Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân 3.. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính bằng 2.. Tính
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÒA BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (4đ)
1 Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau
a) A x 3x y 4xy 12y b)B x 4y 2xy x 8y
2 Cho a 11 6 2 11 6 2 .Chứng minh rằng a là một số nguyên
Bài 2 (6đ)
1 Giải phương trình 2 12 2 3 1
x x 4 x x 2
2 Cho hàm số y m 1 x m 2 1 (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân
3 Tìm x để biểu thức A x 1
x 1
đạt giá trị lớn nhất
Bài 3 (4đ)
1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính
bằng 2 Biết 0
BAC 60 , đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC
2 Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với một đấu thủ của trường kia một trận Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ Tìm số cầu thủ của mỗi đội
Bài 4 (5đ) Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Hai điểm E, F
thay đổi trên nửa đường tròn sao cho số đo cun AE khác 0 và nhỏ hơn số đo cun
AF, biết EF=R Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại I
1 Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn
2 Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài
QG không đổi
3 Chứng minh rằng QG song song với AB
Bài 5 (1 điểm) Giải phương trình : 2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 HÒA BÌNH NĂM 2010-2011
Bài 1
2 2
a) A x 3y x 2y x 2y
B x 2y 1 x 2xy 4y
a 11 6 2 11 6 2 3 2 3 2 6
Bài 2
1 Học sinh lập luận được 2
x x 4 và 2
x x 2 khác 0 rồi quy đồng đưa về phương trình dạng 2 2 2
9(x x) 12 x x 4 x x 2 Biến đổi được về dạng 2 2 1 17
x x 4 x x 1 0 x
2
2 Lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tai điểm A
và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x (hoặc y = - x )
Từ đó dẫn đến m 1 12
m 1 0
m 1 1
m 1 0
Giải hệ hai phương trình ta tìm
dược m=2 hoặc m=0 thỏa mãn
3 Ta viết được A=1 2
x 1
Ta có x 1 1 1 2 1 2 1
x 1
Vậy Min A= - 1 khi x=0
Bài 3
1
Gọi K là trung điểm của BC, dễ có KOC 60
K O A
Trang 3Xét tam giác vuông OKC có OC = 2 Tính được 0
KC OC.sin 60 3 Tính được BC 2 3 , suy ra diện tích tam giác ABC là S 3 3
2 Gọi số cầu thủ đội trường A là x, số cầu thủ đội trườn B là y
Ta có phương trình xy 4 x y (x 4)(y 4) 16
Ta lập luận và tìm được x=20; y=5
Bài 4
IEH IFH 90 nên IHEF nội tiếp đường tròn
H
I
B O
A
E
F
Trang 42 Ta dễ dàng chứng minh được IQG đồng dạng với IFE (góc – góc)
Từ đó có QG IG 1;QG 1EF 1R (dpcm)
EF IE 2 2 2
3 Chứng minh được IAB đồng dạng IEF (g.g) kết hợp với câu 2 ta có IQG IAB
suy ra IQ IG
IA IB dẫn đến QG song song với AB
Bài 5 Học sinh tìm được ĐK 1 x 7 và biến đổi phương trình về dạng tích
x 1 2 x 1 7 x 0 Học sinh giải phương trình tích tìm được x=5 hoặc
x=4 đều thỏa mãn