectơ V, đặt
E ={v1= mu1 + u2 + 3u3, v2 = mu1 - 2u2 + u3, v3 = u1 - u2 + u3}
a) Xác định m để E là cơ sở của V
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
Trang 8Bài 3.14 Chứng minh rằng tập hợp B ={1 + x + x2, 1 + 2x, 1 + 3x + 2x2} là một cơ sở của R-kgvt R2[x], tìm tọa độ của vectơ u = 3x2 - x + 7 đối với cơ sở B
Bài 3.15 Trong R-kgvt Mat(2x2), choS ={A,B,C ,D} là cơ sở của Mat(2x2), tìm tọa độ của vectơ H đối với cơ sở S
−
Bài 3.16 Trong không gian R3 cho hệ vectơ B = {u1=(1,2,3), u2 =(1,1,2),u3 =(1,1,1)} và hệ vectơ E ={v1 = (2,1,-1), v2 = (3,2,-5), v3 =(1, -1, m)}
a) Chứng minh B là cơ sở của R3 Xác định m để E là cơ sở của R3
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
c) Cho ( )x (2 2 1; ; )
E = ,( )y (2 4; ; 1)
E = − , tìm vectơ x, [3x+2y]E,[ ]x B
d) Cho [ ]v B=
3
1
−2
, tìm v, [v]E
Bài 3.17 Trong không gian R3, cho B ={v1 =(1,0,1), v2 =(1,2,2), v3 =(0,-1,-1)} và
E ={u1 =(1,0,-1), u2 = (1,1,1), u3 = (-1,2,2)}
a) Chứng minh B, E là các cở sở của R3
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E Cho u =(1, 2, 3), tìm [ ]u B,[u]E
c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B Cho[ ]
3 2 1
B
v
, tìm v, [v]E
Bài 3.18 Trong R-kgvt R2[x], cho B là cơ sở chính tắc của R2[x] và E ={v1 = 1 + 3x, v2 = x + 2x2, v3 = 1 + x + x2}
a) Chứng minh E là cơ sở R2[x]
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
c) Cho ( ) (1 2 3)
E
v = ;− ; , tìm v, [ ]v B
Bài 3.19 Cho B ={u1, u2, u3} là một cơ sở của R3 và các vectơ v1, v2, v3 có tọa độ đối với
cơ sở B lần lượt là [ ]1
1 1 1
B
v
=
, [ ]2
1 2 3
B
v
=
, [ ]3
2 2 1
B
v
=
a) Chứng minh E ={v1, v2, v3} là cơ sở của R3 Tìm v1, v2, v3 theo u1, u2 , u3
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B
Bài 3.20 Hãy tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau
Trang 9
=
−
−
=
−
+
= +
−
0 2 5
0 3 2
4
0 3
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
b)
= + +
= + +
= + +
0 6 5 4
0 4 3 2
0 3 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
c)
= +
−
+
= + +
−
= +
−
+
=
− +
−
0 3 6 4
0 2
2
3
0 2 2 2
0 4
3
4 3 2
1
4 3 2
1
4 3 2
1
4 3 2
1
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
d) AX = 0 với A =
−
−
−
−
−
−
−
9 7 1 3
6 1 5 2
6 1 3 2
3 4 2 1
Bài 3.21 Cho không gian R3 với tích vô hướng Euclide Hãy xác định m để các vectơ u, v trực giao nhau
a) u = (2, m,3), v = (1, 3, -4)
b) u = (m m,1), v = (m, 5, 6)
Bài 3.22 Trong R-kgvt R2[x] xét tích vô hướng
1 1
f ,g = f ( x ).g( x )dx
−
∫
(∀ f(x), g(x) ∈ R2[x])
Hãy tính tích vô hướng của f và g trong các trường hợp sau
a) f(x) = 1- x +2x2, g(x) = x – 3x2
b) f(x) = x + 5x2, g(x) = 1 + 6x2
Bài 3.23 Trong không gian R3 với tích vô hướng Euclide Hãy áp dụng quá trình trực giao Gram-Schmidt để biến cơ sở {u1, u2, u3}thành cơ sở trực chuẩn
a) u1 = (1,1,1), u2 = (1,-1,0), u3 = (1,2,1)
b) u1 = (1,0,0), u2 = (3,1,-2), u3 = (0,1,1)
Bài 3.24 Trong R-kgvt R2[x] xét tích vô hướng
1 1
f ,g = f ( x ).g( x )dx
−
∫
(∀ f(x), g(x) ∈ R2[x])
a) Hãy áp dụng quá trình trực giao Gram-Schmidt để biến cơ sở chính tắc B={1, x, x2} thành cơ sở trực giao
b) Gọi W là không gian vectơ con của R2[x] gồm tất cả các vectơ trực giao với u(x)
= x2 Tìm một cơ sở trực giao của W
Bài 3.25 Trong không gian R3 xét tích vô hướng x, y =x y1 1+2x y2 2+3x y3 3
x x ,x ,x , y y , y , y R
a) Hãy áp dụng quá trình trực giao Gram-Schmidt để biến cơ sở
U = { u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u3 = (1,0,0)} thành cơ sở trực chuẩn V={ v1, v2, v3}
b) Tìm tọa độ của x = (1,2,3) đối với cơ sở V
