Gọi E là giao điểm của CN và DA.. Vẽ Liên hệ tài liệu word môn toán:... trung điểm của EF.a Chứng minh: CM vuông góc với EF.. c Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AE
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017
Bài 1: (5,0 điểm)
Cho biểu thức:
: 2
P
Với x ≥ 0, x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để
2 7
P =
c) So sánh:
2
P
và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Tìm x y, ∈¢ thỏa mãn:
2 y x x y + + + = 1 x + 2 y + xy
b) Cho a b c; ; là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều
kiện:
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
+ + = + + ×
Chứng minh rằng:
3 3 3
a + +b c
chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau:
4 x + 20 x + 25 + x + 6 x + = 9 10 x − 20
b) Cho x y; là 2 số thực thoả mãn:
2 2 2 2 7 7 10 0
x + y + xy+ x+ y+ =
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
A= + +x y
.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a N là điểm tùy ý
thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Trang 2trung điểm của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF
b) Chứng minh:
2
NB DE =a
và B D M; ; thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác
AEFC
gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD.
Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b b c+ + c a < b c + c a + a b
- Hết -Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Điều kiện: x ≥
0, x ≠
1
( )3
A
x
−
2
x
−
b)Với x ≥
0, x ≠
1 Ta có:
x x
Vì x+ >3 0 nên x− = ⇔ =2 0 x 4 (t/m)
Trang 3Vậy P =
2 7
khi x = 4 c)Vì x ≥ ⇒ + 0 x x + ≥ 1 1
2
+ +
x = 0
2P
2
Vì x, y∈
Ư(-1) ={ 1; 1 − }
x = 2 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1
⇔
y = 1 (t/m)hoặc y =
1 2
− ∉
Z (loại)
x = 0
Khi đó
2
2y − = ⇔ =y 1 y 1
(t/m)hoặc
1 2
y= − ∉Z
(loại)
Vậy
;
b)Từ giả thiết
2
2 2 2
Vì a b c, , ≠0nêna b c+ + =0
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Trang 43 3 3 3
Vậy
3 3 3
a + + b c 3 M
vớia b c Z, , ∈ Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
x +y + −z xyz= x y z x+ + +y + −z xy yz zx− −
mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm
a)Đkxđ: ∀ ∈ x R
4x +20x+25+ x +6x+ =9 10x−20
Vì
4x +20x+25+ x +6x+ ≥9 0
với ∀ x ⇒10x−20 0≥ ⇒ ≥x 2
Ta có:
4x +20x+25+ x +6x+ =9 10x−20
b)
2 2 2 2 7 7 10 0
x + y + xy+ x+ y+ =
x y
⇔ − ≤ + + ≤ −
x y+ + = −1 4
khi x= −5
; y=0
x y+ + = −1 1
khi x= −2
; y=0 Vậy Amin = −4 khi x= −5
; y=0
max 1
A = −
; y=0
Bài 4: (6,0 điểm)
Liên hệ tài liệu word môn toán:
M
F
E
B
Trang 5Ta có:
ECD BCF =
)
(cạnh góc vuông – góc nhọn)
cân tại C
* Vì ∆EDC= ∆FBC⇒ED FB=
NCF
∆
vuông ta có:
BC =NB BF⇒a =NB DE
(đpcm)
*∆CEF
EF 2
CM =
EF
A
∆
EF 2
AM =
AC
, ,
B D M
⇒
thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của
AC
(đpcm)
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Trang 6( ) ( ) ( )
.
a x DE a x x
3
2 a x x a a ax x
(2a x) (3a x) 0
Do x>0
; a>0
; ⇒3a x+ > ⇒0 2a x− = ⇔ =0 x 2a
Vì AE/ / BCnên
1
AN AE
NB = BC =
Vậy với Nlà trung điểm của ABthì S∆ACFE =3.S∆ABCD
Bài 5: (1 điểm)
* Vì a b c, , >0nên
1
+
< ⇒ <
Tương tự:
b c a b c
+
<
;
c a a b c
+
<
2
a b b c c a
(1)
b c = a b c
Vì a b c, , >0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
Trang 7( ) ( ) 0
2
a b c
a b c
+ +
( )
Tương tự:
2b b
a b c ≤ a c
;
2c c
a b c ≤ b a
2
Dấu " "= xảy ra khi a b c= +
; b c a= +
; c a b= +
tức là a b c= =
(vô lý)
2
(2)
Từ (1); (2) ta có đpcm
Liên hệ tài liệu word môn toán: