Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, A, B là các ideal của vành Xa. Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị.[r]
Trang 1QUAN HỆ - TẬP HỢP:
1 C/M: nếu A X và B Y thì:
a AxB=(AxY) ∩ (XxB).
b CXxY (AxB)= (CX(A)xY) (XxCY(B)
2 Giả sử X là tập có n phần tử; r là số tự nhiên khác 0 và bé hơn bằng n Tính:
a Số các tập của X gồm r phần tử.
b Số phần tử của P(X).
3 Cho f: X Y là ánh xạ, A; B X và C; D Y C/M:
a f(A B)= f(A) f(B).
b f(A ∩ B) f(A) ∩ f(B).
c f-1(C D) = f-1(C) f-1(D)
d f-1(C ∩ D) = f-1(C) ∩ f-1(D)
e f(X\A) f(X)\f(A).
f f-1(Y\C) = X\ f-1(C)
4 Cho ánh xạ f: A B CMR:
a f là đơn ánh <=> tập X và mọi cặp ánh xạ g:XA; g’:XA sao cho: fg=fg’ đều suy ra g=g’.
b f là toàn ánh <=> tập Y và mọi cặp ánh xạ h:BY và h’: BY sao cho hf=h’f đều suy ra
h=h’
5 Giả sử n là số tự nhiên cho trước, xét ánh xạ f: N N xác định bỡi:
n k voi k n
f có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh?
6 Giả sử f: X Y là ánh xạ và B Y C/M:
a f(f -1(B)) B
b f -1(f(A)) = B B Y khi và chỉ khi f là toàn ánh
7 Cho ánh xạ f: R R biến x thành f(x) = x2 Hãy tìm:
a Ảnh của các đoạn [ -1; 1]; [-1; 1); (-2; 1].
b Tạo ảnh của các đoạn: [-1; 1); [1; + ∞).
8 Vói mọi tậpp A của X, ta định nghĩa ánh xạ: A: X {0; 1} như sau:
A gọi là hàm đặc trưng của tập A của X C/m với mọi A; B bất kỳ X ta có:
a A ∩ B(x) = A(x) B(x)
b A B(x)= A(x)+ B(x)- A(x) B(x)
c A\B(x)= A(x) (1- B(x))
9 Với hai tập X; Y tuỳ ý ta kí hiệu Hom(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ từ X đến Y.
a C/m tương ứng từ P(A) Hom(X; Y) biến A A là một song ánh, trông đó Y={0;1}
b Từ câu a hãy suy ra nếu X có n phần tử thì tập P(X) có 2n phần tử
NHÓM - ĐỒNG CẤU.
10 Giả sử S là tập các số thực nằm trên đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * trên tập S như sau: a*b=
a+b-a.b a, b S
C/m: (S; *) là một vị mnhóm giao hoán
11 Giả sử S là tập các số thực nằm trên đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * trên tập S như sau: a*b=
min (a+b; 1)
a C/m (S, *) là một vị nhóm giao hoán.
b Tìm các phần tử khả nghịch jtrong vị nhóm giao hoán S.
12 Cho X là tập tùy ý và L(X) là tập các ánh xạ từ XX.
a C/m: L(X) là vị nhóm với phép toán là phép nhân hai ánh xạ.
b Xác định tất cả các phần tử khả nghịch trong L(X).
Trang 213 Giả sử a; b là các phần tử của nửa nhóm X sao cho: ab=ba, C/m (ab)n=(ba)n với mọi số tự nhiên n
≥ 1
14 Giả sử S là tập các số phức khác 0, ta định nghĩa phép toán * trong S như sau: a*b=|a|.b với mọi a,
b S
a C/m: (S, *) là một nửa nhóm.
b Tìm các phần tử đơn vị trái phải của S.
c C/m: với mọi a, b S phương trình: a*x=b có nghiệm duy nhất trong S.
