đều là số chính ph¬ng Học sinh làm các cách khác nhau nếu đúng về cơ sở bộ môn cho điểm tèi ®a.[r]
Trang 1SỞ giáo dục & đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9
THÁI BèNH Năm học 2012-2013
Môn Toán học
( Thời gian: 150 phút không kể thời gian
giao đề)
Câu 1( 4 điểm) : Cho biểu thức
P = (√x +√y)
2
− 4√xy
√x − √y −
x√y+ y√x
√ xy
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa ?
b) Khi P có nghĩa, chứng tỏ P không phụ thuộc vào x
Câu 2 ( 4 điểm)
1- So sánh : 1
√7 −√ 6 và 3
√6 −√ 3+
4
√ 7 + √ 3
2- Giải bất phơng trình :
2 - x −3 x −2>x −2
x −1
Câu 3 ( 4,5 điểm)
1 - Cho a + b =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= a3 + b3 + ab
2 - Biết ax + by + cz = 0 hãy tính giá trị biểu thức
P =
x − y¿2
¿
z − x¿2+ ab ¿
y − z¿2+ ca ¿
bc ¿
¿
Câu 4 ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC , lấy điểm C’ [AB] Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’, cắt BC tại A’ Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC, cắt AC tại B’ Chứng minh rằng : 1
AA' +
1
BB'=
1
CC'
Câu 5 (3,5 điểm )
Một học sinh viết dãy số sau : 49, 4489, 444889, 44448889, (số
đứng sau đợc viết 48 vào giữa số đứng trớc ) Chứng minh rằng tất cả các
số viết theo quy luật trên đều là số chính phơng
Lu ý : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Đề Chính thức
Trang 2SỞ giáo dục & đào tạo hớng dẫn chấm đề môn toán
THÁI BèNH Năm học 2012-2013
b
= x +2√xy + y − 4√xy
√x −√y −
√ xy (√x+√y )
√ xy
= √x −√y¿
2
¿
¿
¿
=-2 √y Vậy A==-2 √y không phụ thuộc vào x
0,5 0,5 0,5 0,5
√6 −√3+
4
√ 7 +√3 = 3 (√6 −√3)
4 (√7−√3)
7 − 3
= ( √6 −√ 3)+( √7 −√ 3)
= √ 7+√6= 1
√7 −√6
√7 −√6 = 3
√6 −√3+
4
√ 7 +√3
0,5 0,5 0,5 0,5
2 2 - x −3
x −2>
x −2
x −1 đ/k x 2 ; x 1
Ta có
x −2>
x −2
x −1
x −2 −
x −2
x −1>0
⇔
x −2¿2
¿
x −1¿2−¿
¿
¿
⇔ (x-2)(x-1)(2x-3) > 0 (*)
Lý luận hoặc lập bảng xét ta có: (*) ⇔ 1<x < 32 hoặc x>2
So với đ/k nghiệm bất phơng trình là 1<x < 32 hoặc x>2
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,5 0,25
3 1 Q= a3 + b3 + ab = (a+b)(a2 - ab + b2) +ab
= (a+b)[(a+b)2 – 3ab] +ab Thay a+b = 1
Q= 1- 2ab = 1- 2a(1-a) = 2a2 -2a +1
= 2(a- 12 )2 + 12 12
Do đó MinQ= 12 khi a=b= 12
0,25 0,25
0,5 0,5 0,25 0,25
Trang 32 Ta có ax +by +cz = 0
⇔ a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2abxy+2bcyz +2cazx= 0
⇔ a2x2 + b2y2 + c2z2 = - 2abxy-2bcyz - 2cazx (*)
Ta có P=
x − y¿2
¿
z − x¿2+ ab ¿
y − z¿2+ ca ¿
bc ¿
¿
=
= bc( y
2
+z2)+ca (z2+x2)+ab (x2+y2)− 2abxy −2 bcyz −2 cazx
ax 2
+ by 2 +cz 2 Thay (*) vào tử số của P ta có tử số của P là:
bc(y2+z2)+ca(z2+x2)+ ab(x2+y2) +a2x2 + b2y2 + c2z2
= x2(a2+ab +ac)+y2(ab+b2+bc)+z2(ac +bc +c2)
= ax2(a+b+c) + by2( a+b+c) + cz2(a + b +c)
= ( a+b+c)(ax2+by2+cz2)
Ta có P= (a+b+c )(ax
2
+ by2+ cz2)
ax 2
+ by 2
+ cz 2 = a +b + c
0,5 0,5 0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
A’
B’
C
A C’ B
Ta có CC’//AA’ suy ra CC
'
AA'=
BC'
BA (1) CC’//BB’ suy ra CC'
BB' = AC'
BA (2) Cộng ( 1) và (2) vế với vế ta có :
CC'
'
BB' = BC'
BA = BC'+AC'
tơng đơng với CC'
AA' + CC'
BB' = CC'
CC'
Hay ta có
1
AA' +
1
BB'=
1
CC ' ( điều phải chứng minh)
0,5 0,5
1,0 0,5 1,0 0,5
5 Bạn học sinh viết dãy số đó sẽ có số tổng quát là
an = 444 4 888 89 = 444 488888+1
n số 4 n-1 số 8 n số 4 n số 8 0,5
Trang 4= 44 4 10n + 88 8 + 1
= 4.111 1.10n + 8 11 1 + 1
Vì 11 1 = 99 .99
nên ta có thể viết
=4 10n −1
n
+ 8.10
n
−1
= 4 102 n+4 10n+1
9
= (2 103n+1)2 do 2 10n+1
3 nguyên vì 2 10n+1 chi hết 3 Vậy mọi số của dãy 49, 4489, 444889, đều là số chính
phơng
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
( Học sinh làm các cách khác nhau nếu đúng về cơ sở bộ môn cho điểm
tối đa)