Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : a Cơ số của logarit là một số thực bất kì.. b Cơ số của logarit là một số nguyên.. c Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.. Trong các
Trang 1BÀI 2 – MỞ ĐẦU VỀ LÔGARIT
PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NẮM
I – KHÁI NIỆM LOGARIT
1 Định nghĩa
Cho hai số dương ,a b với a 1 Số thỏa mãn đẳng thức a được gọi là lôgarit b
cơ số a của b và kí hiệu là log a b
2 Tính chất
Cho hai số dương a và ,b a 1 Ta có các tính chất sau:
log
log 1 0; log 1,
a
b
a
a
II – QUY TẮC TÍNH LOGARIT
1 Lôgarit của một tích
Cho ba số dương a b, ,c với a 1, ta có: loga bc loga blog a c
Lưu ý: Định lý mở rộng
Cho các số dương a b, i 1 i n là các số dương, a 1 Ta có:
loga b b b n loga b loga b loga b n
2 Lôgarit của một thương
Cho ba số dương , ,a b c với a 1, ta có:
loga b loga b log a c
Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit Đặc biệt: loga 1 loga b b 0
3 Lôgarit của một lũy thừa
Cho hai số dương , ;a b a 1 Với mọi , ta có: loga b .log a b
Đặc biệt: log n 1log
n
III – ĐỔI CƠ SỐ
Cho ba số dương , ,a b c với a1,c ta có 1, log log
log
c a
c
b b
a
Đặc biệt: log 1
log
a
b
b
a
V – LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN
1 Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 Ta có log b thường được viết là log b hoặc lg 10 b
Trang 22 Lôgarit tự nhiên
Số e: lim 1 1 e
n
n n
Ta có: e 2,718281828459045. Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Ta viết log b là e ln b
PHẦN 2 – B I TẬP CƠ BẢN
1 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
a) Cơ số của logarit là một số thực bất kì
b) Cơ số của logarit là một số nguyên
c) Cơ số của logarit phải là số nguyên dương
d) Cơ số của logarit phải là số dương khác 1
2 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Có logarit của một số thực bất kì
b) Chỉ có logarit của một số thực dương
c) Chỉ có logarit của một số thực dương khác 1
d) Chỉ có logarit có một số thực lớn hơn 1
3 Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau đây xác định?
1 2x c) 2
1
4
0,7
log 2x
4 Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để có đẳng thức đúng
a) loga xy ; b) log a xloga y;
5 Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:
a) loga xloga y 0 x y; b) loga xloga y x y 0
6 Hãy tìm logarit của mỗi số sau theo cơ số 3: 1 3 1
3; 81;1; ; 3;
7 Tính các giá trị sau mà không dùng máy tính bỏ túi 1
5
log 125; log0,51;
2 14
1
64 log 36 16
8 Tính: 3log 18 3 ; 35log 2 3 ;
2 log 5
1
; 8
0,5 log 2
1
32
9 Tìm số chữ số của số A 22022 khi viết trong hệ thập phân
Trang 310 Tìm x biết
6
log 0,5x 1
11 So sánh:
a) log 4 và 3 log4 1;
6 log 1,1
3 và 7log 0,99 6
12 So sánh
a) log 10 và 2 log 30; 5 b) log 20,3 và log 3; 5
c) log 5 và 3 log 4; 7 d) log 10 và 3 log 57 8
13 Tính loga x trong mỗi trường hợp sau, biết log a b3; loga c 2
a) xa b3 2 c; b) x a4 3.3b
c
14 Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ
số tiền ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
15 Biểu diễn các số sau đây theo a ln 2, b ln 5
ln 500; ln ; ln 6, 25; ln ln ln ln ln
16 Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức e ,rt
S A trong đó A là số lượng
vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r 0 , t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ, có 300 con Hỏi sau 10 giờ, có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?
17 Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ plutoni 239
Pu là 24360 năm (tức là một lượng
239
Pu sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức e ,rt
S A trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (
0
r ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy .t Hỏi 10 gam
239
Pu sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?
18 Cho ,a b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó c b 1 và c b 1 Chứng minh rằng logc b alogc b a2 logc b a.logc b a
19 Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng
a) logb loga;
a b b) lnb lna
a b
Trang 420 Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Nhật là 0, 2% Năm 1998, dân số của Nhật là 125932 000 Vào năm nào dân số của Nhật sẽ là 140000000?
21 Tính
5
4
loga a . a a ;
B
a
dáu can
n
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
22 Biểu thức ln 100e bằng 2
A 2 2ln10. B 2
ln10
23 Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn a b4 3 Giá trị của 1 loga a32
b bằng
1 4
4
1
y
, với y0, y Chọn khẳng định đúng x
4
4
y x C x3 y D 3x5 y
25 Cho các số thực dương , , , a b c d Giá trị của biểu thức P lna lnb lnc lnd
26 Tính
2 3
log
a
P
với 0 a 1
13
37
27 Tính giá trị biểu thức 2
1
1
a a
P a a với 0 a 1
4
4
4
4
P
28 Nếu loga bx thì 2
3 4
log
a a b bằng
2
3
2x
Trang 529 Cho log3x 3 Tính 2
3
3
log log log 3
2
2
2
2
30 Cho loga b 91 Giá trị của 2 3
3 4
log
a b a b bằng
267
367
367 366
31 Biết log log log3 4 2 x 0 Giá trị của biểu thức P2x1 là
32 Biết log log 2 log 2 log2 3 4 5 x 0 Giá trị của P2x1 là
33 Cho 0 , cos 3
Tính Plog sinxlog cosxlog tan x
2
10
2 x
và sin 3
10
x Tính Plog sinxlog cos2 xlogcotx
2
2
35 Cho loga x2, logb x với ,3 a b là các số thực lớn hơn 1 Tính
2
loga
b
6
6
P
36 Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ab 1 và logab a 3 6 Tính P logab3 a
b
1 2
37 Biết 2
34
a b ab Giá trị của 3 2
2 3
log
a b a b bằng
67
101
302 203
Trang 638 Cho ,a b là các số thực dương, a1 và thỏa mãn log 98.
99
a b
a
3
log
a
a P
b
149
39 Biết loga b99; logb c199,ab Giá trị của 1 Plogab bc bằng
40 Cho các số thực a b, ,c thỏa mãn alog 7 3 27;blog 11 7 49;clog 25 11 11 Giá trị của biểu thức
2 2 2
41 Cho a0,a Giá trị của biểu thức 1 Plog3a a a a a a bằng
93
31
31 16
42 Cho a0,a Giá trị của biểu thức 1 Ploga a a a a3 4 5 bằng
19
103
43 60
43 Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn log9alog12blog16a b Tính a
b
2
2
2
2
44 Tính giá trị biểu thức P ln tan1 ln tan 3 ln tan 5 ln tan 89
45 Cho , ,a b c là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn logab c10; logbc a11 Giá trị của logca b là
241
109
132
101
46 Cho số thực x thỏa mãn log log2 8xlog log8 2x Tính 2
2
log
3
3
P
Trang 747 Cho xlog 15;3 ylog 10.3 Biết log 50 ax by c3 (với , ,a b c ℤ ) Giá trị của
a b c bằng
48 Cho alog 4;3 blog 4.5 Hãy biểu diễn log 8012 theo a và b ?
A
2 12
log 80 a ab
ab b
2 log 80 a ab
ab
log 80 a ab
ab b
2 12
log 80 a ab
ab
49 Cho x là số thực dương thỏa mãn log log3 27xlog27log3x Tính 2222
3
50 Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn log25xlog10ylog 74 x6 y Tính x
y
2
5
D log 7.25