15 C/m một nữa nhóm hữu hạn khác rỗng là nhóm <=> phép toán đó có luật giản ước.
16 C/m mọi tập khác rỗng, hữu hạn, ổn định của nhóm X là một nhóm của nhóm X.
17 Cho X là một nhóm với đơn vị e, C/M nếu a X có a2=e thì X là nhóm abel (giao hoán)
18 C/m mọi nhóm có cấp bé hơn 6 đều là nhóm abel.
19 Trong tập hợp X gồm các cặp số thực (a, b) với a ≠ 0, xác định phép toán như sau:
(a,b)*(c,d)=(ac,bc+d)
C/m: X là một nhóm nhưng không abel
20 C/m tập khác rỗng A của nhóm cộng Z là nhóm <=> A=mZ với m Z.
21 C/m: nhóm của một nhóm xiclic là một nhóm xiclic.
22 Cho X là một nhóm và a;b là các phần tử của X.
a C/m cấp của ab bằng cấp của ba.
b Giả sử ab=ba và cấp của a; b là r và s khi đó (r; s)=1 thì cấp ab là r.s
23 Giả sử X là nhóm xiclic sinh bỡi phần tử a cấp n và lấy b=ak C/m:
a Cấp của b bằng n/d trong đó: d=(n; k).
b X= <b> <=> d=1 từ đó suy ra số phần tử sinh của X.
24 Giả sử X1 X2 là hai nhóm xiclic có cấp là n1; n2.C/M: X1xX2 là nhóm xiclic <=>(n1; n2)=1
25 Cho X là nhóm xiclic cấp n và d là một ước của n, C/m rằng có đúng một nhóm cấp d và nhóm
này là nhóm xiclic
26 CMR nếu X là nhóm chỉ có các nhóm tầm thường là X và {e} thì X là nhóm xiclic hữu hạn cấp
nguyên tố
27 C/m nhóm abel cấp 6 là nhóm xiclic.
28 Tìm tất cả các nhóm của nhóm xiclic cấp 12; cấp 24.
29 C/m mọi nhóm cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm .
30 kí hiệu n1là tập các căn bậc của của đơn vị trong trường số phức C C/M:
a n1 Là nhóm xiclic của C*
b G = 1
1
k p k
với p_nguyên tố là một nhóm cấp vô hạn của C*, G không là nhóm xiclic
c Một nhóm thực sự của G đều là nhóm xiclic cấp hữu hạn
31 Cho A là nhóm abel, với mỗi số tự nhiên n ≥ 1 ta xác định An={x A|xn=e} C/M:
a An là nhóm của A
b Nếu (m; n)=1 thì Am ∩ An= {e}
32 Cho A là nhõm hữu hạn cấp chẵn, C/m rằng số phần tử có cấp 2 trong A là số lẻ.
33 Cho X là một nhóm , xét tập của X: C(X)={a X|ax=xa x X} gọi là tâm của nhóm X.
a C/m C(X) là nhóm giao hoán của X và mọi nhóm của C(X) đều là nhóm chuẩn tắc
của X
b Tìm tâm của nhóm GL(n, R): nhóm các ma trận vuông cấp n thực và SL(n, R): là tậpp các
định thức thực cấp n có định thức bằng 1
34 Giả sử A; B là hai nhóm chuẩn tắc của nhóm X.
C/M:
a AB là nhóm chuẩn tắc của X và AB=BA.
b A ∩ B là nhóm chuẩn tắc của X Nếu A ∩ B={e} thì ab=ba a A; b B.
Trang 335 Cho S là tập của nhóm X, khi đó tập con: NS={a X|aS=Sa} Gọi là cái chuẩn tắc hoá của S CM:
a NS là nhóm của S
b Nếu A ≤ X thì A chuẩn tắc trong NA
c Nếu A ≤ X và B ∆ \ A thì A NB
36 Cho X là một nhóm, x, y là hai phần tử của X ta gọi phần tử x-1y-1xy là một hoán tử của x và y
a C/mr nhóm A sinh bỡi tập các hoán tử của tất cả các cặp x, y của X là một nhóm
chuẩn tắc của X nhóm A gọi là đạo nhóm của X và kí hiệu là [X; X]
b C/m nhóm thương X/[X, X] là nhóm abel.
c CMR nếu H là nhóm chuẩn tắc của X thì nhóm thương X/H là abel <=> [X, X] H.
37 Cho X là nhóm Đặt [x; y]= x-1y-1xy x; y X C/M:
a [a; b]-1=[b; a]
b [ab; c]=[a, c]b.[b, c]
c.
