Skkn toan 9 pp giai phuong trinh 1 an 2021 6803

TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM*************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG... Qua thực tế giảng dạy cho thấy phần lớn các thầy cô giáo lấy việc

TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM

***************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG

MỤC LỤC

I.Đặt vấn đề 4

II Nội dung 5

A. Những kiến thức cần thiết để giải phương trình 5

B. Một số phương trình một ẩn thường gặp 6

III Kết quả áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 25

IV Kết luận 26

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Cơ sở lý luận

Qua thực tế giảng dạy cho thấy phần lớn các thầy cô giáo lấy việc giải nhiều bài tập để rèn luyện cho học sinh mà theo tôi nên rút ra được phương pháp giải cho từng loại bài tập, phân loại các dạng bài tập cơ bản

Thực hiện chương trình cải cách giáo dục nội dung kiến thức của cấp học ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản Học sinh phải

có phương pháp học, phương pháp tự nghiên cứu hợp lý để thực sự có kết quả cao, cũng như việc hình thành các kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh Hơn nữa do tính sư phạm có những định nghĩa, định lý, học sinh phải công nhận trong giải toán Hệ thống bài tập không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc

áp dụng kiến thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kho tàng kiến thức khổng lồ trong chương trình cấp học THCS là phương trình

Giải phương trình là một bài toán cơ bản liên quan đến nhiều bài toán khác như tìm tập xác định, giải bài toán có lời văn bằng cách lập phương trình Đối với những phương trình có dạng cơ bản thì học sinh có thể áp dụng giải dễ dàng Tuy nhiên với những phương trình dạng bậc cao hoặc những phép tính phức tạp học sinh chưa đủ cơ sở để làm

Vì những lý do trên tôi thấy cần phải nghiên cứu chuyên đề về phương trình trong chương trình toán THCS để giải phương trình một cách chính xác và nhanh nhất

2 Ứng dụng trong thực tiễn

- Về phía giáo viên: Hệ thống được các khái niệm cơ bản của phương trình, các tính chất các cách giải phương trình từ cơ bản đến phức tạp Nghiên cứu khai thác để tìm được ứng dụng đa dạng, phong phú của chương trình Mặt khác phải lựa chọn các phương pháp thích hợp đối với từng đơn vị kiến thức phù hợp

với từng đối tượng học sinh, đồng thời nâng cao trình độ nghiệp vụ của giáo viên.

- Đối với học sinh: Nắm được một cách có hệ thống các khái niệm về phương trình, các tính chất và đặc biệt là các phép biến đổi tương đương, các hệ quả Từ

đó nhằm phát trển khả năng tư duy lôgic cho học sinh Giúp học sinh phát triển trí tuệ thông qua hệ thống bài tập Học sinh thấy được sự thuận tiện hơn giữa giải bài toán số học và phương trình

- Biến x gọi là ẩn

- Giá trị tìm được gọi là nghiệm

- Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình

- Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

b) Tập xác định của phương trình: Là những giá trị của biến làm cho mọi

biểu thức trong phương trình đều có nghĩa

c) Đối với hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là tương

đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

d) Định nghĩa hai phương trình hệ quả

Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương trình thứ nhất

e) Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình:

Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương

2 Các định lý về biến đổi tương đương phương trình.

a) Định lý 1 : Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phương

trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ :5 x =10 <=> 5 x - 3 x = 10 - 3 x

Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: 2 x - 5 = 7 x + 9 <=> 2 x - 7 x = 9 + 5

Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ : 5 x - x2 - 7 = 3 x + x2 <=> 5 x - 7 = 3 x

b) Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình

thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: - 2 x + 3 = x - 1 <=> 4 x - 6 = - 2 x + 2

Chú ý : Nếu nhân hai vế của phương trình với một đa thức chứa ẩn nhưng không cùng tập xác định thì có thể chỉ được phương trình hệ quả mà thôi.

