HOT95 - GV Trờng THCS Trung Chính - Nông Cống - Thanh Hoá
Lời giải Bài 3 đề thi hsg tỉnh thanh hoá
Tìm GTNN của biểu thức :
A = (x + y)(y + z)(z + x)(
z
y x y
x z x
z
+
+ +
+
)
NX : Với x,y,z là ba số thực dơng thay đổi có tổng bằng 2
Vì vai trò x,y,z, nh nhau nên ta dễ dàng nhận thấy A đạt GTNN bằng 4 2 khi và chỉ khi x=y=z=
3
2
Do đó ta nghĩ ngay đến chứng minh A≥4(x+y+z)
Ta có A = (x+ y)(y+ z)(z + x)(
z
y x y
x z x
z
+
+ +
+
)
z
y x z y y x y
x z z x y x
x
z
y
+ +
+ + + +
+ + + +
+
Theo BĐT Bu-nhi-a-cop-xki ta có :
) )(
(x + y x + z ≥ x+ yz
⇔ (x y)(x z)
x
z
y
+ +
x
z y
+
Chứng minh tơng tự ta có :
x
z
y
+ + .(
) + x +y z.(y + xz)+ x+z y.(z+ xy)
z
y x y x xz y
z x z x yz x
z y
+ A≥ 2(x+y+z) + y +x z. yz + x+y z. xz + x +z y. xy
(Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z ) (1) Không mất tính tổng quát , giả sử x ≥ y ≥ z suy ra :
x+y ≥ x+z ≥ y+z và
x
yz y
xz z
xy
≥
≥
Do đó theo BĐT Trê-b-sep và Cô-si ta có :
xy z
y x xz y
z x yz
x
z
y
+
≥
3
) ))(
( 2 ((
z
xy y
xz x
yz z
y
( Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra A≥ 4(x+y+z) hay A ≥4 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=
3 2
Vậy GTNN của A bằng 4 2 khi và chỉ khi x=y=z=
3 2