-1
[a , b]=[b, a] trong đó xy=y-1xy
38 Hãy mô tả các nhóm thương sau:
a Nhóm cộng mZ trên nhóm con mnZ.
b Nhóm nhân các số thưc khác 0 trên nhóm các số thưc dương.
39 C/m nhóm thương của nhóm xiclic là nhóm xiclic; ảnh đồngcấu của nhóm xicliclà nhóm xiclic.
40 C/m: GL(n; R)/SL(n; R) đẳng cấu với R*.
41 C/M nhóm cộng các số thực đẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương.
42 C/M nhóm cộng các số hữu tỉ không đẳng cấu với nhóm nhân các số hữu tỉ dương.
43 C/M: mọi nhóm cấp 4 hoặc đẳng cấu với Z4 hoặc đẳng cấu với Z2xZ2
44 C/M mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với Z6 hoặc đẳng cấu với S3
45 C/m định lí đảo của định lí Lagrange không đúng,VD: A4 có cấp 12 nhưng không chứa nhóm cấp 6
46 C/M: mọi nhóm xiclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau.
47 CMR: hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng cấu với nhau <=> chúng cùng cấp.
48 Cho X; Y là hai nhóm xiclic cấp tương ứng s, t và có phần tử sinh x và y.
a C/m quy tắc cho ứng với mọi xn X với phần tử (yk)n Y, với k là số tự nhiên khác 0 cho trước, là một đồng cấu nhóm <=> s.k là bội của t
b C/m rằng nếu là đẳng cấu thì (s; k)=1
49 Giả sử X; G1; G2 là các nhóm, G=G1xG2 và f: XG1; g: XG2 là các ánh xạ Xét ánh xạ h: XG biến x h(x)=(f(x); g(x))
C/M:
a h là đồng cấu <=> f và g là các đồng cấu.
b Nếu f hoặc g đơn cấu thì h đơn cấu.
c Nếu h là toàn cấu thì f và g là các toàn cấu.
d Chiều ngược lại của b và c có đúng không?
50 Cho f: XY là đồng cấu từ nhms hữu hạn X đến nhóm Y C/M:
a Cấp của a X chia hết cho cấp của f(a).
b Cấp của f(X) chia hết cấp của X.
51 Hãy tìm tất cả các đồng cấu từ:
a Nhóm xiclic cấp 6 đến nhóm xiclic cấp 18.
b Nhóm xiclic cấp 18 đến nhóm xiclic cấp 6.
c Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó.
d Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic cấp vô hạn.
e Nhóm cộng các số hữu tỉ Q đến nhóm cộng các số nguyên Z.
52 C/m rằng nhóm thương R/Z đẳng cấu với nhóm nhân U các số phức có môdun bằng 1.
53 C/M nếu nhóm A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm Xthì tồn tại một song ánh từ tập các nhóm
chuẩn tắc của X chứa A đến tập các nhóm chuẩn tắc của nhóm thương X/A
Trang 454 Cho X là nhóm abel và End(X) là tập tất cả các tự đồng cấu của X C/m:
a End(X) là một nhóm abel với phép cộng được xác định như sau: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
b End(Z) đẳng cấu với Z, End(Zn) đẳng cấu Zn và End(Q) đẳng cấu với Q
55 Cho Aut(X) là tập tất cả các tự đồng cấu của nhóm X C/m:
a Aut(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
b Aut(Z) đẳng cấu Z2 ; Aut(Zn) đẳng cấu Un ( là nhóm các phần tử khả nghịc trong Zn) Aut(Q) đẳng cấu Q*
56 Cho nhóm X và a X xét ánh xạ: a^: X X biến x a.x.a-1
a C/m a^ là một tự đồng cấu của X ( gọi là tự đồng cấu trong của X).
b Tập Int(X) là tập tất cả các tự đồng cấu trong của Xlà một nhóm chuẩn tắc trong Aut(X).
c C/m: X/C(X) đẳng cấu với Int(X).
