056 đề HSG toán 9 thái bình 2011 2012

3,0 điểm Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích.. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.. Tìm m để tam giác ABM có diện tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm)

Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho biểu thức:

P  1 x 1 x 1 x      1 x 1 x 1 x     với x    1;1  Tính giá trị của biểu thức P với x 1

2012



Câu 3 (3,0 điểm)

Tìm các số thực x, y thỏa mãn:

 x 1 y 16x2  2 2  2  x2  2x y  3 9 8x y 8xy  3 

Câu 4 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x  2 và hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm trên (P) Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m    1 m 3   Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất.

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác) Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P.

a) Chứng minh: AI BI CI 2

AM BN CP    . b) Chứng minh:

AM.BN BN.CP CP.AM 3 R OI    

Câu 6 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi x, y, z lần lượt

là khoảng cách từ tâm O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: y + z - x = R + r.

Câu 7 (2,0 điểm)

Cho x; y thỏa mãn











x;y R

1

0 x;y

2

Chứng minh rằng: x y 2 2

1 y 1 x     3

Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

(Gồm 4 trang)

Gọi độ dài các cạnh của tam giác vuơng là a, b, c (a là độ dài cạnh huyền)

Theo giả thiết và định lý Pitago, ta cĩ:

 

 

a b c bc 1

  







0.5

b c 2bc 2 a b c a

b c 2 a

a b c 0 loại

  



 

  



0.5 Thế a = b + c - 2 vào (2) ta được:

Vì b, c là các số nguyên dương nên ta cĩ các trường hợp sau:

Vậy tam giác cần tìm cĩ các cạnh là 3; 4; 5

1.0

Câu 2

2012

2 2

2

Ta có: ) 2 1 x 2 1 x 1 x x 2x 1 2 1 x 1 x 1 x

1 x 1 x ) 2 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x

0.5

0.5

Suy ra : P 2 1 x   1 x  1 x 1 x 0.5

 1 x 1 x 2  1 x 1 x   1 x

1

2012

2012 2012



0.5 0.5 0.5

Chú ý: Nếu HS tính P 2

- Tính: P2 2 1 x  2 1 x x  2 2

- Rút gọn: P2 2 1 x   2 1 x x  

- Thay x 1

2012



 được

2 2

2

2012



1.0 0.5 0.5 1.0

x 1 y 16x2  2 2 2  x2  2x y 39 8x y 8xy 3  (*) 3.0

Ta cĩ:  *  x 1 y 4x2    2 x2  2x y 3 9 0

 

2 2

x 1 y 4x 0

x 2x y 9 0 2

x 2x y 9 0



0.5

+ Nếu y = 0 thì từ (1) suy ra x = 0, thay vào (2) khơng thỏa mãn 0.5 + Nếu y 0, ta coi (1), (2) là phương trình bậc hai ẩn x Điều kiện để cĩ

nghiệm x là:

1

2

y 2

y 2

y 8 0

      





   



0.5

Thay y = 2 vào hệ (1), (2) ta được:

2 2

2x 4x 2 0

x 1





 Vậy x = 1, y = 2

1.0

Câu 4

B(3;9) nằm trên (P) Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và cĩ hồnh độ là m

   1 m 3   Tìm m để tam giác ABM cĩ diện tích lớn nhất.

3.0

ABB'A'

1

S AA' BB' A'B'

2

1 1 9 4 20 2

0.5

AMM'A'

2

1

2

1 1 m m 1 2

0.5

MBB'M'

2

1

2

1 m 9 3 m 2

0.5

2

Ta cĩ: SABM  8 2 m 1  2 8 và SABM  8 m 1  1.0

x

y

A'

M B

A

m 2

m

9

1

3

Suy ra SABM lớn nhất bằng 8  m = 1

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Câu 5

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi I là điểm bất kỳ nằm

trong tam giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác) Các tia AI, BI,

CI lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P.

AM BN CP  

b) Chứng minh:

AM.BN BN.CP CP.AM 3 R OI   

3.0

a

Kẻ IK, AH vuông góc với BC tại K, H Ta có:

IBC ABC

S

IM IK

Tương tự, ta có:

S

Suy ra: IM IN IP 1

AM AI BN BI CP CI 1

AI BI CI 2 ñpcm

AM BN CP

0.5

b

Ta có: 2 AI BI CI OA OI OB OI OC OI

2 R OI

AM BN CP

R OI AM BN CP



0.5

Chứng minh: x y z  2 3 xy yz zx    (*) dấu đẳng thức xảy ra khi x = y

Áp dụng (*)

2

2

2

AM.BN BN.CP CP.AM 3 AM BN CP

3 R OI 3 R OI

Khi tam giác ABC đều thì dấu đẳng thức xảy ra

0.5

Câu 6 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có góc A tù . Chứng minh rằng: y + z - x = R + r

Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của BC, CA, AB OM =

x, ON = y, OP = z Đặt AB = c,

BC = a, CA = b

K H

M

I

C B

A

O

nên theo định lý Ptôlêmê suy ra:

 

MN.OC + OM.CN = ON.MC

c.R x.b y.a

c.R x.b y.a 1

Tương tự, từ hai tứ giác nội tiếp

OMPB và ONAP ta có:

 

 

b.R x.c z.a 2 y.c z.b R.a 3

1.0

Mặt khác: SABC SOABSOAC  SOBC  r a b c    c.z b.y a.x 4    0.5 Cộng v.v.v của (1) và (2) rồi trừ v.v.v cho (3) ta được

c.R b.x c.x b.R c.y b.z a.y a.z a.R

R a b c a y z b z x c y x 5

0.5

Cộng v.v.v của (4) và (5) được

R r a b c a b c y z x

R r y z x ñpcm

Câu 7 Cho x, y thỏa mãn

x,y R

1

0 x,y

2











1 y 1 x    3 2.0

Từ giả thiết suy ra:

2

   

0.5

0.5 Lại có:

 

4





0.5

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:

2 2 1 x y xy 3

0.25

M

C B

A

O

Suy ra: VT x y x x y y x y 2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi: x y 1

2

 

0.25