a Cho 2016 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào đồng quy.. Em hãy tính số giao điểm của 2016 đường thẳng đó... b Cho nđường thẳng, t
Trang 1PHÒNG GD – ĐT
GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MÔN TOÁN 6
Bài 1
Câu 1 Tính
)2 22 222 2222 222 222
chu so
a + + + + +14 2 43
1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 98.99.100
Câu 2 Cho
101 102 103 200
Chứng minh rằng:
5 8
C >
Bài 2 Tìm số tự nhiên x, biết:
)1 2 3 4 820
) 2 3 99 100 15150
+ + + + + =
Bài 3.
Câu 1 Chứng minh rằng:
( 1975 1974 2 )
chia hết cho
1976
4
b) 10 72 1
n
chia hết cho 81 với n là số tự nhiên
Câu 2 Tìm số nguyên n để phân số
6 3
3 1
n n
− +
có giá trị là một số nguyên
Bài 4.
a) Cho 2016 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào đồng quy Em hãy tính số giao điểm của 2016 đường thẳng đó
Trang 2b) Cho nđường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có 3 đường thẳng đồng quy Biết rằng số giao điểm là 1128 Tính n
Bài 5
Tìm số tự nhiên anhỏ nhất sao cho achia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7
dư 4
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
Câu 1
) 2 22 222 222 2
2 1 11 111 111 111
9 2 9 99 999 9999 99
9 2 10 1 10 1 10 1 10 1
2 10 10 10 10 5
chu so
chu so
chu so
a A
A
A
= + + + + ÷÷
14 2 43
14 2 43
14 2 43
0
2 111 10 50 222 2120
222 2120
9
chu so chu so
chu so
A
= − ÷÷=
⇒ =
14 2 43 14 2 43
14 2 43
1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 98.99.100
1.2.3 2.3.4 98.99.100
1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100
: 2 1.2 99.100 9900 9900 19800
b B
B
B
Trang 4Câu 2.
176 177 200
107 1 1 1 5
210 8 2 8 8
C
C
C
> + > + =
Bài 2.
( )
( )
)1 2 3 4 820
1 : 2 820
1 820.2 1640 40.41
40
x
⇒ =
) 2 3 99 100 15150
1 2 3 99 100 15150
100 1 100
15150 5050 15150 3 2
x
+
Bài 3.
Câu 1
4 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 4
75 4 1 : 3 25 25 4 1 25
25.4 25 25 25.4 4
a Dat M
M
A
9
1
) 10 72 1 10 1 9 81 999 9 9 81
9 111 1 81
nchu so
n chu so
= − ÷÷+
1 2 3
1 2 3
Trang 5Theo dấu hiệu chia hết cho 9 thì chỉ có những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 Nên số n và số có tổng các chữ số n có cùng số dư trong phép chia hết cho 9
Suy ra
1
111 1 9
n chu so
n
−
9 111 1 81 9 111 1 81 81
⇒ − ÷÷ ⇒ − ÷÷+
14 2 43 M 14 2 43 M
Do đó 10 72 1 81
n
Câu 2
Ta có :
2
− = + − = −
Để
3 1 (5) 1; 5
2
3 4
3
n
+ = ⇒ =
+ = − ⇒ = −
+ = ⇒ =
+ = − ⇒ = −
Vậy n∈{0; 2− }
thì thỏa đề
Bài 4.
a) Chọn 1 đường thẳng kết hợp với 2015 đường thẳng còn lại có 2015 giao điểm
- Làm như vậy với 2016 đường thẳng ta có số giao điểm: 2015.2016giao điểm Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần, nên số giao điểm là:
2015.2016 : 2 2031120=
giao điểm
b) Chọn 1 đường thẳng kết hợp với n−1
đường thẳng còn lại ta được n−1
giao điểm
Làm như vậy với n đường thẳng ta có số giao điểm
.( 1)
giao điểm
Trang 6Nhưng thực tế mỗi giao diểm được tính 2 lần nên có
( 1)
2
giao điểm
Theo bài ta có: n n( −1 : 2 1128) = ⇒n n( − =1) 2256 48.47= ⇒ =n 48
Bài 5.
Vì a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên:
52 3 52 5 52 7 52 (3,5,7)
Mà
(3;5;7) (105) (105 (3;5;7))
52 (105) 105 52
Lần lượt thử k =1;2;3
mà a nhỏ nhất nên a =105 52 53− =
Vậy a=53