57 cho A là nhóm có chỉ số hữu hạn trong X C/m rằg tồn tại một nhóm chuẩn tắc B của X chứa
trong nhóm A và chỉ số của B trong X là hữu hạn
58 Cho nhóm G và p là số nguyên tố bé nhất chia hết cấp của G hữu hạn ; H là nhóm chỉ số p trong
G C/m H là nhóm chuẩn tắc trong G
59 C/m mọi nhóm cấp p2( p- nguyên tố) đều đẳng cấu với Zp2
hoặc đẳng cấu với ZpxZp
60 Giả sử p; q là hai số nguyên tố và p < q; q ≠ 1 (mod p) CMR: mọi nhóm cấp p.q đều là nhóm
xiclic cấp p.q
61 Mô tả tất cả các nhóm hữu hạn cấp p.q với p;q là các số nguyên tố.
62 mô tả tất cả các nhóm hữu hạn có cấp ≤ 10.
VÀNH TRƯỜNG.
63 C/m các tập sau đây với phép cộng và nhân các số lập t7hành một vành:
a tập Z.
b Tập các số nguyên là bội của n cho trước.
c Q.
d R
e C
f Tập Z( 2)={a+b 2|a, b Z}
g Tập Z(i)= {a+bi| a, b Z}.
64 C/M các tập sau là vành với phép cộng và nhân các ma trận:
a M(n Z)
b M(n; R)
c. 2
b a với a, b R.
65 Cho A là nhóm cộng abel và End(A) ập tất cả các tự đồng cấu của A CMR với phép cộng và phép
nhân cho như sau: (f+g)(a)= f(a)+g(a) và fg(a)=f(g(a)) Là một vành có đơn vị
66 Cho X là một vành và S là tập bất kỳ kí hiệu XS là tập các ánh xạ từ SX C/m: XS là một vành với phép nhân và cộng như sau: (f+g)(s)= f(s) = g(s) và fg(s)= f(s).g(s)
67 Cho X là vành, tập con C(X)={a X|ax=xa, x X} gọi là tâm của X C/m C(X) là vành giao
hoán của X
68 Tìm tâm của vành M(n; R).
69 Giả sử X là vành, A và B là các ideal của X C/m: tập con A+B={a+b|a A, b B} là ideal của X
70 Giả sử X là vành, a là số tự nhiên cho trước C/m tập con A={x X|ax=0} là một ideal của X.
71 Giả sử A là miền nguyên, e là đơn vị của A và giả sử n là số nguyên dương bé nhất: ne=0 (n là cấp
của e trong nhóm cộng của vành A) C/m:
a n là số nguyên tố.
b Các cấp của mọi phần tử a A, a ≠ 0trong nhóm cộng của vành A đều bằng nhau và bằng
n
Trang 5c Tập con: kA={k.a|a A} với k là số nguyên cho trước là một ideal của A.
d kA={0} nếu k chia hết cho n.
kA=A nếu k không chia hết cho n
72 Cho A là vành, B là tập có hai phhép toán cộng và nhân; f: AB là song ánh thoả:
f(a+b)=f(a)+fb) và f(ab)=f(a).f(b) a, b A
C/m:
a B là vành.
b Nếu A là vành giao hoán có đơn vị thì B cũng là vành giao hoán có đơn vị.
73 C/m; vành M(n; R) không có ideal nào ngoài ediel tầm thường và chính nó.
74 Cho X là vành tuỳ ý và Z là vành các số nguyên Trên XxZ định nghĩa các phép toán:
(x1, n1)+(x2; n2)= (x1+x2; n1+n2)
(x1, n1).(x2; n2)= (x1x2+n1x2 +n2x1; n1.n2)
C/m: XxZ là vành có đơn vị
C/m: ánh xạ f: XXxZ biến x f(x)= (x; 0) là đơn cấu
suy ra mọi vành đều có thể nhúng vào vành có đơn vị
75 Cho X là vành và a X C/m:
a Ánh xạ ha: XX biến xax là một đơn cấu của nhóm cộng vào vành X
b Ánh xạ: h: X End(X) biến a h(a)=ha là một đẳng cấu
c Tìm Kerh C/m: h là đơn cấu khi X là vành ó đơn vị.
