Bai tập Đại số Đại Cương 1

Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1Bai tập Đại số Đại Cương 1

1

ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 1

MỤC LỤC

ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 1 1

MỤC LỤC 1

LÝ THUYẾT NHÓM 2

§ 1 Phép toán hai ngôi, nửa nhóm 2

§ 2 Nhóm và các tính chất cơ bản 4

§ 3 Nhóm con 7

§ 4 Cấp của phần tử, nhóm xyclic 10

§ 5 Lớp ghép theo nhóm con Định lý Lagrange 13

§ 6 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương, 15

§ 7 Đồng cấu nhóm 16

LÝ THUYẾT VÀNH 19

§ 8 Vành và miền nguyên 19

§ 9 Iđêan, vành thương 22

§ 10 Đồng cấu vành 25

§ 11 Trường 26

2

LÝ THUYẾT NHÓM

§ 1 Phép toán hai ngôi, nửa nhóm

1.1 Cho tập hợp X có n phần tử Có thể xác định trên X bao nhiêu phép toán hai ngôi

1.3 Nêu ví dụ tập hợp và phép toán hai ngôi xác định trên đó có tính chất

a) giao hoán, kết hợp nhưng không có đơn vị trái và đơn vị phải

b) kết hợp, có đơn vị trái nhưng không có đơn vị phải

c) kết hợp, có đơn vị, nhưng không giao hoán

d) giao hoán, có đơn vị, nhưng không kết hợp

1.4 Trên tập hợp hữu hạn A = {a1, a2, …, an} xác định phép toán hai ngôi ∘ Bảng tính nhân của phép toán ∘ trên A là bảng gồm n dòng, n cột mà tại giao của dòng thứ i và

cột thứ j là tích a i ∘ aj Thiết lập bảng tính nhân cho các phép toán sau và xác định các phép toán đó có tính giao hoán, có đơn vị không:

a) Phép toán tìm bội chung nhỏ nhất trên tập hợp {1,2,3,4,6,12}

3

b) Phép toán tìm ước chung lớn nhất trên tập hợp {1,2,3,4,6,12};

c) Phép toán hợp trên tập hợp các tập hợp con của {1,2};

d) Phép toán giao trên tập các tập hợp con của {1,2};

e) Phép toán hợp hàm số trên tập các hàm số {x, x

1,1

x x

b) Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n có dòng cuối bằng không

c) Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n có cột cuối bằng không

d) Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n có dòng cuối và cột cuối bằng không e) Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n có các phần tử đều bằng nhau

f) Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n có tổng các phần tử của mọi dòng đều

bằng 0

1.6 Trên trong tập hợp các số tự nhiên ℕ xác định phép toán ∘ với a ∘ b = max {a,b}

Chứng minh rằng (ℕ, ∘) có phần tử đơn vị Tìm tất cả các phần tử khả nghịch

1.7 Chứng minh rằng trong (ℕ, ∘) với a ∘ b = min {a,b} không tồn tại phần tử đơn vị

1.8 Cho tập hợp X cùng phép toán hai ngôi * Phần tử e t được gọi là đơn vị trái (e p được

gọi là đơn vị phải) của X nếu e t * x = x (hay x * e p = x) với mọi phần tử x ∈ X Chứng minh rằng nếu X vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì chúng trùng nhau

1.9 Tìm tất cả các phần tử đơn vị trái, đơn vị phải của tập hợp

đối với phép tính nhân ma trận thông thường

1.10 Cho S là tập tất cả các số thực trong đoạn [0,1] Ta định nghĩa a ∘ b = a + b  ab

Chứng minh rằng

a) ∘ là phép toán hai ngôi trên S;

b) (S,∘) là một vị nhóm giao hoán

1.11 Cho a, b là hai phần tử của một nửa nhóm X sao cho ab = ba Chứng minh rằng

(ab) n = a n b n với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Nếu a, b là hai phần tử sao cho (ab)2 = a2b2thì có suy ra được ab=ba không?

