Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình toán trung học phổ thông

KHOA TOÁN ĐỀ TÀI Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán Trung học phổ thông.. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC P

KHOA TOÁN

ĐỀ TÀI Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán Trung học phổ thông

Giảng viên hướng dẫn : ThS Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Đặng Phan Hạnh Nhân Lớp : 18ST

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại

học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn

thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến

cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên

cứu Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ

nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST trong quá trình

tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022

Sinh viên

Đặng Phan Hạnh Nhân

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

CÁC CHỮ VÀ KÝ HIỆU VIẾT TẮT 5

MỞ ĐẦU 6

1 Lý do chọn đề tài 6

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Phương pháp nghiên cứu 7

5 Bố cục khóa luận 7

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 9

1.1 Khái niệm phương trình 9

1.2 Phương trình tương đương 9

1.2.1 Phương trình tương đương 9

1.2.2 Phép biến đổi tương đương 9

1.3 Phương trình hệ quả 10

1.4 Phương trình nhiều ẩn 10

1.5 Giải và biện luận phương trình bậc nhất 11

1.6 Giải và biện luận phương trình bậc hai 11

1.6.1 Giải và biện luận phương trình bậc hai 12

1.6.2 Định lý vi-ét – định lý vi-ét đảo 12

1.7 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai 13

1.7.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 13

1.7.2 Phương trình chứa ẩn trong dấu căn 15

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 17

2.1 Dạng 1 Phương pháp đặt một ẩn phụ 17

2.1.1 Phương pháp giải 17

2.1.2 Ví dụ 1 17

2.2 Dạng 2 Phương pháp đặt hai ẩn phụ 18

2.2.1 Phương pháp giải 18

2.2.2 Ví dụ 2 18

2.3 Dạng 3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 19

2.3.1 Phương pháp giải 19

2.3.2 Ví dụ 3 19

2.4 Dạng 4 Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 20

2.4.1 Phương pháp giải 20

2.4.2 Ví dụ 4 20

2.5 Dạng 5 Phương pháp nâng lên lũy thừa 21

2.5.1 Phương pháp giải 21

2.5.2 Ví dụ 5 22

2.6 Dạng 6 Phương pháp biến đổi về phương trình tích 22

2.6.1 Phương pháp giải 22

2.6.2 Ví dụ 6 23

2.7 Dạng 7 Phương pháp dùng hằng đẳng thức 24

2.7.1 Phương pháp giải 24

2.7.2 Ví dụ 7 24

2.8 Dạng 8 Phương pháp nhân liên hợp 25

2.8.1 Phương pháp giải 25

2.8.2 Ví dụ 8 26

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

CÁC CHỮ VÀ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

GV: Giáo viên

HS: Học sinh

SGK: Sách giáo khoa

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đại số là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học Ngay

từ đầu, sự ra đời và phát triển của phương trình đại số đã đặt dấu ấn quan trọng trong Toán học Chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu Toán, luôn thôi thúc người làm Toán phải tìm tòi, sáng tạo Bên cạnh đó, các bài toán về phương trình đại

số thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, Olympic cũng như kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phương trình được đánh giá là bài toán phân loại học sinh khá giỏi, nó đòi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh và chính xác nhất

Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững chắc về phương trình đại số và các phương pháp giải cho bản thân nói riêng và sinh viên khoa Toán

sắp ra trường nói chung, tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Một số phương pháp giải

phương trình đại số trong chương trình Toán Trung học phổ thông"

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán THPT nhằm giúp HS lĩnh hội và sáng tạo các tri thức Toán một cách tốt nhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận

- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách tham khảo có liên quan tới phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán THPT, nhằm hiểu

rõ những cơ sở lý thuyết để từ đó xây dựng phương pháp giải đạt hiệu quả

- Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT dạy chương Phương trình – Đại số lớp 10 (SGK hiện hành) để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải các phương trình đại số

5 Bố cục khóa luận

Khóa luận gồm có 2 chương sau:

Chương 1 Cơ sở lý luận

1.1 Khái niệm phương trình

1.2 Phương trình tương đương

1.3 Phương trình hệ quả

1.4 Phương trình nhiều ẩn

1.5 Giải và biện luận phương trình bậc nhất

1.6 Giải và biện luận phương trình bậc hai

1.7 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán Trung học phổ thông

2.1 Dạng 1 Phương pháp đặt một ẩn phụ

2.2 Dạng 2 Phương pháp đặt hai ẩn phụ

2.3 Dạng 3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

2.4 Dạng 4 Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

2.5 Dạng 5 Phương pháp nâng lên lũy thừa

2.6 Dạng 6 Phương pháp biến đổi về phương trình tích

2.7 Dạng 7 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

2.8 Dạng 8 Phương pháp nhân liên hợp

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Khái niệm phương trình

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng ( ) f x g x( ) (1)trong đó ( )f x và ( ) g x là những biểu thức của x Ta gọi ( ) f x là vế trái, ( ) g x là vế

phải của phương trình (1)

Điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình) là

những điều kiện của ẩn x để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa

Nếu f x 0 g x 0 thì số thực x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1)

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm) Nếu phương trình không có nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)

1.2 Phương trình tương đương

1.2.1 Phương trình tương đương

Hai phương trình ( )f x g x( ) (1) và f x1( ) g x1( ) (2) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm (có thể rỗng)

Kí hiệu (1)(2)

1.2.2 Phép biến đổi tương đương

Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau

- Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức

- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0

Chú ý Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương

trình thì mới được phương trình tương đương

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của

phương trình ban đầu Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai

Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương, trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được

1.4 Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn găp những phương trình có nhiều ẩn

số Nghiêm của môt phương trình hai ẩn x, y là một cặp số thực x y0; 0 thỏa mãn

phương trình đó, còn nghiệm của một phương trình ba ẩn x, y, z là một bộ số thực

ẩn ( ,x y và ) z

Khi x2,y 1 thì hai vế của phương trình (1) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp ( ; )x y (2;1) là một nghiệm của phương trình (1)

Tương tự, bộ ba số ( ; ; ) ( 1;1;2)x y z   là một nghiệm của phương trình (2)

1.5 Giải và biện luận phương trình bậc nhất

- Phương trình có nghiệm duy nhất  a 0

- Phương trình nghiệm đúng với mọi x   a b 0

- Phương trình vô nghiệm 0

1.6.1 Giải và biện luận phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ẩn x là phương trình có dạng

ax bx c trong trương hợp tổng quát, ta có

- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0

Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hai nghiệm x x thì 1, 2

- Có hai nghiệm trái dấu nhau ac0

- Có hai nghiệm nghiệm phân biệt cùng dấu

000

- Có hai nghiệm âm phân biệt

0000

1.7 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

1.7.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1

32

Phương trình tương đương với (3 x  2) 3 2x  x 1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là x 1

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương

Vậy nghiệm của phương trình là x 1,x 2.

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI

SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

- Với

3 3

- Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác

- Hướng 2: Thử để phương trình ở dạng "chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa

ẩn x ban đầu" Trong hướng này ta thường được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x ban đầu) có biệt số  là một số chính phương (hoặc bình phương của biểu thức)

2

4

x x

Vậy phương trình có tập nghiệm là S   { 3; 2;0;1}

2.5 Dạng 5 Phương pháp nâng lên lũy thừa

Điều kiện:

( ) 0( ) 0( ) 0

Vậy phương trình có nghiệm x 2

2.6 Dạng 6 Phương pháp biến đổi về phương trình tích

- 2   

f x ax bx c a x x x x với x x1, 2 là hai nghiệm của ( )f x 0

- Chia Hoocner để đưa về dạng tích số ("Đầu rơi, nhân tới, cộng chéo")

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x3

2 x 3 9x  x 4

Lời giải

Điều kiện x    3 0 x 3

- Dự đoán nghiệm x x o bằng máy tỉnh bỏ túi (SHIFT-SOLVE hay ALPHA - CALC)

- Tách, ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung xx0

hoặc bội của xx0 trong phương trình nhằm đưa về phương trình tích số:

xx0g x( )0

- Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp

Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã làm được những vấn đề sau:

- Trình bày một cách hệ thống những kiến thức cơ bản về phương trình đại số trong chương trình Đại số lớp 10 (SGK hiện hành)

- Đưa ra được các phương pháp giải thường sử dụng trong Toán Trung học phổ thông

- Đưa ra được các ví dụ minh họa cho từng phương pháp giải

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả để cuốn khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn và giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình không mẫu mực, NXB ĐHQGHN

[2] Nguyễn Chín Em, Chuyên đề phương trình và hệ phương trình

[3] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường, Đỗ

Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2015), Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục

[4] Các đề thi Đại học, Cao đẳng, Olympic, các Website trên Internet