76 Giả sử X, Y là các vành, f: X Y là đồng cấu vành A và B theo thứ tự là các ideal cả X và Y sao
cho f(A) B Ánh xạ: p: XX/A; p’: Y Y/B là các toàn cấu chính tắc C/M: tồn tại duy nhất một
đồng cấu: f ‘ :X/A Y/B sao cho hình vuông sau giao hoán, tức là: f’p=p’f.
X - Y (f) - Y/B (p’) X - X/A(p) Y/B (f ‘) Nếu f là toàn cấu thì f ‘ cũng là toanc cấu
77 Cho X là vành có đơn vị, S là tập khác rỗng của X <S> là ideal sinh bỡi S C/M:
a <S>= 1
| , ; ;
n
i i i i i i i
Đặc biệt khi s={a} thì …
b Nếu X là vành giao hoán và S=a a1, , ,2 a n
thì <S>= 1
| ; ;
n
i i i i i
a x x X a S n N
78 Cho A là mộy ideal của vành X, p: X X/A là toàn cấu chính tắc C/m:
a Nếu B ∆ \ X thì p(B) là ideal của X/A.
b Tương ứng B p(B) là song ánh từ tập các ideal cũa chứa A lên tập các ideal của X/A.
c Áp dụng: tìm các ideal của Z10
79 Xét tích trực tiếp: X=X1xX2 của hai vành C/m:
a các tập con A1= {(x1; 0)| x1 X1} và A2={(0; x2)| x2 X2} Là các ideal của X và
A1∩ A2= {0}; A1+A2=X
b Kerpi= Ai với pi: X Ai la các phép chiếu chính tắc Do đó: X/Ai đẳng cấu Xi
c Gọi: qi: Xi X là các phép nhúng chính tắc C/m: q1.p1+q2.p2=1X.;
piqi=1Xi
Và piqj=0 với I ≠ j
80 Giả sử A; B là các ideal của vành X Nếu X=A+B và A ∩ B ={0} thì ta nói X phân tích được
thành tổng trực tiếp của các ideal A và B, k/h: X=AB.
a C/m: X=AB <=>mọi phần tử x X đều víêt được duy nhất dưới dạng: x=a+b trong đó
a A và b B
b Nếu X=AB thì X đẳng cấu với AxB.
c C/m vành các số nguyên Z chỉ có sự phân tích tầm thường, tức là: Z=AB thì A hoặc B={0}.
Trang 681 Tìm các đồng cấu vành:
a Z6Z18
b Z18 Z6
c Z Q.
82 Tìm tất cả các tự đồng cấu của các vành: Z; Z( 2) và Z(i)
83 CMR mọi vành có đơn vị và có p phần tử (p_nguyên tố) đều đẳng cấu với vành Zp
84 Có đúng hay không mội vành có đơn vị có m phần tử đều đẳng cấu với Zm
TRƯỜNG
85 C/m: vành Zn là trường <=> n- nguyên tố
86 a m các tập con: Q( 2) ={a+b 2| a,b Q} và Q(i) ={a+bi| a,b Q}là các trường của trường số phức C
b C/m: các trường Q( 2}, Q(i) không đẳng cấu với nhau
c Tìm tất cả các trường con của Q( 2}, Q(i)
87 Giả sử X là trường , Y là tập hợp đã cho cùng với phép toán cộng và nhân trong Y, f: X Y là song
ánh đến Y thoả: f(a+b) = f(a) + f(b) và f(ab) = f(a).f(b) a, b X
C/m: Y là trường và X đẳng cấu với Y
88 C/m tập hợp các ma trân dạng: 2
b a với a; b Q, là một trường đôiz với phép cộng và nhân các
ma trận Trường này đẳng cấu với Q( 2)
89 Cho X là trường và A là vành của vành X.
a CMR: nếu A có nhiều hơn một phần tử và A có đơn vị thì phần tử đơn vị của A chính là
đơn vị của X
b Giả sử A là miền nguyên C/m: tập : P={a.b-1|a; b A; b ≠ 0}là trường của X và P là trường các thương của miền nguyên A
c C/m: P là trường bé nhất trgong các trường của X chứa A.