4

§ 2 Nhóm và các tính chất cơ bản

2.1 Cho G là một nhóm hữu hạn Chứng minh rằng mọi phần tử của G đều có mặt duy

nhất một lần trên mọi dòng và mọi cột của bảng tính nhân của G

2.2 Chứng minh rằng nửa nhóm hữu hạn G là một nhóm khi và chỉ khi luật giản ước (cả

hai phía) thực hiện được với mọi phần tử thuộc G

2.3 Lập bảng tính nhân của một nhóm có 3 phần tử, 4 phần tử Chứng minh rằng mọi

nhóm có 3 hoặc 4 phần tử đều là nhóm aben (nhóm giao hoán)

2.4 Cho G là nhóm hữu hạn với phần tử đơn vị e, a ∈ G Chứng minh rằng luôn tìm được một số tự nhiên n sao cho a n = e

2.5 Xác định các tập hợp sau đây cùng với phép toán đã cho có lập thành nhóm không

a) Tập hợp M = {1, 1} với phép nhân;

b) Tập hợp các số thực có dạng a + b 3 (a, b ∈ Q và a2 + b2 ≠ 0) với phép nhân;

c) Tập hợp các số thực với phép toán * xác định như sau: a * b = a3b3

2.6 Chứng minh rằng tập hợp S n các phép thế bậc n cùng với phép hợp ánh xạ tạo thành

một nhóm

2.7 Chứng minh rằng tập hợp M(m ×n, R) tất cả các ma trận kích thước m × n hệ số thực

tạo thành một nhóm cộng

2.8 Chứng minh rằng tập hợp GL(n, R) tất cả các ma trận vuông bậc n không suy biến

hệ số thực tạo thành một nhóm nhân Nhóm GL(n,R) được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n

c

b a

0

a b

ad d

a a

2.11 Có tồn tại hay không một nhóm nhân vừa có các ma trận suy biến, vừa có các ma

trận không suy biến?

2.12 Trên tập hợp Z các số nguyên xác định phép toán a* b = a + b + 1 Chứng minh rằng

(Z,*) là một nhóm

2.13 Trên tập hợp Z × Z xác định các phép toán hai ngôi như sau

a) (a, b) ⋅ (c, d) = (ac, ad)

b) (a, b) ⋅ (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

Trong mỗi trường hợp, tập hợp Z × Z cùng phép toán hai ngôi như trên có tạo thành

một nhóm không?

2.14 Cho (A, ⋅) và (B, *) là nhóm Trên tập hợp A × B xác định phép toán hai ngôi ∘ như

sau (a, b) ∘ (c, d) = (a ⋅ c, b * d) Chứng minh rằng (A × B, ∘) là một nhóm (nhóm

trên được gọi là tích trực tiếp của nhóm A và B)

2.15 Cho (G, ⋅) là nhóm, t là một phần tử cố định của G Trên tập G định nghĩa phép toán

hai ngôi * như sau: a * b = a ⋅ t ⋅ b Chứng minh rằng (G,*) là nhóm

2.16 Cho (G, ⋅) là nhóm Trên G định nghĩa phép toán hai ngôi * như sau: a * b = b ⋅ a

2.19 Một phép dời hình phẳng là một ánh xạ từ mặt phẳng vào chính nó mà giữ nguyên

khoảng cách giữa các điểm Chứng minh rằng tập hợp tất cả các phép dời hình cùng với phép toán hợp ánh xạ tạo thành một nhóm

6

2.20 Cho T là một hình phẳng bất kỳ Chứng minh rằng tập hợp tất cả các phép dời hình

biến T thành chính nó tạo thành một nhóm con của nhóm các phép dời hình Nhóm

đó được gọi là nhóm đối xứng của hình T

2.21 (3) Chứng minh rằng nếu trong nhóm tồn tại duy nhất một phần tử a ≠ e sao cho a2

= a thì ax = xa với mọi phần tử x

7

§ 3 Nhóm con

3.1 Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là ổn định đối với phép nhân ma trận? Tập hợp

nào tạo thành nhóm nhân?

\0

0

0

R x x

x 1

01

y x

,

3.2 Sử dụng tiêu chuẩn nhóm con để chứng minh các tập hợp trong 2.10 a,b,c là nhóm

con của nhóm tuyến tính tổng quát bậc 2, từ đó suy ra chúng là nhóm Tập hợp trong 2.10 d có là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát bậc 2 không?

3.3 Cho số n nguyên dương Chứng minh rằng tập hợp U n zC z| n 1(tập các căn

phức bậc n của 1) là một nhóm

| : n 1

U  zC  n N z  (tập các căn phức của 1) là một nhóm

3.5 Sử dụng tiêu chuẩn nhóm con để chứng minh các tập hợp sau là nhóm con của nhóm

tuyến tính tổng quát bậc n

a) Tập SL(n, R) các ma trận thực bậc n định thức bằng 1

b) Tập hợp D(n,R) các ma trận chéo hệ số thực bậc n khả nghịch

c) Tập hợp T(n, R) các ma trận tam giác trên hệ số thực bậc n khả nghịch

d) Tập hợp UT(n, R) các ma trận tam giác trên hệ số thực bậc n có các phần tử trên

sincos

, α ∈ R, tạo thành nhóm

là một nhóm con Nhóm V4 có phải là nhóm aben không?