Bài 4.1 Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính
Trang 10a) 3 3 ( ) ( )
0 0
f : R → R , f x, y,z = x, ,
f : R x →R , f a +a x+a x = a , a−
c d
Bài 4.2 Cho ánh xạ tuyến tính 5 4
f : R →R xác định bởi
( ) ( 4 5 9 3 2 2 3 5 8 )
f x, y,z,t ,k = x+ y+ z+ k , x− y+ −z k , x− − −z k , x+ y+ z+ +t k a) Tìm
số chiều và một cơ sở của kerf
b) Tìm số chiều và một cơ sở của imf
Bài 4.3 Cho ánh xạ tuyến tính ( ) 3
2 2
f : Mat x →R xác định bởi
(2 3 5 6 3 4 6 7 3 4 )
a b
c d
a) Tìm số chiều và một cơ sở của kerf
b) Tìm số chiều và một cơ sở của imf
Bài 4.4 Tìm ánh xạ tuyến tính T : R x2[ ]→R x2[ ] biết T( )1 = +1 x, ( ) 2
3
T x = −x ,
T − x+ x
Bài 4.5 Cho ánh xạ tuyến tính 3 3
f : R →R xác định bởi
( ) ( 3 2 4 2 )
f x, y,z = x+ y,− y+z, x−y+ z
a) Xác định ma trận chính tắc của f
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B={b1= −( 1 2 1; ; ,b) 2=(0 1 1; ; ,b) 3 =(0;− −3; 2) }
Bài 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính [ ] 3
2
f : R x →R xác định bởi
f ax +bx+c = a− b+c,b+c,a+ −b c
a) Tìm số chiều của kerf và imf, xác định 1 cơ sở của kerf
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở U và T, trong đĩ
( ) ( ) ( )
U = u x =x+x ,u x = +x ,u x = +x
( ) ( ) ( )
T = t = ; ; ,t = ; ; ,t = ; ;
Bài 4.7 Tìm ánh xạ tuyến tính 3 [ ]
2
f : R →R x biết ma trận chính tắc của f được xác định
bởi
A
−
Tính số chiều của kerf và imf, xác định 1 cơ sở của imf
Trang 11Bài 4.8 Cho
−
là ma trận của ánh xạ tuyến tính ( ) 3
2 2
f : Mat x →R đối
với cơ sở U và T, với
T = t = ; ; ,t = − ; ; ,t = − ; ;
a) Tìm f B( ) T , f C( )T
b) Tìm f A , f D( ) ( )
c) Tìm 2 2
f
Bài 4.9 Tìm ánh xạ tuyến tính 3 [ ]
2
f : R →R x biết rằng ( ) 2
f , , = + x ,
f , , = + x+x Bài 4.10 Tìm ánh xạ tuyến tính [ ] 3
2
f : R x →R biết ma trận của f đối với cơ sở U và T là
A
−
,
U = u x = +x+x ,u x = +x,u x =
T = t = ; ;− ,t = − ; ;− ,t = ; ;
Bài 5.1 Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận sau đây
a) A = 3 0
8 −1
− 1 2
1
2
c) A =
0 1 0
4 0
1 2
−4
−2
d) A =
−
−
0 1 1
1 1 0
1 0 1
Bài 5.2 Tìm ma trận làm chéc hóa A (nếu cĩ)
a) A = 14 12
20 17
−
−
−
c) A =
d) A =
−
Bài 5.3 Chéc hóa các ma trận sau (nếu cĩ)
Trang 12a) A =
−3
−4
−4
b) A =
1 0 0
0 0 3
−1
c) A =
1 0 2
0 0 2
−1
d) A =
2 0 0
0 1 0
2 −1 1
e) A =
1
0 2
−2 −1
−1
−2
f) A =
−2 −1 −4
Bài 5.4 Chéc hoá trực giao các ma trận sau
a) A =
2
2
2
−1 −1
−1 −1
1 2 2
2 1 2
2 2 1
c) A =
5
−1
−1
−3
−3
−3
2 2
2 2 Bài 5.5 Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao a) f(x1, x2) = 5 12 8 4
2 2
1 2
x + x − x x b) f(x1, x2, x3) = x12 x x x x x x x x
2 2 3 2
1 2 1 3 2 3
c) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x22 + 2 x32 + 2 x x1 2+ 2 x x1 3 + 2 x x2 3
d) f(x1, x2, x3) = 2 1 2 1 3 2 3
3
2 2
2
4x + x + x + x x + x x + x x
e) f(x1, x2, x3) = 3 x12 + 2 x22 + x32 + 4 x x1 2 + 4 x x2 3
f) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x22 + 3 x32 − 2 x x1 3 − 2 x x2 3
g) f(x1, x2, x3) = −2 x12 − x − x − x x + x x + x x
2 2 3 2
1 2 1 3 2 3
h) f(x1, x2, x3) = 2 12 5 5 4 4 8
2 2 3 2
1 2 1 3 2 3
x + x + x + x x − x x − x x i) f(x1, x2, x3) = 2 1 2 1 3 2 3
3
2 2
2
2x + x + x + x x + x x + x x
j) f(x1, x2, x3) = 2 x x1 2 + 2 x x1 3+ 2 x x2 3
Bài 5.6 Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange a) f(x1, x2, x3) = 2 x x1 2 + 2 x x1 3+ 2 x x2 3
b) f(x1, x2, x3) = x12 x x x x x x x x
2 2 3 2
1 2 1 3 2 3
c) f(x1, x2, x3) = 2 1 2 1 3
3
2 2
2
1 5x 4x 2x x 4x x
d) f(x1, x2, x3) = 2 1 2 1 3 2 3
3
2 2
2
2x + x + x + x x + x x + x x
e) f(x1, x2, x3) = 2 12 2 3 2 2
2 2 3 2
1 3 2 3
x + x + x − x x − x x