90 Tìm trường các thương của miền nguyên sau:Z( 2); Z(i) và Z(3 2)
91 Cho p là số nguyên tố C/m: tập các số hữu tỉ dạng:
m
n trong đó n nguyên tố với p là một miền
nguyên Tìm trường các thương của miền nguyên này
92 Hãy tìm tất cả các tự đồng cấu của các trường sau:
a Q.
b Q( 2)
c Q(i)
d R
e C sao cho các tự đồng cấu đó trên R là ánh xạ đồng nhất.
93 Cho X là một vành có đơn vi, sao cho: x2=x x X C/m:
a x=-x x X.
b X là vành giao hoán.
c Mọi ideal nguyên tố của X đều là ideal tối đại.
d Mọi ideal hữu hạn sinh của X đều là ideal chính.
e Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm có 2 phần tử X={0, 1}.
Vành có tính chất trên gọi là vành boole
94 Tìm các ideal nguyên tố và tối đại trong các trường sau: Z; Z12; Z2xZ2
95 Giả sử A là miền nguyên và mỗi nhóm của nhóm cộng Alà một ideal của vành A C/m: A đẳng
cấu với Z hoặc đẳng cấu với Zp (p_ nguyên tố)
Trang 796 Cho a là một phần tử của vành giao hoán có đơn vị X kí hiệu: Ann (a) = {x A| xa=0}.
a C/m: Ann (a) là một ideal của vành X.
b Tìm Ann(4) trong vành Z32
97 Trong vành giao hoán có đơn vị X, phần tử x gọi là luỹ linh nếu tồn tại số tự nhiên n>0: xn=0 C/m:
a Mọi phần tử luỹ linh khác 0 đều là ước của 0.
b Nếu x luỹ linh thì 1+x khả nghịch; 1-x cũng hả nghịch.
c Nếu x luỹ linh và u khả nghịch thì u+x khả nghịch.
98 Cho X là vành giao hoán có đơn vi C/m:
a Tập R(X) tất cả các phần tử luỹ linh của vành X là một ideal của X R(X) gọi là nil-căn
của X
b C/m: vành thương X/R(X) không có những phần tử luỹ linh khác không.
99 C/m: nil-căn R(X) của vành giao hoán, có đơn vị X là giao của tất cả các ideal nguyên tố trong
vành X
100 Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, R(X) là nil-can của X C/m các khẳng định sau tương
đương:
a X có đúng một ideal nguyên tố.
b Một phần tử bất kỳ của X hoặc khả nghịch hoặc là luỹ linh.
c Vành thương X/R(X) là trường.
101 Giả sử X là vành giáo hoán có đơn vị và mỗi phần tử x X đều tồn tại số tự nhiên n > 1 (phụ
thuộc vào x) sao cho xn=x C/m: mọi ideal nguyên tố trong X đều là ideal tối đại
102 Giả sử A là ideal trong vành giao hoán có đơn vị X xét r(A)= {x X| x n A}.
a C/m: r(A) là ideal của vành X ideal r(A) gọi là căn của ideal A.
b C/m: r(A)= p-1(R(X/A)) trong đó P: X X/A là toàn cấu chính tắc và R(X/A) là nil-căn của vành X/A
c C/m: r(A) là giao của tất cả các ideal nguyên tố của X chứa A.
103 Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, A, B là các ideal của vành X C/m:
a r(A) A; r(A)=X <=> X=A
b r(r(A))= r(A)
c r(AB)= r(A ∩B)= r(A) ∩ r(B)
d Nếu P là ideal nguyên tố thì r(Pn)=r(P)=P n ≥ 1 n N
104 Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, A, B là các ideal của vành X C/m:
a r(A+B) = r( r(A)+r(B)).
b Các ideal A và B nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi r(A) và r(B) nguyên tố cùng nhau.
105 Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, S là tập nhân của X, A là ideal của vành X
S -1 A=
1 |
a
S X a A s
a C/m: S-1A là ideal của S-1X và mọi ideal của S-1X đều có dạng S-1A với A là một ideal của X
b Tương ứng: P S-1P là một song ánh giữa tập các ideal nguyên tố của X không giao với S và tập các ideal nguyên tố của vành S-1X
106 Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị A, B là các ideal của vành X, S là tập nhân C/m:
a S-1(A+B)= S-1(A)+S-1(B)
b S-1(A ∩ B) = S-1(A)∩ S-1(B)
c S-1(r(A)) = r(S-1(A))
d S-1(R(X)) = R(S-1(X))
VÀNH CHÍNH -VÀNH EUCLIDE.