3.9 Chứng minh rằng mọi bộ phận khác rỗng và ổn định trong nhóm hữu hạn là một

nhóm

3.10 Cho Y là một tập hợp con của tập hợp X Chứng minh rằng

a) Tập hợp S(X) các song ánh từ X vào X là một nhóm với phép nhân hợp nối ánh

xạ

b) Bộ phận S(X, Y) gồm các song ánh f: X → X sao cho f(Y) = Y là một nhóm con của nhóm S(X) Tìm số phần tử của S(X, Y) nếu X có n phần tử và Y có một

phần tử

3.11 Cho S là một tập con khác rỗng của nhóm X Chứng minh rằng nhóm con sinh bởi

tập S là các phần tử có dạng s1 s2…sn với s1, s2,…, s n là các phần tử thuộc S hoặc nghịch đảo của các phần tử thuộc S Tìm nhóm con của nhóm nhân các số hữu tỉ

dương sinh bởi tập hợp các số nguyên tố

3.12 Chứng minh rằng nhóm con sinh bởi tập hợp rỗng trong nhóm X là nhóm con tầm

thường {e} với e là phần tử đơn vị của X

3.13 Chứng minh rằng nếu P và Q là nhóm con của nhóm G thì PQ = Q khi và chỉ khi P

là nhóm con của Q

3.14 Cho H là nhóm con của G, g ∈ G Chứng minh rằng gHg−1 là nhóm con của G

3.15 Chứng minh rằng C(G) = {x ∈ G ∣ ∀g ∈ G : xg = gx} là nhóm con của G

3.16 Chứng minh rằng CG(g) = {x ∈ G | xg = gx} là nhóm con của G

3.17 Cho H là nhóm con của nhóm G Chứng minh rằng N G (H) = {x ∈ G ∣ xHx−1 = H} là

nhóm con của G

3.18 Cho H là nhóm con của nhóm G Tìm N G (gHg−1)?

9

3.19 Tìm tất cả các nhóm con của S3 và D4

Bài tập thêm

3.20 Tập hợp nào là nhóm

a) (ℤ4, +) với ℤ4 là tập hợp các đồng dư theo modun 4

b) (ℂn, ⋅ ) với ℂn là tập hợp tất cả các căn phức của 1

c) (A, +) với A là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

3.21 Cho G là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n thỏa tính chất: "mỗi dòng và mỗi

cột đều có duy nhất một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0" Chứng minh

rằng tập hợp G là một nhóm với phép nhân ma trận thông thường

3.22 Chứng minh rằng các cặp (a, b) với a, b ∈ ℝ tạo thành một nhóm theo phép nhân

như sau

(a1, b1) ⋅ (a2, b2) = (a1 a2, a1b2 + b1)

10

§ 4 Cấp của phần tử, nhóm xyclic

4.1 Tìm cấp của các phần tử ,

1 0

0 1

1 2

1 0

1 0

B Chứng minh rằng o(AB) = ∞ Có tồn tại hay

không một nhóm aben (nhóm giao hoán) mà trong đó tích hai phần tử cấp hữu hạn lại có cấp vô hạn không?

4.3 Điều nào trong các khẳng định sau là đúng? Hãy giải thích

a) Mọi phần tử của nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn

b) Mọi phần tử trong nhóm vô hạn đều có cấp vô hạn

c) Nhóm vô hạn có thể chỉ chứa hữu hạn các nhóm con khác {e}

d) Trong mọi nhóm, tích của hai phần tử bậc hữu hạn có bậc hữu hạn

e) Trong mọi nhóm, tích của hai phần tử bậc vô hạn có bậc vô hạn

f) Trong nhóm aben, tích của hai phần tử bậc hữu hạn có bậc hữu hạn

4.4 Cho x, y là hai phần tử bất kỳ của một nhóm Chứng minh rằng xy và yx có cùng cấp 4.5 Cho X là nhóm, x và y là hai phần tử của X thỏa xy = yx, cấp của x và y lần lượt là m