Nhận xét : Giải phương trình : m x + n = 0 Phương trình đã cho chưa chắc là phương trình bậc nhất một ẩn nên khi giải cần phải xét hết các trường hợp.

m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - n/ m

m = 0 thì phương trình có dạng 0 x = - n

- Nếu n = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

- Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

x1 = x2 = - b’/a , > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Giải phương trình bậc hai x2 - 9x + 20 = 0

+ Giải bằng công thức nghiệm:

= 81 - 80 = 1 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

2

1 9 = 5; x2 =

2

1 9

20 = 20

A = 0A.B.C = 0 <=> B = 0

+ Phương pháp đồ thị:

Giải phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

<=> ax2 = - bx - cNghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong

P : y = ax2 và đường thẳng D: y = - bx - c

- Nếu P và D không cắt nhau thì phương trình vô nghiệm

- Nếu P và D tiếp xúc thì phương trình có nghiệm kép

- Nếu P và D cắt nhau tại hai điểm thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Giải phương trình : x2 - 9x + 20 = 0 <=> x2 = 9x - 12

P: y = x2 ; D: y = 9x - 20Trong phương trình bậc hai, ngoài việc trang bị cho học sinh cách giải còn phải cho học sinh tiếp cận với một số dạng toán khác như:

2.1/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Để xét một phương trình bậc 2 có nghiệm ta có thể:

- Chứng tỏ 0

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m

mx2 - 2(m - 1)x- (8m + 3) = 0 (1)Nếu > 0 thì , = (m-1)2 + m(8m + 3)

= m2 - 2m + 1 + 8m2 + 3m = 9m2 + m + 1 > 0 m Nếu m = 0 => (1) <=> 2x - 3 = 0 => x = 3/2Trong khi xét điều kiện có nghiệm của phương trình ta cần chú ý

Nếu ac 0 mà a ≠ 0 ta cũng có 0 nên phương trình ax2 + bx + c = 0

có nghiệm

Chỉ với điều kiện ac 0 chưa đảm bảo phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm, chẳng hạn khi xét phương trình m2x2 - 3x - 5 = 0 ta có ac = - 5m2 nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành 0x = 5 vô nghiệm.

Như vậy khi xét trường hợp ac 0 ta phải xét 2 trường hợp a ≠ 0 và

a = 0, với a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm

Ngoài 2 cách chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm nêu trên, ta còn

có thể chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm bằng cách sau đây:

Ví du: Cho phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh nếu tồn tại số thực mà a.f( ) = 0 thì phương trình có nghiệm

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 tồn tại một trong các phương

trình sau đây có nghiệm:

x2 + 2ax + b = 0 (1)

x2 + 2bx + a = 0 (2)Bài 3: Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị , của x mà f(x) đổi dấu (tức là f( ), f( ) 0) thì phương trình (1) có nghiệm

Dùng điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai để chứng minh một phương trình có nghiệm

2.2/ Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc 2.

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung

2x2 - (3m - 1)x - 3 = 0 (1)6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0 (2)Giải: Gọi x0 là nghiệm chung của (1) và (2) Thay vào 2 phương trình ta được:

(11m - 6) x0 = 8

Với m =

11

6 thì 2 phương trình (1) và (2) vô nghiệm

Với m ≠

11

6 thì x0 = 11m8 6 thay vào (1) và rút gọn

99m2 - 164m - 68 = 0 (3)Nghiệm nguyên của (3) là m = 2Với m = 2 (1) là : 2x2 + 5x - 3 = 0, nghiệm là: 1/2 và -3

(2) là : 6x2 - x - 1 = 0, nghiệm là: 1/2 và -1/3

2.3/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.

So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0.

Cơ sở là định lý Vi-et Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),

có nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

Ví dụ: Cho phương trình x2 - 3x + k - 1 = 0 xác định số k để phương trình:

a) Có hai nghiệm cùng dấu

b) Có hai nghiệm trái dấu

b) P < 0 => k < 1

So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số ≠ 0.

Sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và một số thực nằm trong khoảng hai nghiệm đó:

- Nếu af( ) > 0 và ≠ 0 thì f(x) có nghiệm và nằm ngoài khoảng hai nghiệm đó

- Nếu af( ) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1; x2 và x1 < < x2

Ví dụ: Tìm m để phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Như vậy với trường hợp so sánh nghiệm của phương trình với số ≠ 0

ta đặt ẩn phụ đưa về một phương trình bậc hai khác mà ta cần so sánh nghiệm của phương trình đó với 0.

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Chú ý: a/ Học sinh thường mắc sai lầm cho rằng điều kiện để (1) có

hai nghiệm phân biệt chỉ là , > 0 và chỉ xét , trong khi phương trình chưa là phương trình bậc hai tức là khi m = 0.