107 Giả sử a; b là hai phần tử của vành chính X và (a; b)=d C/m: <a, b>=<d>
108 Giả sử X là vành chính và A là ideal của X C/m:
a mọi ideal của vành X/A đều là ideal chính.
b Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố.
Trang 8109 Giả sử X là vành Euclide và A là ideal của X C/m: thương X/A là vành Euclide khi và chỉ khi A
là ideal nguyên tố của X
110 C/m: vành chứa đơn vị của một vành chính có thể không phải là Vành chính.
111 C/m: vành chứa đơn vị của một vành Euclide có thể không phải là Vành Euclide.
112 C/m: trường là một vành Euclide.
113 Giả sử A là vànhEuclide C/m: A là trường khi và chỉ khi ánh xạ: : A* N là ánh xạ hằng, tức là
(x)= n x
114 Giả sử X là vành chính và S là tập nhân của X C/m rằng: vành S-1X là vành chính
VÀNH ĐA THỨC.
115 Tính số các đa thức bậc n trong vành Z3[x]
116 C/m: đa thức 1x 2 14 Z15[x] có 4 nghiệm trong Z15
117 Cho I là ideal của vành giao hoán có đơn vị A CMR:
1
( ) n i | , 0, ,
i
laf một ideal của vành đa thức A[x]
b A[x]/I[x] (A/I)[x].
c I là ideal nguyên tố trong A <=> I[x] là ideal nguyên tố trong A[x].
d Nếu I là ideal tối đại trong A thì I[x] là ideal tối đại không?
118 CMR: A[x]/<x> A.
Do đó <x> là ideal nguyên tố trong A[x] nếu X là miền nguyên
Là ideal tối đại nếu X là trường
119 Giả sử A là vàh giao hoán có đơn vị và đa thức f(x) = a0+a1x+…+anxn A[x] C/M:
a f khả nghịch trong A[x] <=> a0 khả nghịch trong A và a1;…;an là các phần tử luỹ linh
b f luỹ linh trong A[x] <=> a0, …,an luỹ linh trong A
c f là ước của không <=> tồn tại phần tử khác 0 q A sao cho qf=0.
120 Giả sử A là vành giao hoán, có đơn vị và f(x) A[x] C/m:\
a với b A f(x) bất khả quy <=> f(x+b) bất khả quy.
b Nếu A là trường và a, b A, a ≠ 0 thì f(x) bkq <=> f(ax+b) bkq.
121 Cho A là một trường và f(x) A[x] C/m:
a Nếu deg f(x) = 1 thì f(x) BKQ.
b Nếu deg f(x) =2 hoặc 3 thì f(x) BKQ khi và chỉ khi f(x) không có nghiệm trong A.
122 Giả sử A là trường và f(x)=a0+a1x+…+anxn là đa thức BKQ trong A[x] bậc n > 1 C/m: g(x)=an+an-1x+… +a1xn-1+a0xn cũng là ssa thức BKQ trong A[x]
123 Cho đa thức f(x) với hệ số nguyên và biết rằng tồn tại 4 số nguyên khác nhau x1; x2; x3; x4 sao cho f(xi)=5 với i=1,…,4 C/m: với mọi số nguyên n thì f(n) ≠ 1998
124 C/m: các đa thức sau BKQ trong Q[x] với a1; a2; …;an là các số nguyên phân biệt:
a (x-a1)(x-a2)…(x-an)-1
b (x-a1)2 (x-a2)2 …(x-an)2 -1
125 C/m các đa thức sau bất khả quy trong Q[x]:
a 5x3+6x2 +5x+ 25
b 7x3+ 6x2+ 11x+ 11
c 3x4+ 5x3- 4x+ 1
d X4- 9x3 + 6x-1
e X4 +8x3+x2+2x+5
126 CMR: nếu f(x) = ax2+ bx+ c Z[x] với a ≠ 0 có nghiệm hữu tỷ thì ít nhất một trong 3 số a, b, c chẵn