và n Chứng minh rằng nếu m, n nguyên tố cùng nhau thì cấp của xy là mn

4.6 Cho x là phần tử bậc n của nhóm G Chứng minh rằng x k = e khi và chỉ khi n ∣ k

4.7 Chứng minh rằng nhóm xyclic là nhóm aben

4.8 Chứng minh rằng nhóm G hữu hạn cấp n là nhóm xyclic khi và chỉ khi trong G tồn

tại phần tử cấp n

4.9 Chứng minh rằng mọi nhóm con của nhóm xyclic G = 〈g〉 cấp n đều là nhóm xyclic sinh bởi phần tử x k nào đó với k ∣ n

4.10 Chứng minh rằng trong nhóm cộng các số nguyên, một bộ phận A của ℤ là một

nhóm con khi và chỉ khi A = mℤ với m là một số nguyên nào đó

4.11 Trong nhóm xyclic X = 〈x〉 sinh bởi phần tử x cấp n, chứng minh rằng

11

a) Cấp của phần tử x k (k ∈ ℤ) bằng

),

( n k UCLN

n

k k

( n k UCLN

n

4.13 Trong nhóm nhân ℂ* các số phức khác 0, tìm tất cả các phần tử cấp 2; 4; 8

4.14 Tìm tất cả các phần tử sinh trong nhóm ℤ48

4.15 Chứng minh rằng giao của các nhóm con xyclic cũng là một nhóm xyclic

4.16 Cho X là nhóm, a,b là hai phần tử của X Cho o(a) = m; o(b) = n và (m,n) =1 Chứng

minh rằng 〈a〉 ∩ 〈b〉 ={e} với e là phần tử đơn vị của X

4.17 Chứng minh rằng các nhóm sau KHÔNG là nhóm xyclic

a) Tìm bậc của phép xoay ứng với góc π, 2π/3, π/6, 3π/2

b) Phép xoay ứng với những góc nào có bậc 20?

c) Phép xoay ứng với những góc nào có bậc hữu hạn?

4.19 Trong nhóm G cho các phần tử a, b, c Chứng minh rằng abc, bca và cab có cùng

cấp

4.20 Trong nhóm các phép thế S6 hãy tìm bậc của phần tử σ = (1 2 3 4 5 6)

4.21 Chứng minh rằng nếu phép thế σ trong S n là tích của các vòng xích độ dài n1, n2,…,

n k , thì bậc của nó là bội chung nhỏ nhất của n1, n2,…, n k

12

4.22 Cho X1 × X2 là tích trực tiếp của nhóm X1 và X2 Cho x1 là phần tử cấp m của X1, x2 là

phần tử cấp n của X2 Tìm cấp của phần tử (x1, x2) trong X1 × X2

4.23 Cho X = 〈x〉 và Y = 〈y〉 là các nhóm xyclic hữu hạn có cấp lần lượt là m và n Chứng

minh rằng X × Y là một nhóm xyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau

13

§ 5 Lớp ghép theo nhóm con Định lý Lagrange

5.1 Cho H là nhóm con của nhóm G Chứng minh rằng ánh xạ gH ↦ Hg1 là một song ánh từ tập hợp các lớp ghép trái sang lớp ghép phải Từ đó suy ra lực của tập thương theo lớp ghép trái và tập thương theo lớp ghép phải luôn bằng nhau

5.2 Trong nhóm S3 các phép thế bậc 3 hãy tìm

a) nhóm con xyclic A sinh bởi phép thế σ = (2 3)

b) tất cả các lớp ghép trái và lớp ghép phải theo A

5.3 Trong nhóm nhân C* các số phức khác 0, cho z là số phức khác 0 Chứng minh zR +

= {x ∈ C | arg x = arg z} và biểu diễn zR+ trên mặt phẳng phức

5.4 Trong nhóm nhân C* các số phức khác 0, cho z là số phức khác 0 Chứng minh zR *

= {x ∈ C | arg x = arg z + kπ, k ∈ Z} Biểu diễn zR * trên mặt phẳng phức

5.5 Trong nhóm nhân C* các số phức khác 0, cho H = {z ∈ C | |z| = 1} Mô tả lớp ghép

a) 2H

b) (2 + 3i) H

c) zH với z là số phức khác 0 bất kỳ

Biểu diễn các lớp ghép trên mặt phẳng phức

5.6 Mô tả tập thương của

a) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 3 trên nhóm con các số nguyên là bội của 15;

b) Nhóm nhân các số thực khác 0 trên nhóm con các số thực dương

c) Nhóm cộng các số hữu tỉ theo nhóm cộng các số nguyên

14

5.9 Chứng minh rằng tập hợp H tất cả các phép thế có dạng  

n i

n

i

21

1

2

tạo thành

nhóm con của nhóm các phép thế S n Hãy tìm số lượng các lớp ghép trái và lớp ghép