Rõ ràng với m = 0 (1) trở thành phương trình bậc nhất một ẩn, không thể có hai nghiệm phân biệt.

b/ Cần phân biệt “nghiệm duy nhất” và “nghiệm kép”.

2 Tìm giá trị để phương trình sau vô nghiệm:

mx2 + 2m2x + 1 = 0

3 Tìm a, b nguyên sao cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm

x1 và x2 thoả mãn -2 < x1 < -1 ; 1 < x2 < 2

3 Phương trình bậc cao.

Định nghĩa: Ta gọi phương trình đại số bậc n trên trường số thực là các

phương trình được đưa về dạng:

anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0Trong đó n nguyên dương, x là ẩn, a1, a2, ,an là các số thực xác định

n N, n > 2 ta phân tích P(x) thành một tích các thừa số bậc nhất hoặc bậc hai, ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a, từ đó hạ bậc phương trình.

Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình : 2x3 - x2 + 3x + 6 = 0Tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng 5, tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ cùng bằng 5 do đó phương trình có nghiệm là

x = -1, ta biến đổi

2x3 - x2 + 3x + 6 = 0

<=> 2x2(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0

<=> (x + 1) (2x2 – 3x + 6) = 0Giải: x + 1 = 0 => x = -1

2x2 - 3x + 6 = 0 vô nghiệm

Phương trình đã cho có một nghiệm là: x = -1

- Sai lầm của học sinh hay mắc phải là không biến đổi cho một vế bằng 0.

Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình dạng sau

Phương trình đối xứng bậc chẵn là trường hợp đặc biệt của phương trình:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 với c/a = (d/b)2 Ta thường gọi phương trình này là phương trình hồi quy, cách giải:

Đặt ẩn phụ như phương trình đối xứng bậc 4

Ví dụ: Giải phương trình 2x4 3x3 16x2 3x 2 0 ( 1)

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x2 0 ta được

0 2 3 16 3

x x x

x

0 16 )

1 ( 3 )

1 (

x

x x

Thay vào PT ( 2) ta được:

0 20 3

2X2 X

Phương trình này có các nghiệm X1= - 4; X2= 5/2

+ Với X1= - 4 ta có: 1 4

x x

3 2 2 , 1

0 1 4 2

x

x x

+ Với

5

2 2

X ta có:

2

5 1

x x

2 x2-5x +2 =0

<=> x3=1/2 , x4=2 Phương trình đã cho có các nghiệm là:

x1,2 = - 2 3 x3 = 1/2 , x4 = 2+ Phương trình dạng (x a) 4 (x b) 4 c

Đặt ẩn phụ y =

2

b a x

Ví dụ: Giải phương trình: (x 2 ) 4 (x 4 ) 4 16

Đặt x + 3 = y Ta có: (y 1 ) 4 (y 1 ) 4 16Rút gọn ta được y4 6y2 7 0

=> x2 + 2 = 2x + 1 (1)

x2 + 2 = -2x - 1 (2)Phương trình (1) có nghiệm là x1,2 =1

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm kép x = 1

Nhận xét : Với dạng này học sinh thường mắc sai lầm là coi A2 = B2

<=> A = B , như vậy sẽ thiếu một trường hợp A = - B

4 Phương trình phân thức hữu tỷ.

* Định nghĩa : Phương trình phân thức hữu tỷ là phương trình có dạng :

) , (

) , (

y x Q

y x P

= 0 (1)Trong đó P (x,y ) Q (x,y ) là các đa thức ; Q(x,y) ≠ 0

Phương trình (1) tương đương với : P (x,y ) = 0

Q (x,y ) ≠ 0Trong chương trình phổ thông cơ sở phương trình này gọi là phương trình chứa ẩn ở mẫu

* Cách giải : - Tìm tập xác định

- Quy đồng khử mẫu đưa về các dạng phương trình đã nêu ở trên tuy nhiên có một số phương trình phân thức hữu tỷ có thể giải bằng biến đổi dẫn đến đặt ẩn phụ để đưa về các phương trình đơn giản

Ví dụ : Giải phương trình x2 + x -

x

x2

18 = 3Giải :

