+ Ta phải CM Zn là một miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố.. vì Z là một miền nguyên.[r]
Trang 1ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
§5: TRƯỜNG Bài 1
Giả sử X = { 0, e, x1, …x n } là một miền nguyên
Để CM X – là 1 trường thì ta chỉ cần CM phần tử ≠ 0 của X đều có nghịch đảo
G/s: x i X, x i ≠ 0
Xét x i X = { x i 0, x i e, x 1 x 2 …x i x n }
Do trong X có luật giản ước x iX = X
e X x j X: e = x i xj x j là nghịch đảo của x i
Bài 2 Xét vành Z/Zn = { ´0 , ´1, … ´ n−1 }
1 + Ta phải CM Zn là một miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố
g/s: Z/Zn là miền nguyên, n = a.b, (a, b ≠ 1) n´ = a b´ = a´ ´b a b´ = 0
[a=0´
´b=0 [a b ⋮n ⋮n (vì Z là một miền nguyên)
n = a.b (n là ước của a, b) mà [a b ⋮n ⋮n (mâu thuẫn với giả thiết)
n là số nguyên tố
+ Đảo lại: n là nguyên tố, g/s: a´ , ´b Z/Zn
´
a ´b = ´0 ab´ = ´0 a.b ⋮ n (vì n là số nguyên tố) [a b ⋮n ⋮n
[a=0´
´b=0
Z/Zn là một miền nguyên
2 Ta phải CM: phần tử ≠ 0 Z/Zn đều có nghịch đảo
g/s: a´ Z/Zn , a ≠ 0
Bài 6 Cho X là một trường, e là một phần tử đơn vị của X Bộ phận A = {ne| n Z}
a) CM: A là vành con của vành X, A có phải là một miền nguyên không?
+ A ≠ vì 0 = 0.e A, e = 1.e A (1)
+ n1e, n2e A ta có:
n1e – n2e = (n1 – n2)e A (2)
+ n1e, n2e A ta có:
n1e.n2e = (n1.n2)e A (3)
Từ (1), (2), (3) A là vành con của vành X (ĐKTĐ)
Ta có: vì X là một trường, A X A không có ước của 0 và theo (1)
A là một miền nguyên