phải của S n theo H

5.10 Cho A là nhóm con của nhóm G và a ∈ G Chứng minh rằng aA là nhóm con của G

khi và chỉ khi a ∈ A

5.11 Chứng minh rằng nhóm G chỉ có nhóm con tầm thường khi và khi khi G chỉ chứa

duy nhất phần tử đơn vị hoặc G có cấp nguyên tố

5.12 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic

khi nó là lớp ghép phải theo một nhóm con khác của G

5.19 Chứng minh rằng tập hợp M ≠ ∅ của nhóm G là lớp ghép theo nhóm con nào đó khi

và chỉ khi aM−1M = M với a là phần tử nào đó của G

15

§ 6 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương,

6.1 Chứng minh rằng tập hợp H tất cả các phép thế có dạng  

n i

n

i

21

1

2

là nhóm con

nhưng không là nhóm con chuẩn tắc của nhóm các phép thế S n với n ≥ 3

6.2 Chứng minh rằng giao của các nhóm con chuẩn tắc là một nhóm con chuẩn tắc

6.3 Chứng minh rằng mọi nhóm con của nhóm aben đều là nhóm con chuẩn tắc

6.4 Nhóm con nào trong số các nhóm con sau là nhóm con chuẩn tắc

6.5 Chứng minh rằng mọi phần tử của nhóm cộng Q/Z đều có bậc hữu hạn

6.6 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương nhóm Q/Z tồn tại duy nhất một nhóm

con bậc n và nhóm con đó là nhóm xyclic

6.7 Chứng minh rằng nhóm thương của nhóm xyclic là một nhóm xyclic

6.8 Cho G = 〈g〉 là nhóm xyclic, A là nhóm con của G và cấp của G/A là k Chứng minh rằng A = 〈g k〉

6.9 Giả sử X là một nhóm Ta gọi tâm của X là tập hợp C(X) = {a ∈ X ∣ (∀x ∈ X) ax=xa} Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X

6.10 Cho X là một nhóm Hoán tử của hai phần tử x và y bất kỳ trong X được định nghĩa

16

§ 7 Đồng cấu nhóm

7.1 Cho tập hợp (X, ⋅) và (Y,*) khác rỗng Cho f : X → Y là một song ánh thỏa tính chất f(a) * f(b) = f(a ⋅ b) với mọi a, b ∈ X Chứng minh rằng nếu X là một nhóm thì Y cũng là một nhóm Hơn nữa, nếu X là nhóm aben thì Y cũng là nhóm aben, X là nhóm xyclic thì Y cũng là nhóm xyclic

7.2 Chứng minh rằng đồng cấu nhóm f: X → Y là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {e X} với

e X là đơn vị của X

7.3 Chứng minh rằng nếu X, Y là hai nhóm hữu hạn và f: X → Y là một đồng cấu thì

a) bậc của a chia hết cho bậc của f(a);

b) bậc của X chia hết cho bậc của f(X)

7.4 Chứng minh rằng tập hợp EndX tất cả các tự đồng cấu của nhóm X với phép nhân

ánh xạ là một vị nhóm

7.5 Cho X là một nhóm giao hoán Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k ánh xạ φ k : X

→ X biến x ↦ x k là một đồng cấu Với một nhóm bất kỳ, khẳng định trên còn đúng không?

7.6 Cho X là một nhóm Với mỗi phần tử a ∈ X ta xét ánh xạ

f a : X → X biến x ↦ axa–1a) Chứng minh rằng f a là một tự đẳng cấu của X, gọi là tự đẳng cấu trong xác định bởi phần tử a

b) Chứng minh rằng các tự đẳng cấu trong lập thành một nhóm con của nhóm các

tự đẳng cấu của X

c) Chứng minh rằng ánh xạ φ: X → EndX biến a ↦ f a là một đồng cấu nhóm

7.7 Cho X = 〈x〉 là một nhóm xyclic bậc n Chứng minh rằng ánh xạ φ k biến x ↦ x k là

một đẳng cấu khi và chỉ khi UCLN(k, n) = 1

7.8 Cho X = 〈x〉 và Y = 〈y〉 là hai nhóm xyclic có bậc lần lượt là m và n Với mỗi số tự nhiên s ta định nghĩa quy tắc φ s : X → Y cho tương ứng x k ↦ yks Chứng minh rằng

φ s là một đồng cấu khi và chỉ khi sm là bội của n

7.9 Tìm tất cả các đồng cấu nhóm

a) Từ nhóm cộng Z vào Z

b) Từ nhóm cộng Z vào Q