Nghiệm của phương trình là : x1 = 2 ; x2= - 3

Nhận xét : Sai lầm của học sinh đối với dạng này là không tìm TXĐ của các biểu thức trong phương trình dẫn đến biến đổi không tương đương Vì vậy đã không loại nghiệm không phù hợp

Bài tập : Giải các phương trình :

1 x2 + x +

x

1 + 12

x

x

= 2 5

-4

1 2

4 2

Để giải được phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử được dấu giá trị tuyệt đối

<=> x = -1; x = - 5/3 (thoả mãn điều kiện)

Nhận xét: Sai lầm học sinh thương mắc là không xét hết các khoảng, không so sánh với điều kiện của ẩn

+ Phương pháp đưa về giải bất phương trình

6 Phương trình chứa tham số.

Trong chương trình THCS phương trình này gọi là phương trình có hệ số hay bằng chữ

Nếu ' = 0 <=> m = 4

m =

5 9

Thì phương trình có nghiệm kép

Nếu ' > 0 <=> m > 4

m <

5 9

Thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài tập : Giải các phương trình sau :

+ Một số âm không có căn bậc chẵn

Do đó điều kiện của ẩn là biểu thức chứa ẩn trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm

+ Đặt điều kiện của ẩn là biểu thức chứa ẩn trong dấu căn bậc chẵn là một

số không âm

+ Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả 2 vế của phương trình đảm bảo nhận được phương trình tương phương trình đảm bảo nhận được phương trình tương đương:

Với A > 0 ; A2 > B > 0

Các phương trình dùng để giải phương trình vô tỷ

a) Phương pháp nâng lên luỹ thừa:

Để làm căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế lên luỹ thừa bậc n Nếu n là số chẵn thì phép biến đổi này chỉ tương đương nếu 2 vế không âm

Ví dụ : Giải phương trình x 1 - x 2 = 1 (1)

Viết phương trình (1) dưới dạng : x 1 = x 2 + 1 (3)

Hai vế của (3) không âm , bình phương 2 vế:

x + x 8 6 x 1 =1Giải: Điều kiện x 1

Biến đổi ( 1)

1 3 1 2

1

1 ) 3 1 ( ) 2 1 (

1 9 1 6 1 4

1 4 3

2 2

x x

x x

x x

x x

Với x >10 thì phương trình ( 2) trở thành:

10 3

1 6

1

Với x <5 thì phương trình ( 2) trở thành:

5 2

Với 5 3x 8 thì phương trình ( 2) trở thành:

1 3 1 2

x

1

1 ( luôn đúng )

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 3 x 8

Nhận xét: Sai lầm học sinh thường mắc phải khi khai căn bậc 2 chẵn không lấy dấu giá trị tuyệt đối.

0 5 6 )

1

(

9 3 2

2

2

2 2

y y

y y

y x

x

Phương trình ( 2) có nghiệm

Với y = 6 thay vào ta có nghiệm x1 3 ;x2 4 , 5

Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ

Phương pháp vô tỷ là giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn.

Sai lầm đầu tiên là học sinh thường gặp là không chú ý đến điều kiện

có nghĩa của các căn bậc chẵn Do đó cần rèn cho học sinh phải tìm tập xác

định của biểu thức trong phương trình hoặc sau khi giải phương trình phải thử lại các vào phương trình ban đầu

Sai lầm thứ hai là không đặt điều kiện để biến đổi tương đương.

III KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Với việc phân loại từng dạng phương trình và đưa ra cách giải rõ ràng, khắc sâu các sai lầm mà học sinh hay mắc phải đã mang lại những hiệu quả rõ rệt góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân và chất lượng học tập của học sinh Các kiến thức về phương trình một ẩn đã được các em nắm vững đồng thời biết vận dụng kiến thức chính xác vào giải bài tập Kết quả bài kiểm tra cao thể hiện ở tỉ lệ trên trung bình và tỉ lệ của các bài khá giỏi Dưới đây là kết quả mà tôi thu được khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này:

Kết quả bài kiểm tra 15’ ở chương IV của học sinh lớp 9A5 năm học 2019-

2020 ( khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này)

4 8,7% 8 17,4% 13 28,3% 11 23,9% 10 21,7% 34 73,9%

Kết quả bài kiểm tra 15’ ở chương IV của học sinh lớp 9A2 năm học 2020-

2021 ( khi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này)